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Feedback Motion Planning Navigation Autonomer Mobiler Systeme 2007/2008 Sebahattin Kücük und Tim Nulpa Veranstalter: Prof. Dr. Bernd Krieg-Brückner Dr.

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1 Feedback Motion Planning Navigation Autonomer Mobiler Systeme 2007/2008 Sebahattin Kücük und Tim Nulpa Veranstalter: Prof. Dr. Bernd Krieg-Brückner Dr. Bernd Gersdorf

2 Motivation Unsicherheit ist angeboren in der physischen Welt Die Schritte eines Plans sind abhängig von der Information, die während der Ausführung erfasst wird Das Konzept Rückkopplung (Feedback) kommt ins Spiel um Korrekturmaßnahmen während der Ausführung einzuführen Zuverlässiger: Rücksicht auf Modellierung von Unsicherheiten

3 Unsicherheit zu modellieren Explizit Bahnplanung zählt deutlich zu der Abweichung, welches durch Unsicherheit verursacht wird Rückkopplungsbasierte Algorithmen berücksichtigen diese Unsicherheiten Unsicherheitsmodellierung ist eine anspruchsvolle Aufgabe, Aber schwieriges Algorithmusdesign Anfällig Fehlern auszugeben

4 Unsicherheit zu modellieren Implizit Eine Bahn wird ohne Berücksichtigung von Unsicherheiten berechnet Ein Rückkopplungsplan nimmt während der Ausführung Korrekturmaßnahmen vor, um Abweichungen, die durch Unsicherheit verursacht werden, aufzuheben

5 Diskreter Zustandsräume Definierung eines Rückkopplungsplans Betrachte eine diskrete Bahnplanungsproblem, wo der Anfangszustand nicht gegeben ist Definiere den Zustandsverlauf als Definiere Aktionsverlauf als

6 Diskreter Zustandsräume Formulierung einer optimalen diskreten Rückkopplungsplan Sei X ein endlicher nicht leerer Zustandsraum Für jeden definiere den Aktionsraum U (x) ist eine Zustandsübergangsfunktion

7 Diskreter Zustandsräume Die geordnete Menge S = {1,2,,,,,,,,,,,} Kennzeichnet die Menge der Stufen Ein Element k Є S wird Stufe genannt ist die Zielmenge Definiere Kostenfunktion: wobei F = K + 1

8 Diskreter Zustandsräume Vorgehensweise bei Lösungen Angesichts der Anfangskonditionen kann ein Ablauf spezifiziert werden Ohne Anfangskondition könnte ein Ablauf für jeden Zustand spezifiziert werden Überhöhte Speicheranforderung z.B. A* Algorithmus Eine Ablaufführung für jeden Zustand ist überflüssig Es genügt nur den ersten Ablauf bei jedem Zustand zu führen

9 Diskreter Zustandsräume Feedback Plan Definiere Feedback Plan als eine Funktion π : X U dass jeden Zustand zu einem Ablauf abbildet Wenn das Ziel erreicht wird, wendet die Rückkopplung den Endablauf (termination action) an:

10 Diskreter Zustandsräume Eine Rückkopplung heißt erst gelöst, wenn das Ziel von jedem Zustand, von wo aus das Ziel erreichbar ist, erreicht wird

11 Rückkopplungsplan Ausführbarkeit und Optimalität Sei die Menge der Zustände, von wo aus das Ziel erreichbar ist Eine Rückkopplung π wird Ausführbare Rückkopplung genannt, wenn Eine Rückkopplungsplan ist optimal, wenn das totale Kosten L( π, x) von irgendeiner Anfangskondition am geringsten unter allen möglichen Plänen erreichbar ist

12 Rückkopplungsplan auf einem 2D Gitter Beispiel: Betrachte das 2D Gitter Problem Mögliche Bewegungen sind: hoch ( ), runter ( ), links ( ), rechts ( ) und beenden

13 Rückkopplungsplan auf einem 2D Gitter Lösung: Es gibt viele Lösungen Die dargestellte Lösung ist optimal bezüglich der Anzahl der Schritte zum Ziel Aber existieren auch einige alternative Rückkopplungs- Pläne, die optimale Lösung liefern

14 Rückkopplungsplan als Navigationsfunktion Methoden wie Dijkstra Algorithmus und Iteration (value Iteration) erzeugen Informationen, die benutzt werden können um Rückkopplung zu repräsentieren Um das zu erreichen wird ein Rückkopplung (Feedback plan) als Potentialfunktion über einen Zustandsraum ausgedrückt Potentialfunktion kann optimale Lösung für Rückkopplung liefern

15 Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum Betrachte die diskrete Potentialfunktion Eine Rückkopplung kann durch das benutzen des lokalen Operators die Potentialfunktion definieren

16 Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum Im Falle der optimalen Planung ist der lokale Operator definiert dann als: Wenn das Planungsproblem isotrop ist, dann: Für alle Isotrop: unabhängigkeit einer Eigenschaft von der Richtung

17 Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum Wir brauchen eine Potentialfunktion, das erfolgreich den Ziel erreicht Nehmen wir an, dass Kostenfunktion isotrop ist Sei der erreichte Zustand nach der Anwendung von (ausgegeben von lokalen Operator)

18 Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum Definition Eine Potentialfunktion, die die folgende drei Eigenschaften besitzt, nennt man auch Navigationsfunktion 1. für alle 2. wenn keinvon x aus erreichbar ist 3. und der Zustand nach der Anwendung des lokalen Operators

19 Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum Definition eine optimale Navigationsfunktion ist eine Navigationsfunktion, das den Grundsatz der Optimalität erfüllt:

20 Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum so würde eine Korrektur von einer optimalen Navigationsfunktion aussehen wir können den Grundsatz der Optimalität mit der isotropen Kosten nachprüfen

21 Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum Beispiel Betrachte das vorherige Beispiel mit einem isotropischen Kostenmodell Es wird eine Aktion (Ablauf) ausgewählt, dass den Potentialwert reduziert und uns zum Ziel (Feedback Plan) bringt

22 Gitterbasierte Navigationsfunktion für Bahnplanung Optimale Bahnplanung bringt Roboter näher zu Hindernissen Eine Gitterbasierte Version, der Maximum Clearance Karte benutzt, kann konstruiert werden um Abstand von Hindernissen zu haben Eine Navigationsfunktion, welches den Roboter auf der Karte führt, kann definiert werden

23 Maximum Clearance Algorithmus Vorausgesetzt, dass es nur ein Zielzustand gibt Initialisiere für jedenbestimme und füge alle nicht besuchten Nachbarn von x in Wenn dann beenden. Andernfalls lass i: = i + 1 und gehe zu Schritt 3. Wavefront Propagation

24 Wavefront Propagation ( Wellen- Ausbreitung)

25 Maximum Clearance Algorithmus Markiere jeden Zustand, wo sich zwei gegenüberliegende wavefronts als Gitterzustand (Skeleton) treffen S kennzeichnet die menge aller Gitterzustände (Skeleton) Verbinde mit dem Gitter (Skeleton) mit einem Suchalgorithmus und füge den resultierenden Pfad in S

26 Maximum Clearance Algorithmus Berechne eine NF über S Berechne eine NF indem man S als Zielregion betrachtet Für jeden setze für die restlichen Zustände setze wo der nächste Punkt zu x ist

27 Maximum clearance Algorithmus

28 Weitere Algorithmen für die implizite Bahnplanung Schaffen eines jeweils gültigen Konfigurationsraumes Ändern der jeweiligen Route nur bei erkannten Hindernissen

29 Algorithmen Es gibt viele Algorithmen die sich zur Bahnplanung eignen Unterschied ist hauptsächlich der Aufwand Aufwand minimieren durch: Vereinfachte Darstellung der Welt Vereinfachen von Objekten...

30 Algorithmen Sichtbarkeitsgraph Vektorfelder Potentialfelder Musterbasierte Ansätze Polar Bug Algorithmus

31 Sichtbarkeitsgraph Auf der Basis von Sichtlinien im 2D-Raum Nicht gerichteter Graph Die Kanten sind alle Verbindungen die nicht das innere eines Hindernisses schneiden

32 Sichtbarkeitslinien Beispiel

33 Sichtbarkeitslinien Suche auf dem Graphen mit klassischen Algorithmen Nearest Neighbour Dijkstra Bei vielen Hindernissen wird der Graph sehr Groß Hoher Aufwand Hoher Speicherbedarf

34 Vektorfelder über Zellkomplexen Ein Raum wird per Zelldekomposition unterteilt Über jede Zelle wird ein Vektorfeld gelegt

35 Zelldekomposition Exakte Zellzerlegung Der freie Raum wird exakt dargestellt Hoher Aufwand Approximierte Zellzerlegung Näherungsweise Darstellung des Raumes Geringerer Rechenaufwand

36 Zelldekomposition Beispiel

37 Vektorfelder Ordnen jedem Punkt im Raum einen Vektor zu

38 Vektorfelder über Zellkomplexen Das Vekotfeld zeigt zu einer Ausgangskante Über die Ausgangskante kommt man zu einem neuen Feld im Zellenkomplex

39 Vektorfelder über Zellkomplexen Beispiel

40 Musterbasierte Methoden Über die freien Bereiche eines Raumes werden simple Muster gelegt Zum Beispiel Kreise

41 Musterbasierte Methoden Auf jedem Muster ist ein Vektor definiert der zu einem nächsten führt

42 Erweitern des Grundproblems Reaktive Bahnplanung Bewegeliche Dinge im Weg Kinematische Einschränkungen Bewegunsradius des Roboters Geometrische Einschränkungen Ausmaße des Roboters

43 Aufwand minimieren Viele Möglichkeiten z.B. vereinfachte Darstellung des sich bewegenden Objektes

44 Polar Bug Algorithmus Funktioniert auf der Basis von Laserscannerdaten Wird bereits erfolgreich getestet Speziell für die Navigation in sich ständig ändernden Umgebungen Angewendet bei Projekten wie Care-O- Bot

45 Kollisionsvermeidung Unterste Sicherheitsebende sollte immer ein Modul zur Kollisionserkennung sein Stoppt das aktive Fahrzeug im Notfall Wichtig bei kurzfristig auftretenden Hindernissen Zum Beispiel wenn eine Person davor springt

46 Polar Bug Algorithmus Beispiel

47 Fazit Es gibt viele Algorithmen, die die Roboter Bewegungen berechnen Viele Algorithmen gehen davon aus, dass der berechnete Weg ohne jede Abweichung befahren werden kann Aber meistens zeigt der Roboter kleine Abweichungen von den eigentlichen Weg und dies führt auf einen Hindernisfreien Raum zu Kollisionen Durch Feedback Motion Planning wird dieses Problem beheben

48 Danke für die Aufmerksamkeit !!!


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