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Hyperbelfunktionen Simone Kopp Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg PS Analysis, WS 08/09 Dozentin: PD Dr. Gudrun Thäter.

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1 Hyperbelfunktionen Simone Kopp Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg PS Analysis, WS 08/09 Dozentin: PD Dr. Gudrun Thäter

2 Inhalt Motivation Hyperbelfunktionen Zusammenhang Umkehrfunktionen Geometrische Definition

3 Bedeutung von Hyperbel Griechisch: περβολή, hyperbolé – die Übertreffung, Übertreibung, von altgriechisch hyperbállein - übertreffen

4 Anwendung Spinnweben Kettenlinie: Griechische Tempelsäulen Hochspannungsleitungen Stahlseile

5 Kettenlinie Homogenes Seil hängt wegen Eigenlast durch und beschreibt eine Kosinus- Hyperbolicus Funktion Kettenlinie = Seilkurve

6 Kettenlinie y -Achse x -Achse a a = positive Konstante

7 Hyperbelfunktionen Kosinus Hyperbolicus (cosh) Sinus Hyperbolicus (sinh) Tangens Hyperbolicus (tanh) Cotangens Hyperbolicus (coth) Sekans Hyperbolicus (sech) Kosekans Hyperbolicus (csch)

8 Kosinus Hyperbolicus Gerade Funktion f(x)=f(-x) Def.bereich: – < x < + Wertebereich: 1 f(x) < +

9 Sinus Hyperbolicus Ungerade Funktion f(x)=-f(-x) Def.bereich: – < x < + Wertebereich: – < f(x) < +

10 Tangens Hyperbolicus Def.bereich: – < x < + Wertebereich: – 1 < f(x) < +1

11 Cotangens Hyperbolicus Def.bereich: – < x < + ; x 0 Wertebereich: – < f(x) < – 1 ; 1 < f(x) < +

12 Zusammenhang Additionstheoreme:

13 Zusammenhang Differentiationsformeln:

14 Zusammenhang Viele Übereinstimmungen zu Sinus und Kosinus, usw Name: Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus, usw

15 Umkehrfunktionen werden Areafunktionen genannt (lat. area –Fläche) Area Kosinus Hyperbolicus (arcosh) Area Sinus Hyperbolicus (arsinh) Area Tangens Hyperbolicus (artanh) Area Cotangens Hyberbolicus (arcoth)

16 Umkehrfunktionen

17 Umkehrfunktionen

18 Einheitshyperbel/Einheitskreis

19 Geometrische Definition tanh(a)

20 Einheitshyperbel

21 Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh

22 Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh

23 Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh

24 Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh

25 Einheitshyperbel- sinh & cosh sinh cosh Argument

26 Noch Fragen??? Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!


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