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ENTSCHEIDUNGSTHEORIE Teil 4b Prof. Dr. Steffen Fleßa Lst. für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Gesundheitsmanagement Universität Greifswald.

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1 ENTSCHEIDUNGSTHEORIE Teil 4b Prof. Dr. Steffen Fleßa Lst. für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Gesundheitsmanagement Universität Greifswald

2 Gliederung 4Prognosemodelle 4.1 Statistische Prognosemodelle Gleitende Durchschnitte Exponentielle Glättung Ökonometrische Modelle Neuronale Netze 4.2 Prognostizierende Modelle Netzplantechnik Markov-Modelle System Dynamics Simulation 4.3 Expertenprognosen

3 4.2.1 Netzplantechnik Definition: Ein Netzplan ist ein Graph, der mit Hilfe von Knoten und Kanten (größere) Projekte visualisiert und Anschlussrechnungen ermöglichtDefinition: Ein Netzplan ist ein Graph, der mit Hilfe von Knoten und Kanten (größere) Projekte visualisiert und Anschlussrechnungen ermöglicht ArtenArten –Tätigkeitsgraph und Ereignisgraph –Stochastische und deterministische NPT TeilproblemeTeilprobleme –Strukturplanung –Zeitplanung –Kostenplanung –Ressourcenplanung

4 Praxis der NPT wahrscheinlich häufigstes OR-Verfahren, jedoch meist versteckt in Projektmanagement-Software (z. B. MS-Project)wahrscheinlich häufigstes OR-Verfahren, jedoch meist versteckt in Projektmanagement-Software (z. B. MS-Project) Arten:Arten: –CPM (Critical Path Method, 1956): Theorie –MPM (Metra Potential Method, 1957): Praxis –PERT (Program Evaluation and Review Technique, 1956): Theorie

5 Strukturplanung StrukturlisteStrukturliste Nr.TätigkeitVorgängerNachfolger AVorbereiten des Grundstückes-B BAushub der FundamenteAC CRohbauBD, F DInnenausbauCE EInbetriebnahmeD, F, G- FAußenanlagen/Zuwege BereitenCE GMitarbeiterschulung-E

6 Tätigkeitsgraph Inhalt:Inhalt: –Knoten = Tätigkeit –Kante = Anordnungsbeziehung –Metra-Potential-Methode (MPM)

7 Ereignisgraph Inhalt:Inhalt: –Knoten = Ereignis (z. B. Anfang/Ende einer Tätigkeit) –Kante = Tätigkeit –Critical Path Method (CPM), Program Evaluation and Review Technique (PERT)

8 Zeitplanung im Ganttdiagramm Nr.Tätigkeit Zeitbedarf [Tage] Nachfolger AVorbereiten des Grundstücks 20 B BAushub der Fundamente 60 C CRohbau 150 D, F DInnenausbau 120 E EInbetriebnahme 10 - FAußenanlagen/Zuwege Bereiten 20 E GMitarbeiterschulung 30 E

9 Zeitplanung im Ganttdiagramm

10 Erweiterung: Puffer Tätigkeiten ohne Puffer sind zeitkritisch, d.h. sie bilden den kritischen Pfad

11 Zeitplanung im MPM

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13

14 Hinrechnung

15 Rückrechnung

16 Endzeitpunkte

17 Puffer Puffer I: GesamtpufferPuffer I: Gesamtpuffer –Alle Vorgänger fangen frühest möglich an, alle Nachfolger spätest möglich –P_I i =SZ i -FZ i Puffer II: freier PufferPuffer II: freier Puffer –Alle Vorgänger fangen frühest möglich an, alle Nachfolger frühest möglich –P_II i =Min{FZ j -FZi-d ij }, wobei P_II i 0 Puffer III:Puffer III: –Alle Vorgänger fangen spätest möglich an, alle Nachfolger frühest möglich

18 Puffer

19 Kostenplanung Nr.Tätigkeit Zeitbedarf [Tage] Kosten pro Tag AVorbereiten des Grundstückes BAushub der Fundamente CRohbau DInnenausbau EInbetriebnahme FAußenanlagen/Zuwege Bereiten GMitarbeiterschulung

20 Kostenverlauf bei frühestem Beginn A100 B C200 D E100 F200 G500 Kosten / Tag Tage Sum- me

21 Kostenverlauf für späteste und früheste Zeitpunkte

22 PERT-COST Ermittlung von zeitlichen und kostenmäßigen ÜberschreitungenErmittlung von zeitlichen und kostenmäßigen Überschreitungen Hinweis: Nicht zu verwechseln mit der stochastischen NPT PERT.Hinweis: Nicht zu verwechseln mit der stochastischen NPT PERT.

23 PERT-COST (Beispiel)

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26 Ressourcenplanung Bedeutung: falls Ressourcen nicht ausreichend sind, müssen die Tätigkeiten verschoben werdenBedeutung: falls Ressourcen nicht ausreichend sind, müssen die Tätigkeiten verschoben werden VariantenVarianten –Verschiebung innerhalb der Puffer –Verlängerung des frühesten Endzeitpunktes Verfahren von FehlerVerfahren von Fehler Optimierung: Konventionalstrafe vs. Kosten für ZusatzaggregateOptimierung: Konventionalstrafe vs. Kosten für Zusatzaggregate

27 Praxisbeispiel MS-Project: Bauprojekt ET 4MS-Project: Bauprojekt ET 4

28 4.2.2 Markov-Modelle Prozess: Folge von ursächlich verbundenen Ereignissen im ZeitablaufProzess: Folge von ursächlich verbundenen Ereignissen im Zeitablauf Stochastischer Prozess: Abfolge ist nicht fest vorgegeben, sondern unterliegt bestimmten (bekannten) WahrscheinlichkeitenStochastischer Prozess: Abfolge ist nicht fest vorgegeben, sondern unterliegt bestimmten (bekannten) Wahrscheinlichkeiten Markov-Prozess: Die Übergangswahr- scheinlichkeit a ij von Zustand w i nach w j hängt allein von Zustand w i zum Zeitpunkt t, jedoch nicht vom Zustand w k zum Zeitpunkt t-1 ab (Beschränktes Gedächtnis).Markov-Prozess: Die Übergangswahr- scheinlichkeit a ij von Zustand w i nach w j hängt allein von Zustand w i zum Zeitpunkt t, jedoch nicht vom Zustand w k zum Zeitpunkt t-1 ab (Beschränktes Gedächtnis).

29 Zustände und Übergänge im Markov-Graph a 12 a 24 a 41 a 42 a 14 a 21 a 23 a 32 a 31 a 13 a 34 w1w1 w2w2 w4w4 w3w3 a 43

30 Beschreibung von Prozessen anhand von Ereignissenanhand von Ereignissen –z. B. Zahl der Ankünfte (Poissonverteilt) anhand von Übergängenanhand von Übergängen –z. B. Zwischenankunftszeiten (Negativ-Exponentiell-Verteilt) Von besonderer Bedeutung sind hierbei Warteprozesse (Warteschlangentheorie)Von besonderer Bedeutung sind hierbei Warteprozesse (Warteschlangentheorie)

31 Markov-Modell

32 Prognose mit Markov-Modellen Vorhersage des Zustandsvektors zum Zeitpunkt tVorhersage des Zustandsvektors zum Zeitpunkt t Berechnung von Kennziffern, z. B. durchschnittliche Aufenthaltsdauer im System, durchschnittliche Wartezeiten etc.Berechnung von Kennziffern, z. B. durchschnittliche Aufenthaltsdauer im System, durchschnittliche Wartezeiten etc.

33 Spezialfälle Absorbierende MarkovkettenAbsorbierende Markovketten –es gibt einen Zustand, der nicht mehr verlassen werden kann, z. B. Totalschaden, Tod Inhomogene MarkovkettenInhomogene Markovketten –Übergangswahrscheinlichkeiten sind nicht konstant

34 Beispiel: Leihwagen zwischen drei Orten

35 Übergangsmatrix GreifswaldBerlinHamburgSchrott Greifswald0,70,20,050,05 Berlin0,050,80,10,05 Hamburg0,10,10,70,1 Schrott0001

36 Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung Zugang Anfangsbe- stand t=0 t=1t=50 Greifswald Berlin Hamburg Schrott

37 Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung Zugang Anfangsbe- stand t=0 t=1t=50 Greifswald Berlin Hamburg Schrott Zugang zu gering, um die Zahl der Autos zu halten: Simulation – wie viele Zugänge brauche ich wo, um Konstanz zu gewährleisten?

38 Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung Zugang Anfangsbe- stand t=0 t=1t=50 Greifswald Berlin Hamburg Schrott

39 Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung Zugang Anfangsbe- stand t=0 t=1t=50 Greifswald Berlin Hamburg Schrott Pro Periode zusätzlicher Transport von Greifswald (22/50 Fahrzeuge) und von Berlin (58/50 Fahrzeuge) nach Hamburg nötig, um Konstanz zu halten.

40 4.2.3 System Dynamics Problem der Prognose mit Markov- Modellen: Homogenität, d.h. Unveränderlichkeit der ÜbergangswahrscheinlichkeitenProblem der Prognose mit Markov- Modellen: Homogenität, d.h. Unveränderlichkeit der Übergangswahrscheinlichkeiten Populationswachstum: Zuwachs ist abhängig von der bestehenden PopulationPopulationswachstum: Zuwachs ist abhängig von der bestehenden Population

41 Wachstum (Rate = 0,05) tAnfangsbestandZuwachsEndbestand ………

42 Wachstum

43 System Dynamics Modell

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46 Gleichungen Differentialgleichung Differenzengleichung

47 System Dynamics einer Population JahrBevölkerung Exponential- gleichung Differenzen- gleichung t = 1 Tag Differenzen- gleichung t = 1 Monat

48 Umsetzung World Dynamics (Club of Rome; Grenzen des Wachstums)World Dynamics (Club of Rome; Grenzen des Wachstums) Industrial bzw. Business Dynamics (Forrester, Sterman)Industrial bzw. Business Dynamics (Forrester, Sterman) Disease DynamicsDisease Dynamics Software: Dynamo (1960), Stella (1980), etc.Software: Dynamo (1960), Stella (1980), etc.

49 Industrial Dynamics EDV-gestütztes dynamisches Modell der UnternehmungEDV-gestütztes dynamisches Modell der Unternehmung Technischer Wandel induzierte neues Management-VerständnisTechnischer Wandel induzierte neues Management-Verständnis Neue Anforderungen an Methoden der EntscheidungsfindungNeue Anforderungen an Methoden der Entscheidungsfindung Erfassung und Simulation von Informationen zwischenErfassung und Simulation von Informationen zwischen –Abteilungen eines Unternehmens –Unternehmen einer Wertschöpfungskette

50 Beispiel 1 Bedeutung von Bedeutung von Werbung und Konsumentenmarkt in Forresters Industrial Dynamics Konsequenzen für Unternehmen einer Wertschöpfungskette (Produktion und Verteilung) Konsequenzen für Unternehmen einer Wertschöpfungskette (Produktion und Verteilung)

51 Beispiel 1 Beispiel 1

52 Beispiel 2 Darstellung und Analyse von Bestandsveränderungen Darstellung und Analyse von Bestandsveränderungen

53 Beispiel 2 Beispiel 2

54 4.3.4 Simulation Prinzip: Experimentiermodell, d.h. Durchspielen unterschiedlicher Alternativen in konstruierten SystemenPrinzip: Experimentiermodell, d.h. Durchspielen unterschiedlicher Alternativen in konstruierten Systemen PerspektivenPerspektiven –What-If? –How-to-achieve?

55 Arten Deterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicherDeterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicher Stochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt WahrscheinlichkeitStochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt Wahrscheinlichkeit Monte-Carlo-Simulation:Monte-Carlo-Simulation: –Analyse statischer Probleme mit bekannten Wahrscheinlichkeiten –Ermittlung von Verteilungen: Durch wiederholtes Durchrechnen mit unterschiedlichen Zufallszahlen ergibt sich eine Verteilung der Ergebnisparameter –Beispiel: Boot-Strapping in Netzplänen

56 Arten Deterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicherDeterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicher Stochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt WahrscheinlichkeitStochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt Wahrscheinlichkeit Monte-Carlo-Simulation:Monte-Carlo-Simulation: –Analyse statischer Probleme mit bekannten Wahrscheinlichkeiten –Ermittlung von Verteilungen: Durch wiederholtes Durchrechnen mit unterschiedlichen Zufallszahlen ergibt sich eine Verteilung der Ergebnisparameter –Beispiel: Boot-Strapping in Netzplänen Monte-Carlo-Simulation versus Resampling: verwandte Methoden verwandte Methoden Resampling: reale Daten Resampling: reale Daten Monte-Carlo: fiktive Daten Monte-Carlo: fiktive Daten

57 Arten Deterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicherDeterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicher Stochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt WahrscheinlichkeitStochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt Wahrscheinlichkeit Monte-Carlo-Simulation:Monte-Carlo-Simulation: –Analyse statischer Probleme mit bekannten Wahrscheinlichkeiten –Ermittlung von Verteilungen: Durch wiederholtes Durchrechnen mit unterschiedlichen Zufallszahlen ergibt sich eine Verteilung der Ergebnisparameter –Beispiel: Boot-Strapping in Netzplänen Monte-Carlo-Simulation versus Bootstrapping: Bootstrapping ursprünglich als nicht-parametrisches Monte-Carlo- Instrument eingeführt zur Schätzung von Standardfehlern Bootstrapping ursprünglich als nicht-parametrisches Monte-Carlo- Instrument eingeführt zur Schätzung von Standardfehlern MC unterstellt bestimmte Verteilung – BS nicht, da BS nur Informationen aus empirischer Verteilung verwendet MC unterstellt bestimmte Verteilung – BS nicht, da BS nur Informationen aus empirischer Verteilung verwendet

58 Arten Deterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicherDeterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicher Stochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt WahrscheinlichkeitStochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt Wahrscheinlichkeit Monte-Carlo-Simulation:Monte-Carlo-Simulation: –Analyse statischer Probleme mit bekannten Wahrscheinlichkeiten –Ermittlung von Verteilungen: Durch wiederholtes Durchrechnen mit unterschiedlichen Zufallszahlen ergibt sich eine Verteilung der Ergebnisparameter –Beispiel: Boot-Strapping in Netzplänen Netzplan -stochastische Zeitplanung: zukünftige Vorgangsdauern können nicht vorherbestimmt werden zukünftige Vorgangsdauern können nicht vorherbestimmt werden Zufallszahlen, die abhängig von der Projektrealisierung unterschiedliche Werte annehmen können Zufallszahlen, die abhängig von der Projektrealisierung unterschiedliche Werte annehmen können Simulation: Dauer jedes Vorgangs nimmt gewissen Wert an (Basis: Verteilungsfunktion) => Berechnung: Projektfertigstellungstermin Simulation: Dauer jedes Vorgangs nimmt gewissen Wert an (Basis: Verteilungsfunktion) => Berechnung: Projektfertigstellungstermin

59 Arten (Forts.) Diskrete Simulation (Discrete Event Simulation, DES)Diskrete Simulation (Discrete Event Simulation, DES) –Modellierung von dynamischen Systemen –Erzeugen von Objekten mit bestimmten Eigenschaften –Aufzeichnung der Zustände der Objekte zu bestimmten Zeitpunkten –Subarten: Ereignisorientierte Simulation: Es wird immer nur der nächste Zeitpunkt betrachtet, an dem sich eine Zustandsänderung ergibt (Ereignisliste)Ereignisorientierte Simulation: Es wird immer nur der nächste Zeitpunkt betrachtet, an dem sich eine Zustandsänderung ergibt (Ereignisliste) Zeitorientierte Simulation: Simulationszeit wird jeweils um denselben Zeittakt weitergestellt, auch wenn kein Ereignis eintrittZeitorientierte Simulation: Simulationszeit wird jeweils um denselben Zeittakt weitergestellt, auch wenn kein Ereignis eintritt Kontinuierliche SimulationKontinuierliche Simulation –z. B. Chemie

60 Zufallszahlen Notwendigkeit: stochastische SimulationNotwendigkeit: stochastische Simulation AufgabenAufgaben –Teil 1: 0-1-Gleichverteilte Zufallszahlen –Teil 2: Zufallszahlen nach bestimmten Verteilungen NormalverteiltNormalverteilt Logarithmisch-NormalverteiltLogarithmisch-Normalverteilt LogistischverteiltLogistischverteilt PoissonverteiltPoissonverteilt DreiecksverteiltDreiecksverteilt BetaverteiltBetaverteilt

61 Beispiel: standardnormalverteilte Zufallszahl Schritt 1: Erzeuge gleichverteilte ZufallszahlSchritt 1: Erzeuge gleichverteilte Zufallszahl –Erwartungswert je Zufallszahl: 0,5 –Varianz je Zufallszahl: 1/12 Schritt 2: Addiere die 12 Zufallszahlen und ziehe sechs abSchritt 2: Addiere die 12 Zufallszahlen und ziehe sechs ab –Erwartungswert: 0,5*12-6=0 –Varianz: 12*1/12 = 1 –Ergebnis: annähernd standardnormalverteilte ZZ

62 Beispiele für Simulation Simulation der ProduktionsprozesseSimulation der Produktionsprozesse FlugsimulatorFlugsimulator Numerische IntegrationNumerische Integration Prognose epidemiologischer ProzessePrognose epidemiologischer Prozesse

63 Anforderungen an Simulationsprogramme Generierung von ZufallszahlenGenerierung von Zufallszahlen Überwachung des zeitlichen Ablaufs einer Simulation (Simulationsuhr)Überwachung des zeitlichen Ablaufs einer Simulation (Simulationsuhr) Sammlung, Analyse und statistische Auswertung relevanter Daten/ ErgebnisseSammlung, Analyse und statistische Auswertung relevanter Daten/ Ergebnisse Aufbereitung und PräsentationAufbereitung und Präsentation

64 Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…)Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) SimulationssprachenSimulationssprachen –GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA AnwendungssoftwareAnwendungssoftware –SimFactory; ProModel

65 Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…)Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) SimulationssprachenSimulationssprachen –GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA AnwendungssoftwareAnwendungssoftware –SimFactory; ProModel Implementierung von Sprachelemente (Makrobefehle) möglich

66 Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…)Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) SimulationssprachenSimulationssprachen –GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA AnwendungssoftwareAnwendungssoftware –SimFactory; ProModel Unterscheidung nach Problemorientierung und Sprachkonzept (flexibel; fest)

67 Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…)Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) SimulationssprachenSimulationssprachen –GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA AnwendungssoftwareAnwendungssoftware –SimFactory; ProModel ursprünglich ereignisorientiert ursprünglich ereignisorientiert neue Versionen: Kombination von diskreten/ kontinuierliche neue Versionen: Kombination von diskreten/ kontinuierliche Simulationen Simulationen Basis: Fortran Basis: Fortran

68 Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…)Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) SimulationssprachenSimulationssprachen –GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA AnwendungssoftwareAnwendungssoftware –SimFactory; ProModel spezielle Problemorientierung spezielle Problemorientierung Anwendung: komplexe Warteschlagensysteme Anwendung: komplexe Warteschlagensysteme

69 Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…)Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) SimulationssprachenSimulationssprachen –GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA AnwendungssoftwareAnwendungssoftware –SimFactory; ProModel Simulation komplexer Warteschlangensysteme Simulation komplexer Warteschlangensysteme Basis: Fortran Basis: Fortran Anwendung: diskrete und kontinuierliche Simulation Anwendung: diskrete und kontinuierliche Simulation Weiterentwicklung: ARENA Weiterentwicklung: ARENA

70 Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…)Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) SimulationssprachenSimulationssprachen –GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA AnwendungssoftwareAnwendungssoftware –SimFactory; ProModel sehr allgemein; umfassend sehr allgemein; umfassend Implementierung zahlreicher Simulationsprogramme Implementierung zahlreicher Simulationsprogramme Basis: Entities, Attribute, Sets Basis: Entities, Attribute, Sets

71 Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…)Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) SimulationssprachenSimulationssprachen –GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA AnwendungssoftwareAnwendungssoftware –SimFactory; ProModel weniger stark problemorientiert weniger stark problemorientiert wesentlich flexibler als GPSS wesentlich flexibler als GPSS Basis: ALGON Basis: ALGON

72 4.3 Expertenprognosen Direkte BefragungDirekte Befragung –verschiedene Techniken, um diskrete oder kontinuierliche Variablen zu erfragen Delphi-MethodeDelphi-Methode

73 Delphi-Methode 1.Definition des Prognoseproblems 2.Auswahl der Experten, Separierung 3.Schriftliche Befragung der Expertenmeinungen 4.Zusammenstellung der Prognosen 5.Rückführung der Ergebnisse an Experten 6.Erneute schriftliche Befragung der Experten 7.Wiederholung der Schritte 4,5,6, bis die Ergebnisse ausreichend konvertiert sind. evtl. ergeben sich Intervalle


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