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Hands on Mathematik Lines and their Slopes Björn Gehl & Hideo Sato.

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Präsentation zum Thema: "Hands on Mathematik Lines and their Slopes Björn Gehl & Hideo Sato."—  Präsentation transkript:

1 Hands on Mathematik Lines and their Slopes Björn Gehl & Hideo Sato

2 Polyas Framework(1) Understand the Problem * What is given? * What is to find? * What are the conditions? * Make (if possible) a sketch of the proof? * Introduce the notations? * Identify known and unknown parameters) Make a plan of a proof * Do you know any related problem? * Do you know any theorem or formula that can help? * Can you reformulate the problem, e.g. by retrieving the Definition? * Can you solve a relative problem or some more specific one? * Can you solve a part of a problem?

3 Polyas Framework(2) Execute the plan * Control every step of the transformation. * Check with which goal you are perfoming the transformation and why is this step correct. Look back * Verify the solution. * Make sure the succession of the solution steps is clear. * Could you possibly reach your goal in a better way? * Could you possibly solve further problems in the same way?

4 Punktsteigungsform der Geradengleichung Geg.: Punkt P =(x P,y P ) und Steigung m einer Geraden Punktsteigungsform: y = y P + m (x - x P )

5 Funktionsgleichung(1) Geg.: Funktion f: f(x) = x 3 -5x 2 -2x-1, P(-0.5, -1,375) Ges.: Punktsteigungsform von f(x) = y P + m (x - x P ) Lösung: gem. Polyas Problem Solving Scheme (PPSS)

6 Funktionsgleichung(1) PPSS: Understand the problem 1) geg. Funktion f, Wert x P von Punkt P 2) Steigung m von f in P(x P, y P ), Punktsteigungsformel f P mit m und P 3) geg. Parameter: f, x P gesuchte Parameter m

7 Funktionsgleichung(1) PPSS: Make a plan of a proof 1) Ähnliches Problem? 2) Ableitungsregeln (z.B. Kettenregel, Quotientenregel) 3) Umformulierung: a) Berechne die Ableitung von der Funktion f(x P ), b) setze sie für die Steigung m in die allg. PSF ein 4) Spezifischeres Problem: ??? 5) Teile des Problems lösen: s. 3)

8 Funktionsgleichung(1) PPSS: Execute the plan Schritt a) f(x) = x 3 -5x 2 -2x-1 => f(x) = 3x 2 -10x-2 (= m) | Ableitung von f Schritt b) PSF: f PSF (x) = y P + m (x - x P ) | Eins. von m f PSF (x) = y P + (3x P 2 -10x P -2 ) (x - x P ) | Eins. von P(-0.5,-1.375) f PSF (x) = 3.75x ) Kontrolle der Berechnung der Punktsteigungsform(teilweise): Setze x P in die Funktion f ein und berechne y P Setze x P in die PSF ein und berechne y P

9 Funktionsgleichung(1) PPSS: Execute the plan

10 Funktionsgleichung(1) PPSS: Look back 1) Verifizieren der Lösung: nur durch Beweis der angewandten Regeln 2) Gehe sicher, dass der Erfolg jedes Lösungsschrittes klar erkenntlich ist: 3) Ziel auf einem besseren Weg erreichen. => In trivialen Fällen ist die Steigung direkt erkennbar: Beispiel: f(x)= mx + c oder f(x)=c 4) Kann man weitere Probleme auf die selbe Weise lösen?

11 Funktionsgleichung(2) Geg.: Funktion f: f(x) = -x 2 -3x, P(-1, ?) Ges.:Punktsteigungsform von f (x) = y P + m (x - x P ) Lösung: gem. Polyas Problem Solving Scheme (PPSS)

12 Funktionsgleichung(2) PPSS: Understand the problem 1) geg. Funktion f, Wert x P von Punkt P 2) ges. y P -Wert von P, Steigung m von f in P(x P, y P ), Punktsteigungsformel f P mit m und P 3) geg. Parameter: f, x P gesuchte Parameter y P, m

13 Funktionsgleichung(2) PPSS: Make a plan of a proof 1) Ähnliches Problem? 2) Ableitungsregeln (z.B. Kettenregel, Quotientenregel) 3) Umformulierung: a) Berechne y P durch Einsetzen von X b) Berechne die Ableitung von der Funktion f(x P ) c) setze sie für die Steigung m in die allg. PSF ein 4) Spezifischeres Problem: ??? 5) Teile des Problems lösen: s. 3)

14 Funktionsgleichung(2) PPSS: Execute the plan Schritt a) y = f(x) = -x 2 -3x => y = f(-1) = -(-1) 2 - 3(-1) = = 2 | Eins. von x = -1 Schritt b) => f(x) = -2x-3 (= m) | Ableitung von f Schritt c) PSF: f PSF (x) = y P + m (x - x P ) | Eins. von m f PSF (x) = y P + (-2 x P -3 ) (x - x P ) | Eins. von P(-1,2) f PSF (x) = -x + 1 1) Kontrolle der Berechnung der Punktsteigungsform(nicht ausreichend): Setze x P in die Funktion f ein und berechne y P Setze x P in die PSF ein und berechne y P

15 Funktionsgleichung(2) PPSS: Execute the plan

16 Funktionsgleichung(2) PPSS: Look back 1) Verifizieren der Lösung: nur durch Beweis der angewandten Regeln 2) Gehe sicher, dass der Erfolg jedes Lösungsschrittes klar erkenntlich ist: 3) Ziel auf einem besseren Weg erreichen. => In trivialen Fällen ist die Steigung direkt erkennbar: Beispiel: f(x)= mx + c oder f(x)=c 4) Kann man weitere Probleme auf die selbe Weise lösen?

17 PSF und Ableitung einer Funktion Ableitung beschreibt Steigung m a in jedem Punkt P der Funktion f PSF beschreibt die Gerade mit der speziellen Steigung m a für jeden Punkt P der Funktion f

18 Eigenes Beispiel f(x) = x 3 +1, P(0,?) Welche Steigung hat die Gerade der PSF an der Stelle P? triviales Beispiel zum Testen des Verständnis von PSF, Wendepunkt, Sattelpunkt


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