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Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 1Graz, am 18.02.2014 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) als Simulationsmethode.

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Präsentation zum Thema: "Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 1Graz, am 18.02.2014 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) als Simulationsmethode."—  Präsentation transkript:

1 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 1Graz, am Die Finite-Elemente-Methode (FEM) als Simulationsmethode in der Akustik Vortrag von DI Herbert Petritsch an der TU Graz organisiert von der Stv. Elektrotechnik-Toningenieur mit besonderem Dank an DI Dr. Werner Weselak und Ao. Univ.-Prof. DI Dr. Gerhard Graber

2 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 2Graz, am Organisatorisches Vortrag (Power-Point-Präsentation) mit Pause(n) Fragen jederzeit möglich Download dieser Powerpoint-Präsentation unter Download der Diplomarbeit von H. Petritsch unter Lehre/fertige%20BA%20PA%20DA/DA_Petritsch_FEM- Simulation_in_der_TA.pdf Lehre/fertige%20BA%20PA%20DA/DA_Petritsch_FEM- Simulation_in_der_TA.pdf

3 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 3Graz, am Übersicht Einleitung Aufbau eines Modells Differentialgleichung und Randbedingungen einer akustischen Domäne Perfectly Matched Layer (PML) Finite Elemente Vernetzung Lösung des Modells Postprocessing Simulation in COMSOL Multiphysics Ergebnisse dreier Simulationsbeispiele

4 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 4Graz, am Einleitung

5 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 5Graz, am Motivation Für akustische Optimierung eines Produkts Einschätzung der Schallabstrahlung und/oder der Eigenmoden erforderlich Simulation mittels Software i.d.R. wesentlich günstiger als Prototypen-Entwicklung in Hardware Einsatz von FEM-Programmen in industriellen Forschungs- und Entwicklungsabteilungen Beispiele für Industriezweige, in denen FEM- Programme für die Akustik-Entwicklung eingesetzt werden: –Automobilindustrie –Audio-Industrie (z.B. Mikrophone, Lautsprecher) –Haushaltsgeräte-Industrie

6 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 6Graz, am Vorteile der FEM Flexibilität –Methode theoretisch für beliebige (auch nicht-lineare) physikalische Problemstellungen geeignet, neben Akustik z.B. für: Strukturmechanik Elektromagnetik Wärmetransport Etc. –Verschiede Analyse-Arten möglich: Z.B. Eigenfrequenz-Analyse, Frequenzbereichs-Analyse –Beispiel Fahrzeug-Akustik: Schalldruck kann innerhalb UND außerhalb eines Fahrzeuges berechnet werden Genauigkeit –Genauestes numerisches Simulationsverfahren –Berücksichtigt z.B. in der Akustik den Wellencharakter des Schalls

7 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 7Graz, am Nachteile der FEM Großer Hardwareaufwand –Großer Bedarf an Hauptspeicher (RAM) –Lange Rechenzeiten (v.a., wenn Hauptspeicher nicht ausreicht und auf Festplatte zurückgegriffen werden muss) –ABER: Hauptspeicher wird immer billiger CPUs werden immer schneller Neue 64Bit-Betriebssysteme ermöglichen im Gegensatz zu alten 32Bit-Betriebssystemen Allozierung von sehr viel Hauptspeicher Methode mathematisch komplex –Einarbeitungszeit in die Methode und in Simulationsprogramme, die auf der Methode basieren, ist relativ groß –Implementation der FEM in einer Software zeitaufwändig und schwierig, da tiefes Verständnis der Methode Voraussetzung; FEM-Programme daher oft teurer als andere Simulationsprogramme

8 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 8Graz, am Aufbau eines Modells

9 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 9Graz, am Domänen und Domänen-Typen mechanische Domäne akustische Domäne Perfectly Matched Layer (PML)

10 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 10Graz, am Modell 1 - Bsp. Eigenmoden eines Raumes

11 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 11Graz, am Modell 2 - Bsp. Subwoofer

12 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 12Graz, am Modell 3 - Bsp. Hohler Zylinder

13 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 13Graz, am Differentialgleichung und Rand- bedingungen einer akustischen Domäne

14 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 14Graz, am Frequenzbereichs-Analyse Homogene Helmholtz-Gleichung Voraussetzungen: –Medium (z.B. Luft) als verlustlos angenommen –Medium ist homogen: Konstante Temperatur und konstanter atmosphärische Druck (z.B. Luftgleichdruck) –Homogene Helmholtz-Gleichung: Kein Störterm auf rechter Seite der Helmholtz-Gleichung bzw. keine Monopolquelle in akustischer Domäne (Anregung muss über Randbedingung der akustischen Domäne erfolgen, sonst triviale Lösung für den Schalldruck) Lösung liefert ganz konkrete, fixe Werte

15 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 15Graz, am Eigenfrequenz-Analyse Zusammenhang Eigenwert – Eigenfrequenz Homogene Helmholtz-Gleichung Voraussetzungen: –Medium verlustlos und homogen (wie bei Frequenzbereichs- Analyse) –Bei Eigenfrequenz-Analyse findet per Definition keine Anregung des Systems (auch nicht an den Rand- und inneren Grenzflächen des Systems) statt Lösung liefert beliebig skalierbare Eigenmoden

16 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 16Graz, am Akustische Randbedingungen Neumann-Randbedingung Dirichlet-Randbedingung

17 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 17Graz, am Neumann-Randbedingungen Vorgegebene innere Normalbeschleunigung Schallharte Wand Vorgegebene Normalverschiebung

18 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 18Graz, am Dirichlet-Randbedingung Gleicher Schalldruck in akustischer Domäne und Perfectly Matched Layer (PML)

19 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 19Graz, am Perfectly Matched Layer (PML)

20 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 20Graz, am Reflexionsarmer Halbraum

21 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 21Graz, am Komplexe Koordinatentransformation (1)

22 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 22Graz, am Komplexe Koordinatentransformation (2)

23 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 23Graz, am Dämpfung in der PML

24 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 24Graz, am Schalldruckverlauf über den Ort

25 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 25Graz, am Schalldruckpegel und Phasenverschiebung

26 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 26Graz, am Verschiedene PML-Breiten Bei analytischer Berechnung des Schalldrucks ist Dämpfung unabhängig von PML-Breite

27 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 27Graz, am Finite Elemente

28 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 28Graz, am Zerlegung eines Modells in finite Elemente Physikalisches System oft zu komplex, um sein gesamtes Verhalten zusammen erfassen zu können; daher: Zerlegung des Modells in Domänen und der Domänen in einzelne Elemente Für exakte Lösung der Differentialgleichungen der Domänen sind neben Randbedingungen unendlich viele, infinitesimal kleine Elemente notwendig Problem: Jeder Computer weist nur eine endliche Rechengeschwindigkeit und Speicherkapazität auf Diskretisierung des Modells –Zerlegung der Geometrie in finite Elemente mit diskreter Anzahl an Knoten (räumlichen Abtastpunkten) –Diskretisierung der Differentialgleichungen und Randbedingungen

29 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 29Graz, am Element-Familien Werden durch den Element-Typ, die Dimension und die Anzahl der Ecken ihres finiten Elements, das sie repräsentieren, voneinander unterschieden Element-Typ: Bei akustischen Problemstellungen im Frequenzbereich des Hörschalls werden meistens Lagrange-Elemente verwendet Dimension: Dreidimensionales finites Element (FE) ist Teilgebiet einer Domäne; Randflächen bzw. Kanten des 3D-Elements sind zwei- bzw. eindimensionale finite Elemente Anzahl der Ecken: Bei eindimensionalem FE gleich 2 (Anfangs- und Endpunkt); bei FE der Dimension d=2 oder d=3 ist Anzahl der Ecken mindestens d+1

30 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 30Graz, am Lagrange-Element mit d+1 Ecken

31 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 31Graz, am Mapping Koordinaten-Transformation, die für einen beliebigen Punkt auf bzw. im Lagrange-Element die globalen, kartesischen Koordinaten aus sogenannten lokalen Koordinaten berechnet (Bedingung: globale Koordinaten aller Knoten vorgegeben) Mutter-Element: Lagrange-Element in lokalen Koordinaten Abgebildetes (mapped) Element: Lagrange-Element in globalen Koordinaten Anzahl und genaue Definition der lokalen Koordinaten von Dimension und Anzahl der Ecken des Lagrange-Elements abhängig

32 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 32Graz, am Eindimensionales Mutter-Element

33 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 33Graz, am Dreieckiges Mutter-Element

34 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 34Graz, am Tetraedrisches Mutter-Element

35 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 35Graz, am Berechnen der globalen Koordinaten

36 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 36Graz, am Basisfunktion Basisfunktion ist Polynom der Ordnung o in den lokalen Koordinaten des Mutter-Elements Für alle Lagrange-Elemente eines Modells, die dieselbe Ordnung, Dimension und Anzahl an Ecken aufweisen, werden exakt dieselben Basisfunktionen verwendet Basisfunktion = Formfunktion = Ansatzfunktion bzw. basis function = shape function = interpolation function

37 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 37Graz, am Basisfunktion d=1

38 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 38Graz, am Basisfunktionen d=1, o=1

39 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 39Graz, am Beispiel 1 Mapping (d=1, o=1)

40 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 40Graz, am Basisfunktionen d=1, o=2

41 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 41Graz, am Beispiel 2 Mapping (d=1, o=2)

42 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 42Graz, am Beispiel 3 Mapping (d=1, o=2)

43 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 43Graz, am Beispiel 4 Mapping (d=1, o=2)

44 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 44Graz, am Vernetzung

45 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 45Graz, am Vernetzung und Netz Vernetzung: Beliebig geformte Objekte oder Domänen eines Modells werden in Netz-Elemente (finite Elemente) zerlegt Netz: Gesamtheit aller Netz-Elemente in einem Modell

46 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 46Graz, am Freiheitsgrade des Netzes Freiheitsgrade (degrees of freedom, DOF) entsprechen diskreten, unbekannten Parametern, die bei späterer Lösung des Modells bestimmt werden Örtliche Abtastwerte der physikalischen Variablen in den Knoten des Modells Mehr Knoten bzw. Freiheitsgrade -> Lösung des Modells genauer, aber Hardware-Aufwand steigt

47 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 47Graz, am Wahl der Ordnung der Netz-Elemente Bei akustischen Problemstellungen ist Wahl der Ordnung i.d.R. o=2 Angenommen, Anzahl der Freiheitsgrade darf um einen bestimmten Wert erhöht werden –Exakte Lösung der Differentialgleichungen in den Knoten besser approximiert, wenn Ordnung erhöht als wenn Netz-Auflösung verfeinert wird (mehr Freiheitsgrade gehen ins Ergebnis mit ein) –Ziel, Netz möglichst isotrop zu gestalten, besser erreicht, wenn Netz-Auflösung verfeinert als wenn Ordnung erhöht wird –Hardware-Aufwand kleiner, wenn Netz-Auflösung verfeinert als wenn Ordnung erhöht wird, da Basisfunktionen bei Erhöhung der Ordnung komplizierter werden Ordnung o=2 niedrigste Ordnung, mit der gebogene Elemente modelliert werden können

48 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 48Graz, am Akustische Vernetzungs-Regeln Falls Wellenlängen in den Domänen unterschiedlich sind, Vernetzungs-Parameter (z.B. maximale Netz- Element-Größe h max ) jeweils an Domänen anpassen Theoretische Regel: Analog zum Nyquist- Abtasttheorem werden mehr als 2 Knoten je Wellenlänge für höchste Frequenz bzw. kleinste Wellenlänge in Schallausbreitungsrichtung benötigt Problem in der Praxis: Schallausbreitungsrichtung meist nicht im Vorhinein bekannt Praktische Regeln: –Faustregel bei Verwendung von Lagrange-Elementen zweiter Ordnung: maximale Netz-Element-Größe h max auf ca. 1/5 der minimalen Wellenlänge setzen –DOF-Akustik-Regel

49 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 49Graz, am DOF-Akustik-Regel Anwendung auf akustische Domänen DOF-Akustik-Regel –Vernetzung soll möglichst isotrop gestaltet werden –Wellenlänge soll unabhängig von der räumlichen Richtung mit mind. 12 Knoten bzw. Freiheitsgraden im Durchschnitt aufgelöst werden

50 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 50Graz, am Vernetzung einer PML Bei Verwendung finiter Elemente treten in der PML numerische Reflexionen auf Adiabatisches Theorem: Reflexionen in einem Medium werden umso größer, je stärker sich das Medium ändert Änderung der komplexen Koordinaten von einem zum nächsten Knoten ist umso stärker, je gröber die Vernetzung ist Feinere Vernetzung bewirkt weniger numerische Reflexionen (bessere Dämpfung), aber höheren Hardware-Aufwand -> Kompromiss notwendig Vernetzung i.d.R. gleich wie in angrenzender akustischer Domäne

51 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 51Graz, am Wahl der PML-Breite Je größer die PML-Breite (bei konstanter Netz- Auflösung), desto geringer fallen numerische Reflexionen aus, desto größer ist aber auch der Hardware-Aufwand -> Kompromiss notwendig

52 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 52Graz, am Lösung des Modells

53 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 53Graz, am Lösung des Modells (1) Bestimmen der Frequenzen: –Bei Eigenfrequenz-Analyse wird eine bestimmte Anzahl an Eigenfrequenzen berechnet –Bei Frequenzbereichs-Analyse werden Frequenzen direkt vorgegeben Für jede (Eigen-)Frequenz werden Freiheitsgrade in allen Knoten des Modells berechnet: Lösen der FEM- Gleichungssysteme aller Domänen des Modells –Eigenfrequenz-Analyse: Berechnen der Eigenvektoren (der in den Knoten des Modells abgetasteten Eigenmoden) –Frequenzbereichs-Analyse: Berechnen der ganz konkreten, fixen Werte der physikalischen Variablen in den Knoten

54 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 54Graz, am Lösung des Modells (2)

55 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 55Graz, am FEM-Gleichungssystem einer Domäne Abarbeitung der folgenden Schritte: –Bildung der schwachen Form der Differentialgleichung bzw. des Differentialgleichungssystems der Domäne –Anwendung der Galerkin-Methode (Diskretisierung) –Volumen-, Rand- und innere Grenzflächenzerlegung –Durchführen von Koordinatentransformationen Als Beispiel wird nun FEM-Gleichungssystem einer akustischen Domäne für Frequenzbereichs-Analyse hergeleitet

56 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 56Graz, am Schwache Form der Helmholtz-Gleichung (1)

57 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 57Graz, am Schwache Form der Helmholtz-Gleichung (2)

58 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 58Graz, am Schwache Form der Helmholtz-Gleichung (3)

59 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 59Graz, am Schwache Form der Helmholtz-Gleichung (4)

60 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 60Graz, am Schwache Form der Helmholtz-Gleichung (5)

61 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 61Graz, am Anwendung der Galerkin-Methode (1)

62 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 62Graz, am Anwendung der Galerkin-Methode (2)

63 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 63Graz, am Anwendung der Galerkin-Methode (3)

64 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 64Graz, am Anwendung der Galerkin-Methode (4)

65 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 65Graz, am Anwendung der Galerkin-Methode (5)

66 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 66Graz, am Anwendung der Galerkin-Methode (6)

67 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 67Graz, am Volumen-, Rand- und innere Grenzflächenzerlegung (1)

68 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 68Graz, am Volumen-, Rand- und innere Grenzflächenzerlegung (2)

69 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 69Graz, am Volumen-, Rand- und innere Grenzflächenzerlegung (3)

70 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 70Graz, am Koordinatentransformationen Problem: Integrale bzw. Differentiale in den Elementmatrizen erfolgen über die bzw. nach den globalen, kartesischen Koordinaten, während Basisfunktionen in lokalen Flächen- bzw. Volumskoordinaten definiert sind Lösung: Über Koordinatentransformationen wird ermöglicht, dass die numerische Berechnung der Komponenten einer Elementmatrix in einem einheitlichen neuen lokalen Koordinatensystem erfolgen kann

71 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 71Graz, am Postprocessing

72 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 72Graz, am Postprocessing (1)

73 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 73Graz, am Postprocessing (2)

74 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 74Graz, am Simulation in COMSOL Multiphysics

75 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 75Graz, am Simulation in COMSOL Multiphysics Einstellungen im Model Wizard Geometrische Modellierung Einstellungen zu Domänen Auswahl der Randbedingungen Festlegung der Ordnung Automatische Vernetzung Lösung des Modells Postprocessing

76 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 76Graz, am Ergebnisse dreier Simulationsbeispiele

77 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 77Graz, am Subwoofer (1)

78 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 78Graz, am Subwoofer (2)

79 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 79Graz, am Eigenmoden eines Raumes

80 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 80Graz, am Hohler Zylinder

81 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 81Graz, am Fazit Feinheit der Vernetzung und Wahl der Ordnung Kompromiss zwischen Genauigkeit und Hardware- Aufwand (Hauptspeicherbedarf, Rechenzeit) In die schwache Form einer Differentialgleichung können Randbedingungen direkt eingesetzt werden FEM ermöglicht durch inhärente Diskretisierung (Galerkin-Methode) Simulationen mit digitalem Computer Mit COMSOL Multiphysics Simulationen gekoppelter physikalischer Systeme (z.B. mechanisch- akustischer Systeme) möglich PML bewirkt reflexionsarmen Abschluss der (äußeren) akustischen Domäne


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