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Hauptseminar Diskrete Dynamische Systeme

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Präsentation zum Thema: "Hauptseminar Diskrete Dynamische Systeme"—  Präsentation transkript:

1 Hauptseminar Diskrete Dynamische Systeme
Die Hufeisenabbildung Lidia Wensel

2 Inhalt 1. Kanonisches Beispiel 2. Dynamik auf Symbolsequenzen
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung 4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung

3 Ablauf einer Iteration in der Hufeisenabbildung
1. Kanonisches Beispiel Ablauf einer Iteration in der Hufeisenabbildung

4 Die Hufeisenabbildung wird (a) zwei mal (b) drei mal
1. Kanonisches Beispiel Die Hufeisenabbildung wird (a) zwei mal (b) drei mal (c) vier mal angewendet.

5 Die Urbilder , von , sind vertikale Streifen
1. Kanonisches Beispiel Die Urbilder , von , sind vertikale Streifen

6 Wir definieren induktiv (1) mit . Man sieht, dass
1. Kanonisches Beispiel Wir definieren induktiv (1) mit Man sieht, dass aus vier horizontalen Streifen besteht, die innerhalb von liegen. Aufgrund der Konstruktion ist .

7 besteht aus disjunkten horizontalen Streifen mit der
1. Kanonisches Beispiel Darstellung von für n = 1, 2, 3. besteht aus disjunkten horizontalen Streifen mit der Dicke , schnell abnehmend mit wachsendem n.

8 1. Kanonisches Beispiel Wir nehmen (2) und definieren (3) für

9 Darstellung von . wirkt nur auf .
1. Kanonisches Beispiel Darstellung von . wirkt nur auf .

10 1. Kanonisches Beispiel Darstellung von . Die gefärbten Quadrate stellen dar. besteht aus gefärbten Streifen im doppelt gestrichenen Teil des Diagramms. c c c

11 Gezeigt sind die vertikalen Streifen , definiert
1. Kanonisches Beispiel Gezeigt sind die vertikalen Streifen , definiert durch (3). Man beachte Die Menge besteht aus disjunkten Streifen der Breite

12 so ist das kartesische Produkt zweier Cantor-Mengen,
1. Kanonisches Beispiel Definieren wir nun (4) so ist das kartesische Produkt zweier Cantor-Mengen, welches selber eine Cantor-Menge ist.

13 Die Menge ist invariant unter und . Beweis
1. Kanonisches Beispiel Satz 1.1 Die Menge ist invariant unter und Beweis

14 Inhalt 1. Kanonisches Beispiel 2. Dynamik auf Symbolsequenzen
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung 4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung

15 2. Dynamik auf Symbolsequenzen
Sei die Menge aller doppelt - unendlichen Sequenzen der binären Symbole , d.h. . Die Elemente von nennt man Symbolsequenzen, sie werden durch für alle definiert. Wir schreiben . Unser Ziel ist die Betrachtung der Dynamik der Abbildung , die durch , (5) definiert wird,

16 2. Dynamik auf Symbolsequenzen
Satz 2.1 Der Links - Shift besitzt periodische Bahnen aller Perioden sowie aperiodische Bahnen.

17 2. Dynamik auf Symbolsequenzen
Satz 2.2 Es existiert eine Topologie, in welcher die periodischen Punkte von dicht in sind.

18 2. Dynamik auf Symbolsequenzen
Satz 2.3 Der Links - Shift besitzt eine dichte Bahn auf .

19 Inhalt 1. Kanonisches Beispiel 2. Dynamik auf Symbolsequenzen
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung 4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung

20 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Zur Erinnerung: , wobei , , die disjunkte Vereinigung von horizontalen Streifen des Quadtrates Q ist, während , , die Vereinigung von ähnlichen vertikalen Streifen ist. Wie man in den Abbildungen sieht, gilt und Daher ist die disjunkte Vereinigung von Quadraten der Seitenlänge

21 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Darstellung von für N=1.

22 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Darstellung von für N=2.

23 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Jedes Quadrat von kann eindeutig durch einen Symbolblock , , der Länge 2N repräsentiert werden. Es gilt , (12) wobei ist.

24 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Weiter ist (13) mit

25 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Allgemein gilt also für (14) und

26 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Codierung der Streifen in für n = 1. Die eindeutige Symbole für jeden Streifen stehen links, der eindeutige Code der Streifen rechts.

27 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Codierung der Streifen in für n = 2. Die eindeutige Symbole für jeden Streifen stehen links, der eindeutige Code der Streifen rechts.

28 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Codierung der Streifen in für n = 3. Die eindeutige Symbole für jeden Streifen stehen links, der eindeutige Code der Streifen rechts.

29 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Streifencodierung von Die eindeutigen Kennzeichnungen für die Streifen stehen oben, die zugewiesenen Symbole unten.

30 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Streifencodierung von Die eindeutigen Kennzeichnungen für die Streifen stehen oben, die zugewiesenen Symbole unten.

31 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Streifencodierung von .

32 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Konstruktion des Symbolblocks, der die in erscheinenden Quadrate repräsentiert: Die Kennzeichnung für den vertikalen Streifen: . Die Kennzeichnung für den horizontalen Streifen: Dann hat der Symbolblock, der das Quadrat kennzeichnet, die Gestalt

33 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Die Quadratische Regionen, die mit gegeben durch und , definiert werden, sind hervorgehoben.

34 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Das Quadrat, welches durch den Symbolblock repräsentiert wird, ist durch (15) gegeben.

35 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Satz 3.1 Die Bijektion ist ein Homomorphismus, der die topologische Konjugation von und zeigt. Beweis

36 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Sei und (16) Dann ist (17)

37 4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
Inhalt 1. Kanonisches Beispiel 2. Dynamik auf Symbolsequenzen 3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung 4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung

38 4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
Sei Die Hénon-Abbildung wird gegeben durch und .

39 4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
(a) Erstes Bild zeigt die drei Phasen der Konstruktion von aus (b) Das Bild eines Rechtecks kann in gleicher Weise konstruiert werden.

40 4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
Jede Hénon – Abbildung besitzt zwei Fixpunkte:


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