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Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation Michael Szell, Sept. 2007, Siena 1 / 35.

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Präsentation zum Thema: "Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation Michael Szell, Sept. 2007, Siena 1 / 35."—  Präsentation transkript:

1 Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation Michael Szell, Sept. 2007, Siena 1 / 35

2 Probleme mit ELBA+ Oszillationen Abhängigkeit von Gitterauflösung Numerisches Verfahren von ELBA+? Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 2 / 35

3 Annahmen & Vereinfachungen Berechnungsschema 2-dimensional Flachheit Größenabhängigkeit: Großlawinen Material: newtonsches Fluid, Trockenlawinen Inkompressibilität Isothermalität Beliebige Topographien, Rotationsinvarianz DHM äquidistant gerastert Kontinuität Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 3 / 35

4 Substantielle Ableitung: Lagrangesche Sichtweise Eulersche Sichtweise Fluidbeschreibung Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 4 / 35

5 2-Dim kartesisch, äquidistant Global und Lokal: Koordinatensystem Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 5 / 35

6 Steigung und Exposition: Hangneigung Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 6 / 35

7 Gradienten durch Hornschen Schätzer: Geländeradius: Gradienten, Geländeradius Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 7 / 35

8 F g Gravitationskraft F ph Hydrostatischer Druck F e Turbulente Reibung F d Trockene Reibung Modellkräfte Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 8 / 35

9 - - - Gravitationskraft und hydrostatischer Druck Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 9 / 35

10 Nach Voellmy (1955), erweitert mit Keulegan- Relation Turbulente Reibung Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 10 / 35

11 Mohr-Coulomb + Zentrifugalbeschleunigung Trockene Reibung Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 11 / 35

12 Massenerhaltung: Für ELBA: Kontinuitätsgleichung Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 12 / 35

13 Für ELBA: (kein Spannungstensor – vereinfacht) Impulsgleichungen Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 13 / 35

14 Courant-Friedrichs-Lewy Bedingung:the numerical scheme defining the approximation [...] must be able to include all the physical information which influences the behaviour of the system in this point. (Hirsch, Charles: Numerical Computation of Internal and External Flows, Vol. 1) CFL-Bedingung Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 14 / 35

15 Berechnungsschema ELBA+ Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 15 / 35

16 Schnell Überschätzte Geschwindigkeit Oszillationen Abhängigkeit von Gitterauflösung Verfahren sehr diskret Neuimplementierung! Berechnungsschema ELBA+ Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 16 / 35

17 Explizites Finite Differenzen Verfahren Explizit vs. Implizit Gitterauflösung, Stabilität FDM vs. FEM/FVM Literatur Motivation der Verfahrensart Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 17 / 35

18 Fall Ψ=0 hyperbolisch, reine Konvektion Fall Ψ>0 parabolisch, Konvektion-Diffusion 0<Ψ«1: konvektionsdominant Klassifizierung der DGL Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell Konservativ: ……. …… Nicht-konservativ: 18 / 35

19 Lineare Wellengleichung Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell Lösung: Charakteristiken: 19 / 35

20 Nach Informationsfluss gerichtet 1. Ordnung: Diffusion Upwind Verfahren Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 20 / 35

21 Zentral 2. Ordnung: Oszillation Lax-Wendroff Verfahren Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 21 / 35

22 Bereinigung eines instabilen Schemas Sehr diffusiv Lax-Friedrichs Verfahren Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 22 / 35

23 Prädiktor-Korrektor, Update Mit künstlichem Diffusionskoeffizienten 2-Dimensional MacCormack Verfahren Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 23 / 35

24 Total Variation Diminishing (Harten 1983) Sichtweise: Zellen Numerischer Fluss Idee: adaptiver Fluss, mit Flux-Limiter TVD Methoden Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 24 / 35

25 Maß für Glattheit: Sweby: TVD Gebiet 2. Ordnung durch und: Konvexkombination aus LW und BW Minmod-, Superbee-Limiter Limiter Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 25 / 35

26 Rekonstruktion und Slope-Limiter Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 26 / 35

27 Verallgemeinerter Lax-Friedrichs-Fluss TVD Lax-Friedrichs Methoden Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 2 Dim 27 / 35

28 Non-Oscillatory Central (Nessyahu, Tadmor 1990) DGL-System: NOC Schema Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 28 / 35

29 Staggered Grid, 2-Schritt Verfahren Update Halbschritte durch Taylor; TVD-Steigung NOC Schema (1-dim) Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 29 / 35

30 Test-Topographien: MacCormack: Wellen, Massenzunahme, erhöhte Geschwindigkeit MTVDLF: Verformung NOC: Fast fehlerfrei Superbee: Oft instabil, daher Minmod 1-Dim numerische Experimente Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 30 / 35

31 MacCormack instabil NOC diffusiver als im 1-Dim: 2-Dim numerische Experimente Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell (konstant geneigter Hang, nur Gravitationskraft) 31 / 35

32 Auslaufender Hang, F g, F ph, F d fgfphfd.wpl fgfphfd.wpl Auslaufender Hang, F g, F ph, F d, F e fgfphfdfe.wpl Probleme: Pudding+Himbeersaft h e = h-Grenze für: fgfphfdfe.wpl 2-Dim num. Experimente NOC Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 32 / 35

33 Auf nat. Topographie (Lech), h e =0,08m Alt (ELBA+) vs. Neu (NOC) Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 33 / 35

34 Oszillationen Simulationsdauer Auflösung Zusatzfunktionen Geometrische Fehler (?) Alt (ELBA+) vs. Neu (NOC) Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell 34 / 35

35 Fragen, Anregungen, etc? Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell Danke für die Aufmerksamkeit! J. M. W. Turner, The Fall of an Avalanche in the Grissons Oil on Canvas x 120 cm. Tate Gallery, London. 35 / 35


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