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Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II Vorlesung 7 SS 2001 Voronoi-Diagramme, Konstruktion der Voronoi-Diagramme.

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2 Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II Vorlesung 7 SS 2001 Voronoi-Diagramme, Konstruktion der Voronoi-Diagramme I

3 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 72 Übersicht I Voronoi-Diagramm: Motivation Zu Beginn eine interaktive Animation Voronoi-Diagramm Anwendungen Konvexe Menge, konvexe Hülle Voronoi-Regionen (Polygone) Konstruktion des Voronoi-Diagramms Was ist der schwierigste Teilschritt? Aufteilung der Menge P in P 1 und P 2 Voronoi-Diagramm von P 1 Voronoi-Diagramm von P 2 Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge Konstruktion des trennenden Kantenzuges

4 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 73 Übersicht I Tangente Tangente – konvexe Hülle Konvexe Hülle Vereinigung Löschen der überflüssigen Segmente Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P Datenstruktur für Voronoi-Diagramm Kosten Länge des Kantenzuges im Worst Case Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Investitionen müssen sich amortisieren

5 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 74 Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle?

6 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 75 Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle?

7 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 76 Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle?

8 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 77 Zu Beginn eine interaktive Animation Quelle: Fern Universität Hagen

9 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 78 Voronoi-Diagramm Gegeben ist eine Menge von n Punkten Das Voronoi-Diagramm zerlegt die Ebene in Gebiete gleicher nächster Nachbarn Die Voronoi-Region eines Punktes p enthält alle Punkte q, die näher an p als an jedem anderen Punkt p liegen Das Voronoi-Diagramm wird gebildet aus den Voronoi-Regionen und ihren begrenzenden Voronoi- Knoten und –Kanten

10 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 79 Anwendungen Kollisionsproblem: welche 2 Punkte haben den kleinsten Abstand (Roboter, Flugzeuge,...) Das Filialenschließungsproblem: welches Paar von Filialen macht sich gegenseitig die größte Konkurrenz... Postamts-Problem: wo liegt das nächste Postamt (Krankenhaus,...) Einzugs- und Einflussgebiete von Versorgungsstationen (und ihre Größe) Bewertung von Standorten Biologie Archäologie

11 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 710 Konvexe Menge, konvexe Hülle Eine Menge P von Punkten ist konvex, wenn zu jedem Punktepaar p und q auch die verbindende Strecke pq ganz in P enthalten ist Die konvexe Hülle CH(P) einer Punktemenge P ist die kleinste konvexe Menge, die alle Punkte aus P enthält

12 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 711 Voronoi-Regionen (Polygone) beschränkte Voronoi- Regionen unbeschränkte Voronoi- Regionen Übung: Die Konvexe Hülle ver- bindet die unbeschränkten Voronoi-Regionen Übung: Jede Voroni-Region ist konvex!

13 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 712 Konstruktion des Voronoi-Diagramms Divide and Conquer 1.Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten 2.Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P 1 und P 2 3.Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P 1 und P 2 4.Merge: Verknüpfe die beiden in Schritt 3 gebildeten Diagramme 5.Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist; dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal O(n * log n) wenn Divide and Merge nicht mehr als n Schritte benötigen,

14 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 713 Was ist der schwierigste Teilschritt? Zerlegung der Punktmenge in gleich große Teilmengen –Sortieren nach y-Koordinate –Bilden des Medians –Einfach Offenbar der letzte Schritt: Merge: Konstruktion des trennenden Kantenzuges Einfachster Fall von Merge: jede der beiden Teilmengen enthält genau einen Punkt; der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte beider Punkte

15 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 714 P1P1 P2P2 Aufteilung der Menge P in P 1 und P 2 P

16 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 715 Voronoi-Diagramm von P 1

17 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 716 Voronoi-Diagramm von P 2

18 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 717 Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge

19 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 718 Konstruktion des trennenden Kantenzuges Was wissen wir über den trennenden Kantenzug? monoton in Nord-Süd-Richtung jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte) zwischen einer roten und einer grünen Region Problem: sukzessive Identifikation der benachbarten roten und grünen Punkte die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind unbeschränkt, also Halbgeraden die benachbarten roten und grünen Punkte bilden dort unbeschränkte Voronoi-Regionen sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen konvexen Hülle beginnen wir also mit den beiden Tangenten

20 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 719 Tangente

21 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 720 Tangente – konvexe Hülle

22 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 721 Konvexe Hülle

23 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 722 Vereinigung Mittelsenkrechte bilden

24 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 723 Vereinigung

25 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 724 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen

26 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 725 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD

27 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 726 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD Mittelsenkrechte zuwischen den aktiven VD

28 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 727 Vereinigung Schnittpunkte suchen

29 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 728 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

30 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 729 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

31 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 730 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

32 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 731 Vereinigung Schnittpunkte suchen

33 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 732 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

34 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 733 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

35 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 734 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

36 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 735 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

37 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 736 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

38 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 737 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

39 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 738 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

40 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 739 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

41 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 740 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

42 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 741 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

43 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 742 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

44 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 743 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Verknüpfung mit der Mittel- senkrechten vom Anfang

45 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 744 Vereinigung

46 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 745 Löschen der überflüssigen Segmente

47 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 746 Löschen der überflüssigen Segmente

48 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 747 Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P

49 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 748 Datenstruktur für Voronoi-Diagramm Doppelt verkettete Kantenliste Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen

50 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 749 Kosten wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges? Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den benachbarten Voronoi-Regionen

51 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 750 O(n) Länge des Kantenzuges im Worst Case

52 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 751 Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n)

53 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 752 O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton war jetzt alles umsonst?

54 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 753 O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!

55 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 754 Investitionen müssen sich amortisieren Ziel: keine Kante mehr als zwei mal anfassen Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten O(n) Konvexität der Voronoi-Regionen höchstens zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken!


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