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Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II Vorlesung 6 SS 2000 Konstruktion der Voronoi-Diagramme II.

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Präsentation zum Thema: "Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II Vorlesung 6 SS 2000 Konstruktion der Voronoi-Diagramme II."—  Präsentation transkript:

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2 Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II Vorlesung 6 SS 2000 Konstruktion der Voronoi-Diagramme II

3 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 62 Übersicht I Divide and Conquer: Merge Konstruktion des Voronoi-Diagramms Merge Extrempunkte von CH(P 1 ) CH(P 2 ) Tangente von CH(P 1 ) CH(P 2 ) Nochmals zur konvexen Hülle CH Tangente Nachfolger - Bestimmung Nachfolger Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen

4 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 63 Übersicht II Extrempunkte 2 vertikal monotone Kantenzüge Tangente Bestimmung des Nachfolgers Konvexe Hülle Bestimmung des Nachfolgers Konvexe Hülle

5 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 64 Übersicht III Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten Vereinigung Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten Länge des Kantenzuges im Worst Case Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Investitionen müssen sich amortisieren

6 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 65 Divide and Conquer: Merge

7 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 66 Konstruktion des Voronoi-Diagramms Divide and Conquer Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten Split: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P 1 und P 2 Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von VD(P 1 ) und VD(P 2 ) Merge: Verknüpfe VD(P 1 ) und VD(P 2 )

8 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 67 Merge Die Voronoi-Diagramme VD(P 1 ) und VD(P 2 ) sind bereits berechnet. Die konvexen Hüllen CH(P 1 ) und CH(P 2 ) seien ebenfalls an dieser Stelle bekannt. 1.Bestimme die oberen und unteren Extrempunkte und die beiden oberen und unteren Tangenten von CH(P 1 ) CH(P 2 ) 2. Konstruiere CH(P 1 P 2 ) 3. Bilde die Mittelsenkrechten zu den beiden neu eingeführten Kanten 4.Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten 5. Entferne die überstehenden Kanten 6.Bilde die neu entstandenen Voronoi-Regionen (Maschen)

9 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 68 max y min y max y Extrempunkte von CH(P 1 ) CH(P 2 )

10 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 69 Tangente von CH(P 1 ) CH(P 2 )

11 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 610 Nochmals zur konvexen Hülle CH Was wissen wir über die konvexe Hülle CH(P) einer Punktmenge P? Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH. Zu je zwei Punkten P 1 und P 2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten. Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge. Die Verbindungskante k zweier Punkte P 1 und P 2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen. P 2 ist genau dann Nachfolger von P 1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkel von P 2 minimal ist.

12 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 611 Tangente

13 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 612 Nachfolger - Bestimmung Winkel minimal P1P1 P2P2

14 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 613 Nachfolger Winkel minimal P2P2 P1P1

15 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 614 Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen Bestimme die oberen und unteren Extrempunkte von CH(P 1 ), CH(P 2 ) und CH(P 1 ) CH(P 2 ) Betrachte die oberen Extrempunkte P 1 und Q 1 und die Nachfolger P 2 und Q 2 im Uhrzeigersinn, und sei P 1 höher als Q 1 Bestimme das Minimum der mit P 1 P 2, P 1 Q 1 und P 1 Q 2 assoziierten Winkel Fälle: –P 1 Q 1 ist minimal: Tangente gefunden, fertig –P 1 P 2 minimal: ersetze P 1 durch P 2 und P 2 durch P 3 (wandere auf der linken konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) –P 1 Q 2 minimal: ersetze Q 1 durch Q 2 und Q 2 durch Q 3 (wandere auf der rechten konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) Der Fall der unteren Tangente ist symmetrisch

16 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 615 Extrempunkte

17 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung vertikal monotone Kantenzüge

18 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 617 Tangente

19 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 618 Bestimmung des Nachfolgers Winkel nicht minimal

20 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 619 Bestimmung des Nachfolgers Winkel minimal

21 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 620 Bestimmung des Nachfolgers

22 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 621 Bestimmung des Nachfolgers

23 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 622 Konvexe Hülle

24 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 623 Bestimmung des Nachfolgers

25 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 624 Konvexe Hülle

26 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 625 Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten

27 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 626 Vereinigung Mittelsenkrechte bilden

28 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 627 Vereinigung

29 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 628 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen

30 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 629 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD

31 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 630 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD Mittelsenkrechte zuwischen den aktiven VD

32 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 631 Vereinigung Schnittpunkte suchen

33 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 632 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

34 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 633 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

35 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 634 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

36 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 635 Vereinigung Schnittpunkte suchen

37 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 636 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

38 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 637 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

39 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 638 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

40 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 639 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

41 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 640 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

42 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 641 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

43 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 642 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

44 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 643 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

45 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 644 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

46 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 645 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

47 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 646 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

48 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 647 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Verknüpfung mit der Mittel- senkrechten vom Anfang

49 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 648 Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten gegeben: die beiden oberen und unteren Mittelsenkrechten g und g* die zugehörigen oberen Voronoi-Regionen seien P und Q Solange die untere Mittelsenkrechte noch nicht erreicht ist –Bestimme für die aktuelle Mittelsenkrechte die Austrittspunkte p und q aus den aktuellen Voronoi-Regionen, die zugehörigen Kanten die zugehörigen Nachbarn P und Q – wenn p höher ist als q ersetze P durch P und schneide g an der Stelle p ab –wenn q höher als p ersetze Q durch Q und schneide g an der Stelle q ab –bestimme die aktuelle Mittelsenkrechte g des neuen Paares P, Q

50 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 649 O(n) Länge des Kantenzuges im Worst Case

51 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 650 Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n)

52 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 651 O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton war jetzt alles umsonst?

53 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 652 O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!

54 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 653 Investitionen müssen sich amortisieren Ziel: keine Kante mehr als zwei mal anfassen Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten O(n) Konvexität der Voronoi-Regionen höchstens zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken!


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