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1 Gleichungen im Mathematikunterricht der Klassen 5 bis 10 Teil I Didaktik der Algebra (11)

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Präsentation zum Thema: "1 Gleichungen im Mathematikunterricht der Klassen 5 bis 10 Teil I Didaktik der Algebra (11)"—  Präsentation transkript:

1 1 Gleichungen im Mathematikunterricht der Klassen 5 bis 10 Teil I Didaktik der Algebra (11)

2 2 Gleichungen waren bis zu Beginn des 20. Jahrhunderts der zentrale Begriff in der Mathematik. In der Geschichte der Algebra haben die Gleichungen von je her eine bedeutende Rolle gespielt; vielfach waren weite Teile der Mathematik eigentlich eine Theorie der Gleichungen.

3 3 Viele bedeutende Sätze in der Mathematik können dem Lösen bzw. der Gültigkeit von Gleichungen zugeordnet werden. Nicht nur in der Algebra spielte das Lösen von Gleichungen bzw. Gleichungen als Ausdrucksmittel eine wichtige Rolle.

4 4 Ein Nachteil der klassischen Gleichungslehre in der Schule war vor allem eine Beziehungs- losigkeit verschiedener Gleichungstypen und ihrer Lösungsverfahren. Die Methoden der Logik und Mengenlehre sollten hier u.a. eine einheitliche, systematische Sicht bringen.

5 5 Logik und Mengenlehre verhalfen zwar zu einem einheitlichen Begriffsapparat, aber mit der sog. Neue Mathematik ergaben sich auch die bekannten Nachteile der Überbetonung des Formalismus und des Verlustes des Inhaltlichen.

6 6 Das Zurückschrauben der Reform brachte für die Gleichungen im Mathematikunterricht vor allem eine Orientierung zum Inhaltlichen und eine Reduktion der Terminologie. Später kam die Auseinandersetzung mit Fehlermustern und der unterschiedlichen Vorstellung von Schülern und Lehrern hinzu.

7 7 Die Existenz und der Einsatz von Computer- programmen zum Lösen von Gleichungslösen führt derzeit zu einer Verschiebung der Lernziele beim Gleichungslösen. Es wird mehr Wert auf das Verständnis und Grundfähigkeiten und weniger auf die Perfektionierung von algorithmischen Fähigkeiten gelegt.

8 8 Die große Bedeutung von Gleichungen als Ausdrucksmittel in der Mathematik wird deutlich, wenn man die Verwendung von Gleichungen in den verschiedenen Teilgebieten betrachtet.

9 9 Für den Bereich der Zahlen ist festzustellen, dass grundlegende Eigenschaften der Zahlbereiche formal durch Gleichungen beschrieben werden (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz...). Auch Beziehungen zwischen Rechenoperationen werden durch Gleichung ausgedrückt: a + b = c a = b - c.

10 10 Auch die Termumformungen basieren auf Gleichungen. Hier handelt es sich um allgemeingültige Gleichungen, bei denen beide Seiten Terme sind. Terme ergeben sich häufig als Rechenschemata, die durch Umformungen zu Formeln werden. Formeln sind wiederum ein anderer Typ von Gleichungen.

11 11 Eigenschaften von Funktionen werden ebenfalls häufig durch Gleichungen ausgedrückt, so z.B. die Symmetrie zur y-Achse: f(x) = f(-x). Aber auch die Verwendung von Funktion liefert vielfältige Gleichungen, z.B. bei der Nullstellenberechnung usw..

12 12 Bevor konkret die Behandlung von Gleichungen im Mathematikunterricht betrachtet wird, sollen einige Aspekte zum Umgang mit Gleichungen diskutiert werden. Hier handelt es sich um das Lernen von Algorithmen für Gleichungen, das Umformen von Gleichungen, das Lösen von Sachaufgaben.

13 13 Bei den Algorithmen für Gleichungen geht es vor allem um Algorithmen zum Gleichungslösen. Ein schnelles und sicheres Lösen von Gleichungen setzt eine algorithmische Lösungsstrategie voraus.

14 14 Bei elementaren Gleichungen über Q bzw. R sind sich die Schüler meist nicht bewusst, dass sie Algorithmen verwenden. Durch den zeitlich langen Umgang mit Zahlen haben sie sich diese Algorithmen unbewusst angeeignet.

15 15 Haben Schüler die entscheidenden Ideen eines neuen Algorithmus nicht verstanden, so werden sie ihn relativ schnell wieder vergessen bzw. leicht Fehler bei der rein schematischen Anwendung machen.

16 16 Nach wiederholte Anwendung eines Algorithmus neigen viele Schüler zu Verkürzungen. Gerade wenn wenig Erfahrung mit einem neuen Algorithmus vorliegt, ist vor einem Verkürzungsstreben zu warnen.

17 17 Das sichere Beherrschen eines Algorithmus setzt verschiedene, hierarchisch geordnete Fähigkeiten voraus. Beim Lösen von linearen Gleichungen beispielsweise sind dies Kenntnisse über globale Vereinfachungsstrategien für lineare Gleichungen, Äquivalenzumformungen für Gleichungen, Termumformungen, Grundrechenarten.

18 18 Das Entwickeln von Algorithmen zur Lösung von Klassen bestimmter Aufgaben ist eine mathematisch-kreative Leistung. Die Fähigkeit zur Algorithmisierung ist von großer Bedeutung und ist als Ziel des Mathematikunterrichts unbedingt zu fördern.

19 19 Demgegenüber ist eine Überbetonung des algorithmischen Arbeitens zu vermeiden, da dadurch Problemlösefähigkeiten nicht gefördert werden. Algorithmisches Arbeiten dient vor allem dazu, bei Problemlöseaufgaben Teile des Problems ohne großen Aufwand zu bearbeiten und somit den Kern des Problems im Auge zu behalten.

20 20 Umformen von Gleichungen Beim Umformen müssen die Schüler zwei Typen unterscheiden: Zum Einen die Termumformungen, wo nur beide Seiten der Gleichung unabhängig voneinander sind, und zum Anderen die Äquivalenzumformungen von Gleichungen, wo beide Seiten abhängig voneinander umgeformt werden.

21 21 Für die Äquivalenzumformungen von Gleichungen gibt es als klassische Grundvorstellung das Waagemodell. Aber auch die Repräsentation anhand von Längen oder die Verwendung von Elementarumformungsregeln werden als mögliche Erklärungsansätze genannt.

22 22 Nach dem Waagemodell kann man auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche tun, so wie man bei einer (Balken-)Waage im Gleichgewicht auf beiden Waagschalen gleiche Gewichtsveränderungen vornehmen kann, ohne dass die Waage aus dem Gleichgewicht gerät.

23 23 Nachteil des Waagemodells ist, dass z.B. die Multiplikation einer Gleichung mit negativen Zahlen nicht erklärt werden kann. Entsprechende Einschränkungen gibt es beim Längenmodell. Malle (1993) schlägt deshalb die Elementar- umformungsregeln als Alternative vor, die allerdings keine anschauliche Vorstellung liefern.

24 24 Bei Elementarumformungsregeln handelt es sich um zwei grundlegende Regeln: additiv: A + B = C A = C - B, multiplikativ: A · B = C A = C : B (B 0).

25 25 Lösen von Sachaufgaben Sachaufgaben/Textaufgaben sind i.a. bei Schülern besonders unbeliebt. Das Hauptproblem besteht dabei in der Erfassung der relevanten Informationen und dem Aufstellen einer Gleichung. Das Lösen der Gleichung dagegen bereitet häufig keine Probleme.

26 26 Viele Sachaufgaben, die im Mathematik-unterricht behandelt werden, sind sog. eingekleidete Aufgaben, deren Inhalt in der Regel keinen Sinn gibt. Dennoch haben einige dieser Aufgaben einen Knobelcharakter, der durchaus motivierend wirken kann.

27 27 Beispiel: Eine fünfköpfige Familie ist zusammen 142 Jahre alt. Die Tochter ist halb so alt wie die Mutter, die um vier Jahre jünger ist als der Vater. Der Sohn ist um vier Jahre jünger als seine Schwester und um ein Jahr älter als sein Bruder. Wie alt sind die einzelnen Personen?

28 28 Forderungen Sachaufgaben sollen: echte Umweltprobleme der Schüler ansprechen; einfach und klar in den Formulierungen sein, so dass Angaben und Problem unmittelbar zu erkennen sind; Mathematisierungsprozesse einleiten können, die ohne mathematische Hilfsmittel nicht oder nur schwer lösbar sind.

29 29 Beispiele für realistische Sachaufgaben ergeben sich z.B. durch Vergleiche von - Tarifen (Strom, Telefon, Handy), - Finanzierungspläne (Kredit, Leasing), - Vorsorgeversicherungen (private Rentenversicherung) usw..

30 30 Notwendige Fähigkeiten zur Bearbeitung von Textaufgaben: nach Vollrath, 1994

31 31 Bei den Schülern zeigen sich im wesentlichen zwei verschiedene Strategien beim Bearbeiten von Textaufgaben. Dabei liegt der Fokus - auf der gesuchten Größe, - auf Beziehungen zwischen Größen.

32 32 Fokus auf der gesuchten Größe: Ein Schüler - ermittelt und benennt die gesuchte Größe, - setzt damit Terme zusammen, - setzt die Terme in Relation.

33 33 Beispiel, bei dem sich diese Strategie anbietet: Zwei Zahlen unterscheiden sich um 2. Vermehrt man jede der beiden Zahlen um 3, so nimmt ihr Produkt um 45 zu. Wie heißen die beiden Zahlen?

34 34 Fokus auf Beziehungen zwischen Größen: Ein Schüler - erkennt eine Relation, die der Aufgabe zugrunde liegt, - setzt Terme in Relation zueinander, - drückt die Relation durch Terme aus.

35 35 Beispiel, bei dem sich diese Strategie anbietet: Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 15 cm. Jeder Schenkel ist doppelt so lang wie die Grundlinie. Wie lang sind die Seiten?

36 36 Zum Teil sind die Aufgabentexte übersetzungs- freundlich: Die Zahl der Studenten ist sechsmal so groß wie die Zahl der Professoren. Zum Teil sind sie aber auch tückisch: Auf einen Professor kommen sechs Studenten.

37 37 Den Übersetzungsvorgang beschreibt Malle (1993) in drei Schritten: 1. Vom Text zur konkret-anschaulichen Wissensstruktur, 2. Von der konkret-anschaulichen Wissensstruktur zur abstrakt-formalen Wissensstruktur, 3. Von der abstrakt-formalen Wissensstruktur zur Formel. Jeder Schritt ist dabei fehleranfällig.

38 38 Nach der (mathematischen) Bestimmung einer Lösung zu einer Textaufgabe, ist es zweckmäßig eine Probe durchzuführen. Dabei wird geprüft, ob der Text mit der gefundenen Größe stimmig ist.

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