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Kapitel 5 Operative Planungsprobleme. Operations ManagementKapitel 5 / 2 SS 2005 5.1. Prognoseverfahren Ziel aus Vergangenheits-Daten Schlüsse über die.

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1 Kapitel 5 Operative Planungsprobleme

2 Operations ManagementKapitel 5 / 2 SS Prognoseverfahren Ziel aus Vergangenheits-Daten Schlüsse über die zukünftige Nachfrage ziehen wichtig bei: bei Endprodukten, wenn man Make to Stock (und nicht Make to Order) betreibt wenn es sich um geringwertige Güter (Hilfsstoffe, Verschleißteile, C-Produkte, etc.) handelt, bei denen sich der Aufwand für andere Verbrauchsermittlungsverfahren nicht lohnen würde bei untergeordneten Erzeugnissen, die in sehr vielen übergeordneten Erzeugnissen eingehen, sodass der Bedarf einen sehr regelmäßigen Verlauf annimmt wenn die Daten für programmorientierte Verfahren nicht zur Verfügung stehen (z.B. Ersatzteilverbrauch)

3 Operations ManagementKapitel 5 / 3 SS 2005 Verfahren Erklärende Prognosen: bringen den zukünftigen Verlauf in Zusammenhang mit anderen Zeitreihen (z.B. Konjunktur) eher für Branchen, nicht für einzelne Produkte geeignet u. U. von Interesse für langfristige Planung Regression, OLS Univariate Prognosen: ermitteln mutmaßliche Nachfragewerte allein aufgrund vergangener Nachfragwerte des jeweiligen Produktes besonders wichtig für Mittelfristplanung Zeitreihenprognose

4 Operations ManagementKapitel 5 / 4 SS 2005 Verfahren II singuläre Ereignisse: Kenntnisse über künftige Ereignisse, die man nicht aus den Vergangenheitswerten der Zeitreihe entnehmen kann, die jedoch den Nachfragverlauf nachhaltig beeinflussen. z.B. Steigerung des Bierverbrauchs aufgrund einer bevorstehenden Milleniumsfeier, Marketingaktionen, Gesetztesänderungen, etc. werden meist als einfacher Zuschlag berücksichtigt Wir werden uns hier vorrangig mit Zeitreihenprognosen (II) befassen.

5 Operations ManagementKapitel 5 / 5 SS 2005 Zeitreihenprognose Gegeben: Zeitreihen {r : = 1,…t}, d.h. die Daten von r 1 bis r t-1 und der aktueller Wert r t Prognoseaufgabe: vom Gegenwartszeitpunkt = t aus Prognosen p t+k = r t (t+k) für einen zukünftigen Wert in Periode t + k erstellen. Der Index gibt den Zeitpunkt an, bis zu dem die Daten vorliegen, der Wert in der Klammer den Zeitpunkt für den die Prognose abgegeben wird. Wenn nun für die Perioden t+1 bis t+k Prognosen p t+1,..., p t+k abgegeben werden, so ergibt sich durch Vergleich mit der sich dann tatsächlich realisierenden Nachfrage r t+1,..., r t+k jeweils ein Prognosefehler e t+1,..., e t+k, wobei e = r - p

6 Operations ManagementKapitel 5 / 6 SS 2005 Zeitreihenprognose II Ferner kann man in der gewählten bzw. ermittelten Formel für pt+k auch k < 0 wählen und so ex-post Prognosen für die Zeitpunkte 1,... t berechnen, ebenso wie die ex-post Prognosefehler e1,..., et. Letzteres z.B. um die Güte diverser Prognoseverfahren zu bewerten. Zeitpunkte 12…tt+1…t+k Beobachtungen r1r1 r2r2 …rtrt Prognose p t+1 …p t+k Prognosefehler e t+1 …e t+k ex-post-Prognose p1p1 p2p2 …ptpt ex-post Prognosefehler e1e1 e2e2 …etet

7 Operations ManagementKapitel 5 / 7 SS 2005 Zeitreihenprognose III Maßzahlen für die Güte einer Prognose stellen Mittelwert und Streuung der Prognosefehler dar. Für die ex-post Prognosefehler gilt: bzw. Diese einfachen und aus Mathematik bzw. Statistik wohlbekannten Größen haben durchaus große Aussagekraft. Dennoch wird in der betrieblichen Praxis häufig die scheinbar leichter zu verstehende Größe MAD (mean absolute deviation, mittlere absolute Abweichung) verwendet: sowie die Spannweitedie deutlich weniger Information bieten.

8 Operations ManagementKapitel 5 / 8 SS 2005 Zeitreihenprognose IV Wir besprechen einige einfache univariate Prognoseverfahren, die auf Zeitreihen mit: (1) konstantem Verhalten (2) trendförmigem Verhalten (3) saisonalem Verhalten angewandt werden.

9 Operations ManagementKapitel 5 / 9 SS Zeitreihen mit konstantem Verhalten Zeitreihen mit konstantem Verhalten weisen weder Trend noch Saisonalität auf und sind am einfachsten zu behandeln. Dabei sind folgende Vorgangsweisen denkbar: naive Prognose, Letztwert - Prognose Man nimmt an, dass sich die Nachfrage in Zukunft wie in der Gegenwart entwickeln wird, d.h. die Vergangenheit wird ignoriert. Falls die Nachfragewerte aber doch um einen Mittelwert schwanken, ist es sinnvoller, Vergangenheitswerte mit einzubeziehen (Mittelbildung).

10 Operations ManagementKapitel 5 / 10 SS 2005 Der gleitende Durchschnitt prognostiziert die Zeitreihe einfach als Mittelwert (Durchschnitt) der Nachfrage über einem Träger der letzten n Nachfragewerte r t-n+1,..., r t : Gleitender Durchschnitt wobei der Schätzwert M t der Zeitreihe im Zeitpunkt t wie folgt definiert ist. Gleitend ist der Durchschnitt insofern, als bei einer Prognose im nächsten Zeitpunkt t+1 der älteste Wert r t-n+1 durch den neuen Wert r t+1 verdrängt wird.

11 Operations ManagementKapitel 5 / 11 SS 2005 Wesentlich für die Güte der Prognose ist die Wahl des Zeitraums n: Gleitender Durchschnitt II n zu groß man kann temporäre systematische Schwankungen nicht mehr erfassen. Nachteil des Verfahrens ist die Tatsache, dass zunächst alte Vergangenheitswerte als gleich­wertig mit dem neuesten Nachfragewert behandelt werden und dann plötzlich überhaupt ignoriert werden. Dieser Nachteil wird im folgenden Verfahren behoben, in dem Vergangenheitswerte langsam in Vergessenheit geraten bzw. ihre Relevanz verlieren. n zu klein man reagiert zu stark auf nichtsystematische (d.h. stochastische) Schwankungen.

12 Operations ManagementKapitel 5 / 12 SS 2005 Man prognostiziert: einfache Exponentielle Glättung wobei der Schätzwert G t das mit gewichtete arithmetische Mittel aus altem Schätzwert G t-1 (aus den Beobachtungen bis zum Zeitpunkt t-1) und neuer Information r t ist : Man kann die Beziehung für t-1 einsetzen: mit Startwert G 1 = r 1 Man erhält auf diese Weise:

13 Operations ManagementKapitel 5 / 13 SS 2005 Dies gilt sofern die Zeitreihe wirklich lange in die Vergangenheit zurückverfolgt werden kann. Für großes ist der Faktor (1- ) allerdings verschwindend klein, sodass praktisch kein Fehler begangen wird wenn nur eine endliche Summe betrachtet wird. Der Schätzwert ergibt sich durch "exponentielle" Gewichtung der Vergangenheitswerte. Name "exponentielle Glättung" Exponentielle Glättung II Glättung bedeutet, dass die geglättete Zeitreihe {G t } weniger Schwankungen aufweist, als die ursprüngliche, {r t } d.h. die neue Schätzung unterscheidet sich von der alten um den durch gewichteten (vor­herigen) Schätzfehler r t – G t-1. Die Rekursionsformel für die G t läßt sich auch schreiben als:

14 Operations ManagementKapitel 5 / 14 SS 2005 Die Wahl von ist ähnlich kritisch wie die von n beim gleitenden Durchschnitt: Exponentielle Glättung III = 0 G t = G t-1 und die Schätzung reagiert überhaupt nicht auf die neue Zeitreiheninformation In der Praxis wählt man häufig = 0,1 bis = 0,3. Oft wird auch durch Simulation optimiert. = 1 es zählt nur der Gegenwartswert r t Wichtig: Achten sie daruf, dass genügend Vergangenheitswerte vorhanden sind, bzw. dass ein guter Anfangswert G1 bekannt ist.

15 Operations ManagementKapitel 5 / 15 SS 2005 Beispiel: folgende Nachfragedaten: Exponentielle Glättung IV G 2 = 18 z.B. Mittelwert der ersten beiden Werte Offensichtlich schwankt die geglättete Zeitreihe {G t } weniger als die ursprüngliche, {r t }. t rtrt α = 0,2 G 3 = 0,2 * ,8 * 18 = 17,8 G 4 = 0,2 * ,8 * 17,8 = 17,84 G 5 = 0,2 * ,8 * 17,84 = 18,67 G 6 = 0,2 * ,8 * 18,67 = 20,34

16 Operations ManagementKapitel 5 / 16 SS Zeitreihen mit trendförmigem Verhalten Dabei werden und so bestimmt, dass die Summe der Quadrate der Abweichungen r t - R t minimal wird: Lineare Regression (OLS) – Methode der kleinsten Quadrate Man approximiert die Werte r t durch eine möglichst gut passende Gerade R t = α + β t und die Prognose erfolgt über

17 Operations ManagementKapitel 5 / 17 SS 2005 Als Ergebnis dieser einfachen Optimierungsaufgabe erhält man (wenn die Beobachtungen zu den Zeitpunkten 1, 2,..., t vorliegen): Lineare Regression II und Mittelwert der Zeitpunkte (der erklärenden Variablen). Bei äquidistanten Beobachtungen der erklärenden Variablen (wie bei Zeitpunkten meist gegeben) gilt: = (erster Zeitpunkt + letzter Zeitpunkt)/2 wobeider Mittelwert der Beobachtungen ist und der

18 Operations ManagementKapitel 5 / 18 SS 2005 Also gilt: Lineare Regression III Randbemerkung: Bei nicht-äquidistanten Beobachtungen 1,... n der erklärenden Variablen t bzw. Beobachtungspunkten ( 1, r 1 ),..., ( n, r n ) ist die Formel leicht abzuändern: und, wobei

19 Operations ManagementKapitel 5 / 19 SS 2005 Klarerweise ist diese Formel für äquivalent mit Darstellungen in der Literatur, wo der Zähler von durch Lineare Regression IV Dieses Verfahren wird in Fällen angewandt, falls mehrer Einflussgrößen vorhanden sind (hier: Spezialfall einer Zeitreihe), wobei keine Unterscheidung aufgrund des Alters einer Beobachtung gemacht wird. Falls das Alter doch eine Rolle spielt, kann eine abgeänderte Form der exponentiellen Glättung angewendet werden. bzw. der Nenner von durch ersetzt ist.

20 Operations ManagementKapitel 5 / 20 SS 2005 Diese entspricht der einfachen exponentiellen Glättung wobei ein Korrekturterm für den Trend verwendet wird: trendbereinigte Exponentielle Glättung Dabei ist T der Betrag, um den die Nachfrage im Durchschnitt pro Periode steigt. Da T zumeist nicht bekannt ist, wird T selbst mittels exponentieller Glättung bestimmt: wobei... Schätzwert für den Trend T basierend auf den Daten r 0 bis r t

21 Operations ManagementKapitel 5 / 21 SS 2005 Trendbereinigte Exponentielle Glättung II Schritt 1 bestimme den neuen Schätzwert für den Absatz: Schritt 2 bestimme den neuen Schätzwert für den Trend: Schritt 3 bestimme den Prognosewert für t+k:

22 Operations ManagementKapitel 5 / 22 SS 2005 Trendbereinigte Exponentielle Glättung III Beispiel: folgende Nachfragedaten: ersten 3 Beobachtungen Startwert für den Trend T 3 = 1 Startwert für den Schätzwert B 3 = 18 wir wählen α = β = 0.2 t rtrt Schätzwert für Periode 4: B 4 = 0,2 * ,8 * [18+1] = 18,8 T 4 = 0,2 * 0,8 + 0,8 * 1 = 0,96 Prognose (für k=1): r 4 (5) = 18,8 + 0,96 = 19,76 Prognose (für k=2): r 4 (6) = 18,8 + 2*0,96 = 20,72

23 Operations ManagementKapitel 5 / 23 SS 2005 Trendbereinigte Exponentielle Glättung IV Schätzwert für Periode 6: B 6 = 0,2 * ,8 [20,21 + 1,05] = 22,41 T 6 = 0,2 * 2,2 + 0,8 * 1,05 = 1,28 Prognose (für k=1): r 6 (7) = 22,41 + 1,28 = 23,69 Schätzwert für Periode 5: B 5 = 0,2 * ,8[18,8 + 0,96] = 20,21 T 5 = 0,2 * 1,41 + 0,8 * 0,96 = 1,05 Prognose (für k=1): r 5 (6) = 20,21 + 1,05 = 21,26

24 Operations ManagementKapitel 5 / 24 SS 2005 Trendbereinigte Exponentielle Glättung V Schätzwert für Periode 7: B 7 = 0,2 * ,8[ 22,41 + 1,28] = 23,55 T 7 = 0,2 * 1,14 + 0,8 * 1,28 = 1,25 Prognose (für k=1): r 7 (8) = 23,55 + 1,25 = 23,69 T Rt Bt1818,820,2122,4123,5525,6428,0529,3329,7131,22 Tt10,961,051,281,251,411,621,551,321,35 19,7621,2623,6924,827,0629,6730,8831,02

25 Operations ManagementKapitel 5 / 25 SS Zeitreihen mit saisonalem Verhalten für die mittelfristige Planung von besonderer Bedeutung (Zeitraum von ein bis zwei Jahren): bei vielen Produkten sind jahreszeitliche Schwankungen typisch. Zunächst berechnet man sog. momentane Saisonkoeffizienten: wobei M t wieder der gleitende Mittelwertschätzer ist. Mittelt man S t noch über L + 1 Saison­koeffizienten (den gegenwärtigen und L vergangene) gleicher Phase so erhält man den Zeitreihenschätzwert:

26 Operations ManagementKapitel 5 / 26 SS 2005 Zeitreihe mit Saisonalem Verhalten II Dabei gibt die Länge der Saison an (z.B. bei monatlichen Zeitreihen und Jahressaison ist = 12). Als Prognose erhält man: wobei man den zur Phase t+k passenden letzten Schätzwert des Saisonkoeffizienten S t+k- verwendet. (Ist k >, so benutzt man S t+k-2 bzw. S t+k-3 usw.).

27 Operations ManagementKapitel 5 / 27 SS 2005 Zeitreihe mit Saisonalem Verhalten III Beispiel: folgende Nachfragedaten (halbjährlich, = 2): Per.1/982/981/992/991/002/001/012/01 t rtrt Offensichtlich ist im ersten Halbjahr die Nachfrage im Normalfall niedriger.

28 Operations ManagementKapitel 5 / 28 SS 2005 Zeitreihe mit Saisonalem Verhalten IV 1. Schritt: Ermittlung der momentanen Saisonkoeffizienten S t = r t / M t wobei M t = Mittelwert von r t-1 und r t gemittelte Saisonkoeffizienten über mehrere Jahre (hier über alle) MtMt 8,59,510910,511,5 StSt 1,180,951,10,891,240,871,13 1,180,951,140,921,170,901,16

29 Operations ManagementKapitel 5 / 29 SS 2005 Zeitreihe mit Saisonalem Verhalten V Zusatz: oft werden die gemittelten Saisonfaktoren so korrigiert, dass die Summe über einen saisonalen Zyklus ergibt. Die Saisonfaktoren für 2001 wären also wie folgt: Schätzwert und Einschrittprognose 10,09,0311,48,2812,310,413,3 11,29,510,39,6613,510,4

30 Operations ManagementKapitel 5 / 30 SS Zeitreihen mit Trend und Saisonalität ebenfalls für die mittelfristige Planung von besonderer Bedeutung Grundidee dieses Prognoseverfahrens: 1. Ermittlung der Saisonkoeffizienten Obiges Beispiel: 2. Saisonbereinigte Zeitreihe: Beobachtung / Saisonkoeffizienten 3. lineare Regression (oder exp. Glättung) der saisonbereinigten Zeitreihe 4. Prognose = Wert der Regressionsgerade * Saisonkoeffizienten Saisonbereinigte Zeitreihe (Saisonkoeffizienten 0,9 bzw. 1,16) 7,778,62709,488,8811,211,111,2

31 Operations ManagementKapitel 5 / 31 SS 2005 Zeitreihe mit Trend und Saisonalität II Diese Werte seien nun die r t, die mittels Regression analysiert werden sollen. Der Mittelwert der Beobachtungen ist: = (7,77+8, ,48+8,88+11,2+11,1+11,2)/8 = 78,25/8 = 9,78 Mittelwert der Zeitpunkte ist: = 4,5 = - (7,77*3,5) - (8,62*2,5) - (10*1,5) - (9,48*0,5) + (8,88*0,5) + (11,2*1,5) + (11,1*2,5) + (11,2*3,5) = 19,705 = (3,52 + 2,52 + 1,52 + 0,52)*2 = 42

32 Operations ManagementKapitel 5 / 32 SS 2005 Zeitreihe mit Trend und Saisonalität III Es ist ein Trend nach oben zu erkennen: = 19,705/42= 0,47, = 9,78 - 0,47*4,5 = 7,67 für n = 1 bzw. n = 2,... z.B.

33 Operations ManagementKapitel 5 / 33 SS mittelfristige Produktionsprogrammplanung dynamische Produktionsprogrammplanung besitzt 2 Stufen: mittelfristige Produktionsprogrammplanung mittels LP Beschäftigungsglättung (aggregierte Gesamtplanung), d.h. Ausgleich der Kapazitätsbeanspruchung über das Jahr. Diese mittelfristigen Über- legungen erfolgen auf aggregiertem Niveau (Produktgruppen, Monats- basis) unter Verwendung von Nachfrageprognosen. kapazitierte Hauptproduktionsprogrammplanung (master production schedule), sprich kurzfristige detaillierte Festlegung der konkreten Produktmengen in den einzelnen Perioden (Hauptprodukte auf Wochen- basis) unter Verwendung der Vorgabe der Beschäftigungsglättung und detaillierterer Nachfrageprognosen.

34 Operations ManagementKapitel 5 / 34 SS 2005 Mittelfristige PPP mittels LP II Ziel: Erstellung eines mehrperiodigen Produktionsprogramms auf der Basis eines LP-Modells. In diesem Fall erfolgt der Ausgleich zwischen den einzelnen Perioden durch Lagerbildung. dadurch wird eine gewisse Unabhängigkeit zwischen Produktion und Nachfrage geschaffen (Emanzipation). dabei gilt die Lagerbilanzgleichung: y jt = y j,t-1 + x jt - d jt wobei: x jt... Produktionsmenge von Produkt j in Periode t, (Variable) y jt... Lagerbestand des Produktes j am Ende der Periode t, (Variable) d jt... Bedarf an Produkt j in Periode t (Prognose). (Parameter)

35 Operations ManagementKapitel 5 / 35 SS 2005 Mittelfristige PPP mittels LP III Zur Vermeidung von Kapazitätsengpässen kann nicht nur vorproduziert werden, sondern auch Zusatzkapazität in Anspruch genommen werden. einfachste Kapazitätsrestriktion: wobei: u it... genutzte Zusatzkapazität von Segment i in Periode t, (Variable) b it... Produktionskapazität von Segment i in Periode t, (Variable) a ij... durch Produkt j verursachte Kapazitätsbeslastung von Segement i. (Parameter)

36 Operations ManagementKapitel 5 / 36 SS 2005 Mittelfristige PPP mittels LP IV Schwieriger ist der Fall, wenn Vorlaufperioden zu betrachten sind, in diesem Fall ist: a ijv... durch Produkt j verursachte Kapazitätsbelastung von Segment i in Vorlaufperiode ferner definiert man: T … Anzahl der Perioden n … Anzahl der Produkte m … Anzahl der Segmente V j... Anzahl der Vorlaufperioden von Produkt j Kapazitätsrestriktion: h j … Lagerkosten pro Einheit von Produkt j und Periode z i … Zusatzkosten in Segment i pro Einheit genutzter Zusatzkapazität U it … maximal mögliche Zusatz- kapazität in Segment i in Periode t

37 Operations ManagementKapitel 5 / 37 SS 2005 Mittelfristige PPP mittels LP V y jt = y j,t-1 + x jt - d jt x jt, y jt, u it 0 u it U it y j0 gegeben Lager + Zusatzkosten für j = 1,...,n und t = 1,...,T für i = 1,...,m und t = 1,...,T für j = 1,...,n und t = 1,...,T für i = 1,...,m, j = 1,...,n und t = 1,...,T für j = 1,...,n... Anfangslagerbestände

38 Operations ManagementKapitel 5 / 38 SS 2005 Beispiel (aus Kapitel 8.3, Günther und Tempelmeier, Produktion & Logistik) Mittelfristige PPP mittels LP VI Dabei sind 2 Endprodukte A und B herzustellen, die aus Baugruppen C, D und E bestehen, wobei dort wieder Einzelteile F und G eingehen (jeweils 1 Einheit). Dies ist in nebenstehender Abbildung illustriert: Im Segment 1 werden also die Endprodukte erzeugt, in Segment 2 die Baugruppen C und D sowie in Segment 3 die übrigen Vorprodukte.

39 Operations ManagementKapitel 5 / 39 SS 2005 Der Kapazitätsbedarf pro Stück im entsprechenden Segment sei aus den Arbeitsplänen bekannt und in folgender Tabelle angegeben (z.B. in Stunden): Mittelfristige PPP mittels LP VII ErzeugnisABCDEFG Kapazitätsbedarf pro Stück Die beiden Endprodukte verursachen also in den 3 Segmenten folgende Kapazitätsbelastung unter Berücksichtigung der Vorlaufperioden. Endprodukt AEndprodukt B Produktionssegment Vorlaufperiode

40 Operations ManagementKapitel 5 / 40 SS 2005 Die Kapazitätsrestriktionen für die 3 Segmente lauten also: Mittelfristige PPP mittels LP VIII 4 x A,t x B,t+1 - u 2t b 2t Segment 2(C und D) 4 x B,t x B,t+2 - u 3t b 3t Segment 3(E bis G) 1 x At + 2 x Bt - u 1t b 1t Segment 1(A und B) Hinzu kommen die übrigen Bedingungen aus obigem LP. Um es überschau- bar zu halten, hat es nur 2 Entscheidungsvariablen (Produktions-menge von A und B). Die anderen Mengen sind aus der Endproduktmenge ableitbar. Im einem (oft computerunterstützten) PPS-Systemen erfolgt nach der Planung des kurzfristigen Produktionsprogrammes (z.B. mit LP wie hier): Materialbedarfsplanung - wann werden welche Rohstoffe in welcher Menge benötigt? Auftragsterminierung und Ressourcenbelegung - Belegung der einzelnen Anlagen mit Auf­trägen unter Beachtung aller Kapazitätsschranken

41 Operations ManagementKapitel 5 / 41 SS mittelfristige Programmplanung ohne LP Unter der Voraussetzung linearer Produktionszusammenhänge ist das LP ein geeignetes Verfahren, um bereits recht komplexe Situationen der mittelfristigen Planung optimal zu gestalten. Da die Berechnung für mehrere Perioden und Produkte bzw. Produktgruppen allerdings schon aufwendig sein kann, sind noch andere (einfachere) Planungsverfahren üblich. Die Idee (etwa gleichzeitig mit LP in fünfziger Jahren) stammt aus der Regelungstheorie und beruht im Prinzip auf denselben Überlegungen wie die exponentielle Glättung. Mittelfristplanung bedeutet, einen prognostizierten Nachfrageverlauf so gut wie möglich zu erfüllen man versucht, die Produktion so einzuregeln, dass sie Abweichungen von der Nachfrageprognose zum Anlaß nimmt, die Produktion zu korrigieren.

42 Operations ManagementKapitel 5 / 42 SS 2005 Im einfachsten Falle folgt man z.B. der linearen Rekursionsbeziehung Mittelfristige PPP ohne LP II wobei:... Richt-Lagerbestand,... Glättungskonstanten. Je größer und desto stärker führen Abweichungen zu Korrekturen. Lineare Entscheidungsregeln sind ähnlich ausbaufähig wie LP-Modelle. Nachteil: es ist nicht möglich, strikte Ressourcenbeschränkungen zu berücksichtigen (oft kein großes Problem, da nur Grobplanung). Vorteil: reagieren glatter auf stochastische Schwankungen als LPs aufgrund der glatteren Periodenverknüpfung geringere Nervosität.

43 Operations ManagementKapitel 5 / 43 SS Losgrößenplanung - Lagerhaltung deterministische Modelle (Nachfrage wird als bekannt vorausgesetzt) – stochastische Modelle (Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Nachfragemengen bekannt) – z.B. Newsboy, Servicegrade,... statische Modelle (konstante Nachfrage - Betrachtung einer typischen Bestellperiode) – z.B. EOQ (Wurzelformel) dynamische Modelle (Nachfrage variiert mit der Zeit) – z.B. Wagner- Whitin Ein-Produktmodelle - z.B. EOQ, Wagner-Whitin, Newsboy Mehr-Produktmodelle, wobei hier zu unterscheiden ist: – mit unabhängigem Bedarf (aber z.B. gemeinsamer Kapazitäts- beschränkung) – mit abhängigem Bedarf (z.B. Vorprodukte bei mehrstufiger Produktion) Bei Lagerhaltungsmodellen unterscheidet man:

44 Operations ManagementKapitel 5 / 44 SS Mehrstufige dynamische Mehrproduktmodelle Die einfachste Vorgangsweise, die in der Praxis weit verbreitet und in vielen PPS-Systemen implementiert ist, ignoriert die Kostenwirkungen der Losgrößenentscheidung für ein Produkt auf die Vorgängerprodukte. Die grundsätzliche Vorgangsweise ist wie folgt. Beginne mit dem Endprodukt und plane es mittels Einprodukt-Heuristik oder WW-Verfahren. (Allgemeiner wird nach den Dispositionsstufen vorgegangen und mit den Endprodukten begonnen) Erzeugnisorientierte Dekomposition ohne Kostenanpassung Plane die unmittelbaren Vorgängerprodukte, wobei sich der Bedarf für diese Vorgänger­produkte aus den Losgrößenentscheidungen der übergeordneten Produkte ergibt, usw. (Allgemeiner: wenn eine Dispositionsstufe abgearbeitet ist, gehe zur nächsten)

45 Operations ManagementKapitel 5 / 45 SS 2005 Erzeugnisorientierte Dekomposition II Beispiel: N = 2 Produkte, T = 4 Perioden, a 12 = 1, Bedarf, Rüstkosten und Lagerkosten wie folgt: Produktt = 1t = 2t = 3t = 4SiSi hihi i = i = Zunächst wird das Endprodukt i = 2 geplant. Nach Silver-Meal ergeben sich folgende Lose: t = 1: 100/1 < [ ]/2 = 105 d.h. q21 = 10, u.s.w. also keine Losbildung q22 = 10, q23 = 10, q24 = 10. Es ergibt sich somit folgender Sekundärbedarf für das Vorprodukt 1: Produktt = 1t = 2t = 3t = 4SiSi hihi i = Planung über erzeugnisorientierte Dekomposition ohne Kostenanpassung:

46 Operations ManagementKapitel 5 / 46 SS 2005 Erzeugnisorientierte Dekomposition III Nach Silver-Meal ergeben sich folgende Lose: t = 1: 120/1 > [ ]/2 = 110, aber 110 < [ ]/3 = 140 d.h. Losbildung: q11 = , q12 = 0. t = 3: 120/1 > 110, d.h. Losbildung: q13 = , q14 = 0. Die Gesamtkosten sind dann 840: Produkt 2: 4 Rüsten, also 400 Produkt 1: 2 Rüsten, 2 Lagern, also = 440 Zum Vergleich: Losbildung schon beim Endprodukt: q21 = 20, q22 = 0, q23 = 20, q24 = 0 Dies ergibt Bedarfsmengen für das Vorprodukt 1: Produktt = 1t = 2t = 3t = 4SiSi hihi i =

47 Operations ManagementKapitel 5 / 47 SS 2005 Erzeugnisorientierte Dekomposition IV Nach Silver-Meal ergeben sich folgende Lose: t = 1: 120/1 > [ ]/2 = 60, aber 60 < [ ]/3 = 173,3 d.h. Losbildung: q11 = 20, q12 = 0. t = 3: analoge Losbildung: q13 = 20, q14 = 0. Die Gesamtkosten sind dann 660: Produkt 2: 2 Rüsten, 2 Lagern, also = 420 Produkt 1: 2 Rüsten, also 240 Die Lösung aus dem vorigen Abschnitt lässt sich also um über 20% verbessert! Die Losbildung beim Endprodukt sollte nämlich berücksichtigen, dass die hier getroffenen Entscheidungen die Kosten bei den untergeordneten Produkten beeinflussen. Dies führt zur Idee der Kostenanpassung, d.h. man versucht durch systematische Erhöhung der Lagerkosten und/oder Rüstkosten die Folgekosten bei den untergeordneten Produkten schon bei der Losbildung mittels Einproduktmodell zu berücksichtigen.

48 Operations ManagementKapitel 5 / 48 SS Erzeugnisorientierte Dekomposition mit Kostenanpassung bei konvergierender Produktstruktur Annahme: Vorliegen einer konvergierenden Produktstruktur (d.h. jedes Produkt (bis auf die Endprodukte) hat einen eindeutig bestimmten Nachfolger) Es gibt verschiedene Ansätze die zumeist wie folgt vorgehen: Bei Ermittlung der modifizierten Kosten wird von konstanten Primär- bedarfsmengen ausgegangen, wobei wir hier nur Primärbedarfsmengen für das Endprodukt n = N zulassen wollen, also Bedarf/Periode = (Endprodukt); Bedarf pro Periode = 0 sonst. Multiplikatoren i ermittelt, die angeben, wie oft (im Schnitt) ein Los des Nachfolgerproduktes n(i) während eines Zyklus von Produkt i aufgelegt wird. Bei geschachtelten Politiken muss also immer i 1 gelten, Auf Basis von i werden dann (ausgehend von den untergeordneten Produkten) die Lager­kosten und/oder Rüstkosten modifiziert.

49 Operations ManagementKapitel 5 / 49 SS 2005 Varianten Variante 1: motiviert durch Überlegungen zum ELSP mit konvergierender Produktstruktur werden folgende Multiplikatoren ermittelt sodann werden die Rüstkosten korrigiert: wobei die Lagerkosten h j nicht verändert werden. Im obigen Beispiel: Silver-Meal für Endprodukt 2: q21 = 20, q22 = 0, q23 = 20, q24 = 0, denn 204,35/1 > [204, ]/2 = 157,18 < [204, ]/3 = 178,12

50 Operations ManagementKapitel 5 / 50 SS 2005 Varianten II Variante 2: ähnlich wie Variante 1, berücksichtigt aber i 1, also Variante 3: berücksichtigt auch noch die Ganzzahligkeit der i, usw. Es gibt auch Formulierungen über den systemweiten Lagerbestand. All diese Verfahren sind zwar etwas rascher als das folgende Verfahren von Afentakis, liefern aber in der Regel schlechtere Lösungen.

51 Operations ManagementKapitel 5 / 51 SS Verfahren von Afentakis Es gibt eine Vielzahl an Heuristiken, die man nach folgendem Gesichtspunkt einteilen kann: erzeugnisorientierte Dekomposition: man betrachtet unabhängige Einproduktmodelle, die dann eventuell (z.B. durch Kostenanpassung) gekoppelt werden; periodenorientierte Dekomposition: man betrachtet simultan alle Produkte und erweitert schrittweise den Planungshorizont Ein typischer Vertreter der letzteren Gruppe ist das Verfahren von Afentakis (1987). Dabei wird schrittweise für t = 1, 2,..., T eine näherungsweise optimale Lösung Q(t) für das Planungsintervall [1, t] ermittelt.

52 Operations ManagementKapitel 5 / 52 SS 2005 Afentakis II Wir gehen davon aus, dass nur für das Endprodukt N ein Primärbedarf d Nt vorliegt. Startlösung Wir erläutern den Schritt von t-1 t: Ausgangspunkt: Ferner sei i,t-1 die letzte Produktionsperiode von Produkt i, also die letzte Periode mit positiver Losgröße. wobei

53 Operations ManagementKapitel 5 / 53 SS 2005 Afentakis III Es wird nun die Politik Q(t), also für alle i ermittelt. Unter allen Politiken, die a) und b) erfüllen, ermittle man die kostengünstigste Variante. Ferner soll die Politik geschachtelt sein, d.h. es wird nur dann ein Los für i aufgelegt, wenn für alle direkten (und damit auch indirekten) Nachfolger ein Los aufgelegt wird: x it = 1 x n(i),t = 1. Diese Eigenschaft ist bei jeder optimalen Politik erfüllt, sodass es sinnvoll ist, sie auch im Rahmen der Heuristik zu verlangen. Dabei bleiben alle Produktionsperioden erhalten, und der Bedarf an Produkt i der Periode t wird entweder durch Erhöhung der Produktionsmenge in i,t-1 gedeckt oder durch Neuauflage eines Loses an Produkt i in einer der Perioden i,t-1 + 1,..., t. Es stehen also t i,t-1 mögliche Perioden zur Verfügung, in denen der Bedarf der Periode t produziert werden kann.

54 Operations ManagementKapitel 5 / 54 SS 2005 Afentakis IV Beispiel: T = 3, N = 3. Endprodukt 3 und Vorprodukte 1 und 2 wobei a 13 = a 23 = 1 und a ij = 0 sonst. Rüstkosten S 1 = 8, S 2 = 10, S 3 = 5. Lagerkosten h 3 = 3, h 1 = h 2 = 1 (bzw. systemweite Kosten H 1 =H 2 =H 3 =1). Primärbedarfsmengen für Endprodukt 3: d 31 = 5, d 32 = 9, d 33 = 8. Zu Beginn und am Ende seien alle Lagerbestände = 0. Startlösung t=1: jedes Produkt in t=1 produzieren. alsomit Kosten = 23

55 Operations ManagementKapitel 5 / 55 SS 2005 Afentakis V Iteration t = 1: Es bestehen 5 potentielle Politiken, wobei nicht geschachtelte bereits weggelassen wurden: Kosten: Lösung: (1+1+1) = (1+1) + 5 = = = = 46

56 Operations ManagementKapitel 5 / 56 SS 2005 Afentakis VI Iteration t = 2: Es bestehen 8 potentielle Politiken: Kosten: Lösung: 45 +8(1+2+1) = (1+2) + 5 = = = 68 Kosten: Lösung: = (1+1) + 5 = = (1+1+1) = 70

57 Operations ManagementKapitel 5 / 57 SS 2005 Afentakis VII Näherungsweise optimale Politik für Zeitraum [1,..., 3]: Die zugehörigen Losgrößenentscheidungen sind: oder

58 Operations ManagementKapitel 5 / 58 SS LP-Modelle für mehrstufige dynamische Modelle ohne Kapazitätsbeschränkungen LP-Modell mit normalen Lagerbeständen i...Index für die Vorprodukte(i = 1,...,N-1) N...Index des Endproduktes t...Index für die Perioden(t = 1,...,T) h i...Lagerhaltungskostensatz für Produkt i S i...Rüstkosten für Produkt i d it...Effektive Nachfrage nach Produkt i in Periode t (Primärbedarf) y it...Lagerbestand des Produkts i am Ende der Periode t q it...Losgröße des Produkts i in Periode t N(i)...Menge der direkten Nachfolger des Produktes i

59 Operations ManagementKapitel 5 / 59 SS 2005 LP-Modell mit normalen Lagerbeständen II a ij...Direktbedarfskoeffizient, d.h. Menge an Produkt i, die direkt in 1 Einheit Produkt j eingeht (Zahl bei Pfeil i j im Gozintographen) Weiters sei eine Binärvariable, die Losauflage anzeigt Annahme: die Produktion der Periode t steht zur Befriedigung der Nachfrage t zur Verfügung und dass keine Fehlmengen zugelassen sind. Da die gesamte Nachfrage befriedigt werden muss, ist die gesamte Produktionsmenge vorgegeben, weshalb die konstanten variablen Produktionskosten weggelassen werden können. Beispiel: N = 3 1 Einheit Endprodukt 3 besteht aus 1 Teil Vor- produkt 1 und aus 2 Teilen Vorprodukt 2. In Vor- produkt 1 steckt noch 1 Einheit von Vorprodukt 2. N(1) = {3} N(2) = {1, 3} N(3) = {}

60 Operations ManagementKapitel 5 / 60 SS 2005 Kosten LP-Formulierung Lager- bilanzen Rüstkosten- verrechnung: Nicht-Negativität: Binärvariable: wobei M eine große Zahl ist.

61 Operations ManagementKapitel 5 / 61 SS LP-Modell mit systemweiten Lagerbeständen statt den obigen Formulierungen wird der systemweite Lagerbestand verwendet:...systemweiter Lagerbestand des Produkts i am Ende der Periode t, d.h. jene Menge an Bauteil i, die als Bauteil i oder eingebaut in übergeordnete Produkte im Lager vorrätig ist, dabei ist vij...Verflechtungs(Gesamt-)bedarfskoeffizient an Produkt i bzgl. Produkt j, d.h. Menge an Produkt i, die direkt oder indirekt in 1 Einheit Produkt j eingeht, und N*(i)...Menge aller (auch indirekten) Nachfolger Die Rückrechnung von Y it zu y it erfolgt über

62 Operations ManagementKapitel 5 / 62 SS 2005 LP mit systemweiten Lagerbeständen II analog definiert man:...systemweiter Lagerhaltungs- kostensatz für Produkt i, wobei V(i)...Menge aller direkten Vorgänger des Produktes i Obiges Beispiel: N*(i) = N(i) hier z.B.: a 23 = 2, v 23 = = 3 Also Y 2t = y 2t + 1y 1t + 3y 3t V(1) = {2}, V(3) = {1, 2} Wenn z.B. h 1 =2, h 2 = 1, h 3 = 6, dann H 2 = 1, H 1 = = 1, H 3 = = 2

63 Operations ManagementKapitel 5 / 63 SS 2005 LP - Formulierung keine Fehlmengen: Kosten Lager- bilanzen: Rüstkosten- verrechnung: Nicht-Negativität: Binärvariable: wobei M eine große Zahl ist.

64 Operations ManagementKapitel 5 / 64 SS konvergierende Produktionsstruktur Falls jedes Produkt (bis auf das Endprodukt) genau einen Nachfolger besitzt (konvergierende Produktstruktur, Montageprozeß), so vereinfachen sich die obigen Formeln etwas. In der ersten Formulierung kann man durch ersetzen, wobei n(i) der einzige Nachfolger von i ist, also N(i) = {n(i)}. In der Formulierung mit systemweitem Lagerbestand ergibt sich folgende Vereinfachung: keine Fehlmengen

65 Operations ManagementKapitel 5 / 65 SS 2005 konvergierende Produktionsstruktur II Im Rahmen der Kostenanpassung findet der systemweite Ansatz ebenfalls Verwendung: Variante 4: hier wird von systemweiten Lagerkosten H i ausgegangen und die i werden etwas anders ermittelt: sodann werden die Kosten wie folgt korrigiert: und

66 Operations ManagementKapitel 5 / 66 SS Weiterführende Bemerkungen zu Kapazitätsbeschränkungen Im Rahmen der LP-Modelle lassen sich Kapazitätsbeschränkungen natürlich leicht formal berücksichtigen. Bei den Heuristiken verursacht die Tatsache Schwierigkeiten, dass man infolge von Kapazitätsengpässen in der Zukunft eventuell schon jetzt mehr (als scheinbar kostengünstig ist) produzieren muss, und eventuell auch nur Teile von Periodenbedarfen in einer Vorperiode auf Lager produzieren muss. Bei einstufigen Problemen nennt man diese Klasse von Problemen CLSP (capacitated lot sizing problem) und das bekannteste Verfahren ist das von Dixon und Silver. Bei mehrstufigen Problemen (MLCLSP, multi level CLSP) werden oft allgemeine heuristische Ansätze wie Simulated Annealing eingesetzt; siehe z.B. Domschke -Scholl - Voß (1993).

67 Operations ManagementKapitel 5 / 67 SS Maschinenbelegung Maschinenbelegungsprobleme (scheduling) befassen sich mit der zeitlichen Zuordnung von Aufträgen zu Arbeits­trägern bzw. Maschinen und umgekehrt unter Beachtung vorgegebener Zielsetzungen und Restriktionen. Dabei ist zu beachten, dass zu jedem Zeitpunkt jede Maschine höchstens einen Auftrag bearbeiten und jeder Auftrag nur von höchstens einer Maschine gleich­zeitig bearbeitet werden kann.

68 Operations ManagementKapitel 5 / 68 SS Begriffe Bei einem Maschinenbelegungsproblem sind n Aufträge oder Jobs (j = l,...,n) auf m Maschinen (Mi für i = l,...,m) zu bearbeiten. Dazu sind für jeden Auftrag j in der Regel folgende Daten gegeben: a j Auftragsfreigabe- oder Bereitstellungszeitpunkt bzw. - termin (release date) des Auftrags j Stehen alle Aufträge zum Zeitpunkt aj = 0 zur Bearbeitung bereit, bezeichnet man das Problem als statisch, ansonsten als dynamisch. t ji Bearbeitungszeit (oder -dauer, processing time) von Auftrag j auf Maschine i f j gewünschter Fertigstellungstermin (due date) des Auftrags j Werden alle oben erwähnten Größen als bekannt vorausgesetzt, so liegen deterministische Modelle vor; andernfalls (stochastische Ankunftszeitpunkte oder Bearbeitungszeiten) spricht man von stochastischen Modellen.

69 Operations ManagementKapitel 5 / 69 SS 2005 Reihenfolgearten Ein Auftrag j läßt sich in gj verschiedene Arbeitsgänge Aj1,...,Ajgj unterteilen, die in einer fest vorgegebenen Reihenfolge zu bearbeiten sind. Diese Reihenfolge bezeichnen wir als Arbeitsgangfolge. Sie ist in der Regel technologisch determiniert. Läßt sich jedem Arbeitsgang Ajh eines Auftrags j eindeutig eine Maschine jh zuordnen, so bezeichnet man die zeitliche Reihenfolge, in der die einzelnen Arbeitsgänge von j die Maschinen zu durchlaufen haben, als Maschinenfolge j = ( j1,..., jgj)von j. Die Maschinenfolgen sind damit ebenfalls durch technologische Erfordernisse festgelegt. Die Reihenfolge, in der die einzelnen Aufträge auf einer Maschine i zu bearbeiten sind, heißt Auftragsfolge von i. Dabei können mehrere Aufträge gleichzeitig um dieselben Maschinen konkurrieren. Die Auftragsfolge ist nicht vorgegeben, sondern Gegenstand der Planung. Eine zeitliche Zuordnung von Arbeitsgängen zu Maschinen heißt (zulässiger) Ablaufplan, falls alle Reihenfolgebedingungen sowie weitere Restriktionen eingehalten werden.

70 Operations ManagementKapitel 5 / 70 SS 2005 Auftrag 2 wird also zuerst auf M2, dann auf M3 und zuletzt auf M1 bearbeitet der erste AG (auf M2) nimmt 3 ZE in Anspruch Darstellungsmöglichkeiten Beispiel: statisches Jobshop-Problem mit 3 Maschinen und 3 Aufträgen: jeder Auftrag besteht aus g j = 3 Arbeitsgängen diese Aufträge sind in Reihenfolge A j1, A j2, A j3 zu bearbeiten j\h j\i Maschine μ j1 Maschinennummer μ jh Auftrag Arbeitsgang A jh Bearbeitungszeit t ji

71 Operations ManagementKapitel 5 / 71 SS Maschinenfolgegraph, Ablaufgraph Die Vorgaben hinsichtlich der Arbeitsgang- und der Maschinenfolgen lassen sich in folgendem Maschinenfolgegraphen veranschaulichen. Jede Knotenbezeichnung entspricht der Maschine jh, die den Arbeitsgang h des Auftrags j auszuführen hat. Maschinenfolgegraph: Angabe jeder Knoten entspricht einer Maschine i = jh

72 Operations ManagementKapitel 5 / 72 SS 2005 Ablaufgraph II Bei der Bestimmung von Auftragsfolgen ist für jede Maschine i festzulegen, in welcher Reihen­folge die einzelnen Aufträge j = 1, 2, 3 auf ihr zu bearbeiten sind. Dabei sind innerhalb des Maschinen­folgegraphen jeweils die Knoten mit derselben Maschinenbezeichnung i durch zusätzliche Pfeile, die jeweils genau einen Weg bilden, zu verbinden. Der entstehende Graph heißt Ablaufgraph. Ablaufgraph: Entscheidung Das nebenstehende Bild zeigt den Ablaufgraphen für obiges Problem, wenn die Aufträge auf der Maschine 1 in der Reihenfolge 1, 3, 2, auf der Maschine 2 in der Reihenfolge 3, 2, 1 und auf der Maschine 3 in der Reihenfolge 2, 1, 3 bearbeitet werden.

73 Operations ManagementKapitel 5 / 73 SS Gantt-Diagramm Bei Gantt-Diagrammen werden die Bearbeitungszeiten über der Abszisse (Zeitachse) sowie die Maschinen bzw. die Aufträge über der Ordinate aufgetragen. Man unterscheidet eine maschinenorientierte (gebräuchlichere Variante) und eine auftragsorientierte Darstellung. 3 Auftrag Leerzeit maschinenorientiertes Gantt-Diagramm

74 Operations ManagementKapitel 5 / 74 SS 2005 Gantt-Diagramm II Hier sind alle Arbeitsgänge unter Berücksichtigung der Reihenfolgebeziehungen des Ablaufgraphen frühestmöglich eingeplant. Dabei entsprechen die schraffierten Felder den Leerzeiten der Maschinen bzw. den Wartezeiten der Aufträge. Da die Maschinen unterschiedliche Auftrags­folgen aufweisen, handelt es sich um einen normalen Ablaufplan, aber um keinen Permutationsplan. 3 Maschine Wartezeit auftragsorientiertes Gantt-Diagramm

75 Operations ManagementKapitel 5 / 75 SS Semiaktive und aktive Ablaufpläne Semiaktive Ablaufpläne haben die Eigenschaft, dass der Beginn keines AG zeitlich vorgezogen werden kann, ohne eine Maschinenfolge zu verletzen oder eine Auftragsfolge zu ändern. Beispiel: (maschinenorientiertes Gantt-Diagramm) Auftrag nicht semiaktiv semiaktiv

76 Operations ManagementKapitel 5 / 76 SS 2005 Semiaktive und aktive Ablaufpläne Zu jedem zulässigen Ablaufplan existiert ein zugehöriger semiaktiver Ablaufplan, der leicht zu ermitteln ist: man verschiebt einfach alles so weit wie möglich nach links. Offensichtlich ist obiger Ablaufplan zwar semiaktiv, aber dennoch sehr schlecht. Aktive Ablaufpläne: Klarerweise ist jeder aktive Ablaufplan auch semiaktiv. kein AG kann zeitlich vorgezogen werden, ohne den Beginn mindestens eines anderen AGs zu verzögern es darf nur die Auftragsfolge verändert werden

77 Operations ManagementKapitel 5 / 77 SS 2005 Aktive Ablaufpläne Obiges Beispiel: Auftragsfolge an Maschine 2 ändern Auftrag nicht aktiv aktiv Auftrag

78 Operations ManagementKapitel 5 / 78 SS Klassifikation Im Bereich deterministischer Modelle werden Probleme mittels Tripeln [α|β|γ] charakterisiert. Maschinenart und –anordnung α 1 : wenn die Aufträge aus nur einem Arbeitsgang bestehen: wenn die Aufträge aus mehreren Arbeitsgängen bestehen: α 1 = 0, wenn genau 1 Maschine zur Verfügung steht α 1 = IP, wenn alle Maschinen identisch und gleichzeitig einsetzbar sind, bzw. gleiche Fertigungsgeschwindigkeiten auf allen Maschinen α 1 = F (Flow Shop): jeder Auftrag ist auf jeder Maschine genau einmal zu bearbeiten, und zwar in derselben Reihenfolge α 1 = PF (Permutations-Flow Shop): Überholverbot: auf allen Maschinen ist die Reihenfolge identisch α 1 = J (Job Shop): jeder Auftrag muss die Maschinen in einer eigenen, fest vorgegeben Reihenfolge durchlaufen α 1 = O (Open Shop) die Reihenfolge ist frei und spielt keine Rolle

79 Operations ManagementKapitel 5 / 79 SS 2005 Klassifikation II Maschinenzahl α 2 : wird nichts angegeben, so wird eine beliebige Anzahl betrachtet. F|*|* = ? J2|*|* = ? Flow Shop mit beliebig viel Maschinen Job Shop mit 2 Maschinen Auftragszahl β 1 : J| |* ein Job Shop mit beliebig vielen und J|3|* eins mit 3 Aufträgen Unterbrechbarkeit β 2 : pmtnUnterbrechung ist möglich no waites sind keine Unterbrechungen (bzw. keine Zwischenlager- oder Wartezeiten) zwischen den Arbeitsgängen erlaubt. Wird nichts angegeben, dürfen die Aufträge nicht unterbrochen werden

80 Operations ManagementKapitel 5 / 80 SS 2005 Klassifikation III Reihenfolgebeziehungen β 3 : precReihenfolgebeziehung entspricht einem gerichteten, zyklenfreien Graphen treeReihenfolgebeziehung wird in Form eines gerichteten Baumes betrachtet Wird nichts angegeben, dürfen die Aufträge beliebig gereiht werden Auftragsfreigabetermine und Nachlaufzeiten β 4 : a j unterschiedliche Auftragsfreigabetermine a j n j Nachlaufzeiten: nach der Bearbeitung benötigt der Auftrag j noch min. n j ZE bevor er fertig ist oder weiterverarbeitet werden kann Wird nichts angegeben, liegt ein statisches Problem vor

81 Operations ManagementKapitel 5 / 81 SS 2005 Klassifikation IV Die restlichen Untergruppen betreffen: β 6 reihenfolgeabhängige Rüstzeiten bzw. Rüstkosten β 7 Ressourcenbeschränkungen β 5 Bearbeitungszeiten β 8 Fertigstellungstermine

82 Operations ManagementKapitel 5 / 82 SS 2005 Klassifikation V Zielsetzungen γ: z max symbolisiert eine zu minimierende maximale Zeitdauer (Minimax- Zielsetzung); z j steht für eine zu minimierende (ggf. gewichtete) Summe von Zeitgrößen. z # verwenden wir zur Bestimmung einer zu minimierenden (ggf. gewichteten) Anzahl von Aufträgen mit bestimmten Eigenschaften (z.B. Verspätung). Durchlaufzeitbezogene Ziele Fertigstellungszeitpunkt F j (realiserte Fertigstellung von Auftrag j) Wartezeit: W ji bezeichnet die Wartezeit von j auf M i und Durchlaufzeit D j = F j – a j Bearbeitungszeitspanne eines Auftrags ist die gesamte Wartezeit des Auftrags j

83 Operations ManagementKapitel 5 / 83 SS 2005 Durchlaufzeitbezogene Ziele Minimierung der Summe der Durchlaufzeiten bzw. der mittleren Durchlaufzeit: min. bzw. D/n min. (äquivalent, da n konstant] Minimierung der maximalen Durchlaufzeit: min. Minimierung der Summe der Wartezeiten: min.

84 Operations ManagementKapitel 5 / 84 SS 2005 Kapazitätsorientierte Ziele Zykluszeit: Gesamtbearbeitungszeit Leerzeit: von Maschine i ist die Summe aller Zeiten, zu denen i keinen Auftrag bearbeitet. Offensichtlich ist die Minimierung der Zykluszeit äquivelent mit der Minimierung der Summe der Leerzeiten. Kapazitätsauslastung (ebenfalls äquivalent): min.

85 Operations ManagementKapitel 5 / 85 SS 2005 Terminorientierte Ziele Terminabweichung: T j = F j – f j (effektiver minus geforderter Endzeitpunkt) T j > 0 Strafkosten T j < 0 Kapitalbindung Verspätung: V j = max {0,T j }... Terminüberschreitung Kapitalbindung wird hier ignoriert gebräuchliche terminorientierte Ziele: Minimierung der maximalen Terminabweichung / Verspätung Minimierung der maximalen Verspätung Minimierung der Summe aller Verspätungen Minimierung der verspäteten Aufträge

86 Operations ManagementKapitel 5 / 86 SS 2005 Zielbeziehungen Äquivalenz zweier Ziele wenn die Zielfunktionen durch lineare Umwandlungen mittels konstanter Parameter ineinander überführbar sind heißen sie äquivalent. die Zielsetzungen D, F, W und T sind äquivalent (gilt auch für die gewichteten Größen) es ist äquivalent die Summe oder den Mittelwert von Zielgrößen zu optimieren bei statischen Problemen (d.h. alle Aufträge werden zum Zeitpunkt 0 freigegeben) sind die Ziele F und D, bzw. Z und Dmax äquivalent. die Zielsetzungen Minimierung von Z, Lmax, L und L sowie die Maximierung der durchschnittlichen Maschinenauslastung sind äquivalent.

87 Operations ManagementKapitel 5 / 87 SS 2005 Dilemma der Ablaufplanung Zwischen den Zielen D und Z existiert keine der genannten Zielbeziehungen. Diese beiden Ziele sind in der Regel (bei Mehrmaschinenproblemen) zueinander konkurrierend, d.h. mit der Verbesserung des eines Zieles nimmt man zumeist eine Verschlechterung des anderen in Kauf. [Beispiel in Übung] Da Z zur Zielsetzung L der Leerzeitminimierung (Kapazitätsausnutzung) äqui­valent ist, sind auch D und L zueinander konkurrierend. Dieser Sachverhalt wird als Dilemma der Ablaufplanung bezeichnet.

88 Operations ManagementKapitel 5 / 88 SS Grundlegende Entscheidungs- und Prioritätsregeln Maschinenprobleme sind meist NP-schwer und in der Praxis müssen rasch Lösungen gefunden werden Heuristiken (sog. Prioritätsverfahren) Schritt 1 : Sortiere die Aufträge nach einer vorzugebenden Prioritätsregel. Schritt 2 : Plane die Aufträge in Sortierreihenfolge auf den Maschinen ein. bekanntesten Prioritätsregeln: Shortest Processing Time - Regel Sortierung nach wachsenden Bearbeitungszeiten (mittlere Durchlaufzeit) Longest Processing Time - Regel Sortierung nach fallenden Bearbeitungszeiten (Zykluszeit) Shortest Remaining Processing Time - Regel Sortierung nach wachsenden Restbearbeitungszeiten bei Aufträgen mit mehreren Arbeitsgängen

89 Operations ManagementKapitel 5 / 89 SS 2005 Entscheidungs- und Prioritätsregeln II Longest Remaining Processing Time - Regel Sortierung nach fallenden Restbearbeitungszeiten Earliest Due Date - Regel Sortierung nach wachsenden gewünschten Fertigstellungsterminen auch als Jackson-Regel bekannt minimiert Verspätungen Earliest Release Date – Regel (first come, first serve) Sortierung nach wachsenden Bereitstellungsterminen Diese Verfahren dienen bei schwierigen Probleme zur Ermittlung suboptimaler (Start-)Lösungen. Bei eher einfachen Problemen können sie als exakte Verfahren eingesetzt werden.

90 Operations ManagementKapitel 5 / 90 SS Probleme mit zwei Aufträgen Wir betrachten Flow Shop und Job Shop-Probleme mit 2 Aufträgen (Ziel : Minimierung der Zykluszeit): Beispiel: [aus Domschke, Scholl und Voß (1993)] statisches Flow Shop mit vier Maschinen, Maschinenfolgen 1 = 2 = (1, 2, 3, 4) und folgenden Bearbeitungszeiten: Das Problem läßt in einem zweidimensionalen Koordinatensystem veranschaulichen, bei dem eine Achse jeweils einem der beiden Aufträge entspricht. Der Koordinatensprung Q = (0,0) repräsentiert den Zeitnullpunkt (Freigabezeitpunkt). j1234 t 1j 3113 t 2j 1331

91 Operations ManagementKapitel 5 / 91 SS 2005 Probleme mit zwei Aufträgen II S j : = i t ji bezeichnet den frühestmöglichen Fertigstellungszeitpunkt des Auftrags j, wenn er - beginnend im Zeitpunkt 0 - ohne Unterbrechung gefertigt wird. Die Punkte Q und S = (S 1,S 2 ) spannen ein Rechteck (Operationsfeld) auf. Das Intervall [0,S 1 ] läßt sich in m disjunkte Intervalle unterteilen, die aufgrund der Maschinen­folge 1 des ersten Auftrags in der Reihenfolge i = 1,..., 1m angeordnet sind. Die Länge der Intervalle ist jeweils die Bearbeitungszeit t 1j Analog ist [0, S 2 ] unterteilbar. Für jede Maschine i wird durch die beiden Intervalle ein Rechteck definiert, das als Konfliktfeld bezeichnet wird. In der folgenden Abbildung sind die Konfliktfelder für das obige Beispiel grau eingezeichnet. Für die gesuchte minimale Zykluszeit Z* lassen sich Z = max {S 1, S 2 } als untere Schranke und als triviale obere Schranke angegeben. In unserem Beispiel gilt Z = 8 und

92 Operations ManagementKapitel 5 / 92 SS 2005 Verfahren nach Akers M1M2M3M4 M1 M2 M3 M4 Q = (0,0) S1S1 S2S2 i = 1 i=2 i=3 i = 4 S = (S 1,S 2 ) Das Verfahren von Akers bestimmt im Operationsfeld einen kürzesten Weg zwischen Ursprung Q und Punkt S unter den Nebenbedingungen, dass keines der (gelben) Konfliktfelder durchlaufen wird) der Weg nur aus senkrechten, waagrechten und diagonalen Abschnitten besteht. Z = 11 Z = 10

93 Operations ManagementKapitel 5 / 93 SS 2005 Verfahren nach Akers II Unter diagonalen Abschnitten verstehen wir Strecken mit Steigung 1; sie bedeuten eine gleichzeitige Bearbeitung beider Aufträge auf verschiedenen Maschinen. Waagerechte Abschnitte bedeuten die alleinige Bearbeitung des Auftrags 1 und senkrechte die des Auftrags 2. mehrere Wege möglich (in unserem Beispiel 3). Während die beiden Wege der Länge Z = 11 Permutationsplänen entsprechen, gilt dies für den optimalen Plan mit Z = 10 nicht, da ein Überholen der Aufträge stattfindet, was man auch in den Gantt-Diagramm sieht: Die Länge eines Weges von Q nach S ergibt sich dadurch, dass jede Bewegung eine Einheit nach rechts und/oder nach oben eine verstrichene Zeiteinheit bedeutet.

94 Operations ManagementKapitel 5 / 94 SS 2005 Verfahren nach Akers III Es ist nötig, die einzubeziehenden Wege zwischen Q und S systematisch abzuarbeiten Dazu wird ein gerichteter Graph G = (V, e, c) konstruiert. Seine Knotenmenge V umfasst die Quelle Q, die Senke S sowie für jede Maschine Nordwest- und die Südostecke des jeweiligen Konfliktfeldes. Seine Pfeilmenge E, deren Bewertungen c sowie die kürzeste Entfernung von Q nach S werden simultan durch den unten angegebenen Algorithmus ermittelt. 2i = 13i = 4i = 21i = Zeit AuftragMaschine 1 1 j = 1 j = 2 2 2j = Zeit 4 3

95 Operations ManagementKapitel 5 / 95 SS 2005 Verfahren nach Akers IV Ausgehend von jedem von Q aus bereits erreichten Knoten p = (p1, p2) mit (aktuell) kürzester Entfernung von dp von Q, schreitet man so lange diagonal in Richtung S vorwärts, bis entweder der Rand des Operationsfeldes getroffen wird; dann führt man einen Pfeil (p, S) ein oder das Konfliktfeld einer Maschine i getroffen wird. Dann sind zur Umgehung des Konfliktfeldes i ein Pfeil von p zur Nordwestecke q von i und ein Pfeil von p zur Südostecke r von i einzuführen. Als Bewertung dient die verstrichene Zeit, also das Maximum der x- bzw. y-Distanzen.

96 Operations ManagementKapitel 5 / 96 SS 2005 Verfahren nach Akers V Beispiel: Job Shop-Problem [J5 n = 2 Z]. Die Bearbeitungszeiten und Maschinenfolgen sind in den folgenden beiden Tableaus angegeben. Die Numerierung der Maschinen erfüllt bereits die Voraussetzungen des Algorithmus. Durch Addition der Bearbeitungszeiten erhält man S = (17, 15). Nun werden die Konfliktfelder der Maschinen gemäß den Auftragsfolgen eingetragen, wobei sie bei Job Shop Probleme nicht mehr diagonal angeordnet sind. i12345 t 1i t 2i h12345 t 1i t 2i 12345

97 Operations ManagementKapitel 5 / 97 SS 2005 Verfahren nach Akers VI 2 M4 5 M1 8 M3 13 M2 17 M5 M1 M2 M3 M4 M Q S B A E D C G F

98 Operations ManagementKapitel 5 / 98 SS 2005 Verfahren nach Akers VII Die Anwendung des Verfahrens liefert: Q B AC D E F G S Lösung:

99 Operations ManagementKapitel 5 / 99 SS 2005 Verfahren nach Akers VIII j = 2j = 1 j = 2j = 1 j = 2 j = 1j = 2 Maschine 2 1 Zeit B j = 1j = 2 D F 2 1 Zeit Auftrag i = 13i = 4i = 1 2

100 Operations ManagementKapitel 5 / 100 SS 2005 Verfahren nach Akers IX 2 M4 5 M1 8 M3 13 M2 17 M5 M1 M2 M3 M4 M Q S B A E D C G F Das Akers- Verfahren lässt sich auch anwenden, falls Auftrags- freigabetermine a j 0 vorgegeben sind (Konfliktfelder nach NO verschieben) bzw. auch falls andere Zielfunktionen berücksichtigt werden, z.B. D max und W max (durch geeignetes Umdefinieren der Pfeilbewertungen).


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