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TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Die starke Wechselwirkung und Quantenchromodynamik Robert Klanner Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh.

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1 TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Die starke Wechselwirkung und Quantenchromodynamik Robert Klanner Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006

2 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II2 ÜBERBLICK 1.Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen 2.Feynman-Regeln und –Diagramme 3.Lagrange-Formalismus und Eichprinzip 4.QED Einschub: Beschleuniger und Experimente 5.Starke Wechselwirkung und QCD 5.1 QED als Muster relativistischer Feldtheorien 5.2 QCD: die Theorie der starken Wechselwirkung (Farbe, SU(3)-Eichinvarianz, Gell-Mann-Matrizen, Masselosigkeit der Gluonen, Lagrange-Dichte der QCD, Renormierung, running coupling, asymptotische Freiheit und Confinement 5.3 Nicht-perturbative QCD: Jets, Fragmentation, Entdeckung/Messung des Gluonspins 5.4 Perturbative QCD (Einschub: Wie sieht eine QCD-Analyse bei ZEUS aus?) 5.5 Hadronen in der QCD

3 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II3 5.1 QED: Muster für Quantenfeldtheorie Wiederholung QED: - Beschreibung geladener Leptonen durch Dirac- Spinoren - Wirkungsquerschnitt: |Matrixel.| 2 x (1/Flussfaktor) x Phasenraum - Struktur der WW - Eichboson (masseloses, neutrales Photon) koppelt an em. Ladung A folgt aus lokaler Eichinvarianz (Gruppe U(1): exp(i·q·χ(x)) - Berechnung der Matrixelemente mit Hilfe der Feynman-Regeln (z.B. aus Lagrangedichte ab- leitbar) - Renormierung (renormailsation): Diagramme höherer Ordnung divergieren ! behoben durch: - Ladungs-Renormierung laufendes (ersetze nackte durch renormierte Ladung und lasse Schleifendiagramme weg) - Massen-Renormierung laufendes m (wie in Festkörperphysik effektive Massen; in QED durch WW mit den Vakuumfluktuationen) e–e– e–e– – –

4 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II4 5.2 Farbe (Colour) – Ladung der starken WW Experiment: e + e - Hadronen (~ e + e - Quark + Antiquark) ~ Ladung Q Σ über Quarks mit m > s/2 Charmschwelle 3.7 GeV R= 4/3 = 3x(2/3) 2 N C =3, Q Charm =2/3 Beautyschw GeV R= 1/3 = 3x(1/3) 2 N C =3, Q Beauty =1/3 N Colour =3 (außerdem Resonanzen bei Schwellen + Z 0 )

5 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II5 5.2 Farbe (Colour) – Ladung der starken WW Weitere Experimente zu Anzahl Farben: Zerfall des -Leptons: - W-Boson koppelt mit gleicher Stärke an Fermiondubletts Zerfallsrate des 0 : stimmt mit Erwartung für N C =3 überein - historisch ( Jahr nach der Aufstellung des Quark-Modells) kam die erste Evidenz, dass es eine Farbladungszahl geben muss von der Symmetrie der Wellenfunktion der Quarks im ++ (uuu) Baryon, die (ohne Farbquantenzahl) symmetrisch unter Vertauschung zweier Quarks wäre Widerspruch zum Pauli-Prinzip - außerdem Dreiecks-Anomalie im SM: ΣQ(Quarks)+ΣQ(Leptonen)=0; 3x(2/3-1/3)-1=0 - Unterschied: Korrekturen höherer Ordnung

6 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II6 5.2 QCD: SU(3)-Eichinvarianz Nach dem Erfolg der QED (und EW) + Realität von Quarks Theorie der starken WW auf Basis einer Eichtheorie, die invariant unter lokalen Transformationen im Farbraum ist QCD = Quanten-Chromo-Dynamik masselose Feldquanten, die an Farbladungen koppeln und als Farb-Antifarb-Zustände farb- geladen sind 8 Gluonen - einfachheitshalber nur ein Quark q: DGl. freies Quark Wellenfunktion mit: Eichtransf.: g S … Kopplungskonstante der starken WW Invarianz nur wenn m R = m G = m B =m 1 … 8 : 8 unabhängige Transformationswinkel, 1 … 8 : Gell-Mann Matrizen der SU(3) Analogon zu den Pauli-Matrizen der SU(2): U = exp(i· j · j /2) Drehung um Winkel j Vertauschungsrel. Struktur QCD sehr komplex, nicht- Abelsche Eicht., da j nicht vertauschen antisymm. Strukturkonst.

7 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II7 5.2 QCD: SU(3)-Eichinvarianz + Lagrangedichte Insgesamt gibt es 9-1=8 Gluonfelder G j (eine Kombination ist farbneutral *) !) kovariante Ableitung **) Invarianz ist gewährleistet wenn (Übung): Zusatzterm (Konsequenz der Nicht-Vertauschbar- keit der SU(3)-Transformation ~g S gleiche Kopplung für alle Quarksorten u,d,s,c,b,t und alle Farbladungen R,G,B [em.: verschiedene Kopplungen (1/3, 2/3, 1, Z)·e !] Feldstärketensor und Lagrangedichte: für > 1 Quark: 1 ter Term Σ Quarksorten Feynmanregeln – analog zur QED: Quark-Gluon-V. 3-Gluon-Vertex 4-Gluon-Vertex *) farbneutrales Gluon würde Kernkräfte mit Reichweite zur Folge haben; Gruppe SU(3) hat nur acht -Matrizen **) j … Farbindex – … Lorentz-index Dreh. im 3-d Farbraum

8 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II8 5.2 QCD: Renormierung und laufende Kopplung Wie in der QED divergieren Schleifendiagramme und die -en Werte werden in den Massen und Kopplungen absorbiert. Quarkschleifen: Summe über N f Quark-Anti-Quark-Paare Abschirmung der Ladung bei wachsendem Abstand durch Farbdipole (wie bei der QED) QED: Gluonschleifen (wegen Selbstkopplung): + – Verstärkung Ladung mit Abstand Addition und Summierung über alle Ordnungen: QCD: mit: (N f … Flavours mit 2m q < |Q|)

9 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II9 5.2 QCD: Laufende Kopplung – perturbative QCD für Q 2 (» 2 ) S 0: Asymptotische Freiheit ( D.Green, D.Politzer, F.Wilczek Nobelpreis 2004) da r =c /|Q| entspricht großes Q kleinen Abständen perturbative QCD – Störungstheorie anwendbar, (ein Gluon-Austausch mit m g =0 Coulomb V~1/r) Präzisionstests der starken Kraft möglich (mehr später) S Messung in e + e WW: 0.2 GeV 0.2 GeV

10 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II QCD: Laufende Kopplung – nicht-pert. QCD für Q 2 (< 1 GeV 2 ) 2 : S groß Multi-Gluonenaustausch nicht-perturbativer Bereich, Rechnungen mit Gittereichtheorie oder phänomenologische Modelle (z.B- Kernphysik) Selbstwechselwirkung der Gluonen (farb- magnetische Anziehung) analog zu Expander bildet sich String aus Confinement (keine freien Quarks/Gluonen), Kernkräfte = QCD-RestWW (van der Waals) komplexe (z.Zt. nicht berechenbar) Struktur der Hadronen sobald (z.B. in hochenergetischer WW) Ab- stand Quark-Antiquark > 1 fm bilden sich neue Quark-Antiquark-Paare Quarks und Gluonen fragmentieren Teilchenbündel Jets nicht-pert. Problem tritt immer bei Hadronen auf QED QCD QCD-Potential aus Gitterrechnungen

11 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II Nicht-perturbative QCD: Jets Wie sehen Detektoren Quarks und Gluonen? - werden Quarks/Gluonen getrennt Abstrahlung von QCD-Feldquanten mit kleinen (~ =0.2 GeV) Transversalimpulsen für hohe Transversalimpulse enges Teilchenbündel (Jet), aus dem sich im Detektor des Quarks/Gluon rekonstruieren lässt - Fragmentieren ein statistischer Prozess mit großen Fluktuationen in Anzahl und Art der Teilchen ( ±, 0, K ±, K 0, … p, n, …) Nachweis durch Spurdetektor und Kalorimeter

12 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II Jets - Jet p e+e+ p

13 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II Jets – Entdeckung der Gluonen DESY-PETRA: Wichtiger experimenteller Schritt auf dem Weg zur QCD: 3-Jet Ereignisse Nachweis der Gluonen JADE Experiment am DESY In ~ S [~10%] der Ereignisse wird ein Gluon abgestrahlt Bestätigung der QCD-Vorhersage, Möglichkeit S zu bestimmen

14 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II Spin und Farbladung der Gluonen Spin der Gluonen: - abgestrahltes Gluon (statistisch) hat kleineren Impuls als die beiden Quarks - Winkel des höchst-energetischen Jets zur Achse der beiden anderen Jets empfindlich auf Gluon- Spin (Berechnung im Rahmen der QCD) – bereits bei den PETRA-Experimenten gezeigt Farbladung der Gluonen: -Resonanz hat J PC =1 – – -Zerfall wegen C-Paritätserhaltung in der starken WW verboten - für Farb-neutrale Gluonen wäre der Zerfall erlaubt - kann durch Ergebnisse PLUTO-Experiment (DESY 1979) ausgeschlossen werden Spin der Gluonen: 1 Trust: Maß für Isotropie der erzeugten Teilchen: T = 0.5 … isotrop T = 1.0 … 2 entgegengesetzt fliegende Teilchen (Kontinuum: ~90% 2 Jets, 10% > 2 Jets)

15 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II Farbladung der Gluonen + Zusammenfassung Zusammenfassung: - QCD: Eichinvariante Quantenfeldtheorie nach dem Muster der QED (Drehung im 1-dim Ladungsraum Drehung im 3-dim Farbraum = nicht Abelsche Eichtheorie – SU(3)) - Schleifendiagramme: Gluonenbeiträge > Quark- beiträge Kopplungskonstante nimmt bei kleinen Abständen (Impulsüberträge groß) ab asymptotische Freiheit ( perturbative QCD) Confinement ( nicht-perturbative QCD) (komplexe Struktur des Vakuums dank Quanten- fluktuationen) - Experimente bestätigen QCD (davon mehr) Farbladung der Gluonen (cont.): Außerdem wurde in zahlreichen Studien zu den Winkelverteilungen in 3- und 4-Jet-Ereignissen bei z.B. e + e - (LEP) und ep (HERA) die Stärke der 3. und 4-Gluonenkopplung wie vorher- gesagt gemessen.

16 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II SKALENABHÄNGIGKEIT VON S Theorie (erste Ordnung, M Z = 91.2 GeV): Entweder wird Kopplung bei Skala Q 2 M Z 2 gemessen und dann (zwecks Vergleichbarkeit) mithilfe obiger Gleichung zur Skala M Z 2 evolviert. Oder Messungen werden bei ihrer Skala dargestellt und mit theoretischer Vorhersage für S (Q 2 ) für gegebenes S (M Z 2 ) (z.B. Weltmittelwert) verglichen. S (M Z )=0.1187(20) [PDG] S (M Z )=0.1182(27) [Bethke] S (M Z )=0.1186± (exp)±0.0050(th) Aktuelles Weltmittel HERA (NLO) Der Weltmittelwert hat einen deutlich kleineren (theoretischen) Fehler als der HERA-Wert – hier fliessen theoretisch besser verstandene Resultate ein (HERA: nur nächstführende Ordnung QCD – next-t-leading order, NLO). Im Folgenden Diskussion verschiedener exp. Bestimmungen der starken Kopplung S : – 3/4-Jet-Raten in e + e – -Kollisionen (LEP) – Skalenverletzungen in DIS (HERA) – Jet-Physik in ep-Streuung (Tevatron ähnlich) (nicht erwähnt: -Zerfall, Z-Zerfall, interne Struktur von Jets, Gittereichtheorie, -Zerfall, …)

17 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II S AUS JETS IN e + e - (PETRA, LEP) Erinnerung: 3-Jet-Ereignisse bei PETRA Sensitivität auf starke Kopplung S : 3-Jet-Rate naiv in nächstführender Ordnung QCD: Relevante Energieskala: = s. Praktisch leicht anderes Vorgehen: Bestimme für verschiedene sqrt(s) die Abhängigkeit von einer bestimmten Variable, typisch y cut : – Definiere Abstand zweier Teilchen i,j: y ij, für alle Teilchen im Ereignis: – Falls ein y ij < y cut, mit y cut vordefiniert, dann kombiniere Teilchen i,j zu neuem Teilchen ij: – Neues Clustering mit den Teilchen ij. Clustering endet, falls alle y ij > y cut. Die dann verbleibenden Teilchen sind Jets. – Damit hängt aber Anzahl der Jets von y cut ab: – y cut klein Jets werden nicht lange geclustert eher mehr Jets. – y cut gross eher weniger Jets. Betrachte R 3 (oder R 4 ) als Funktion von y cut ( ) in R 4 höhere Sensitivität für Kopplung als in R 3 ! S Jet-Algorithmus clustert Detektor- Objekte zu Jets. Jet-Algorithmus

18 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II S AUS JETS IN e + e - (PETRA, LEP) Ergebnisse JADE (PETRA): R 4 als Funktion von y cut für verschiedene sqrt(s). Theorie (Kurven) hängen von S ab Anpassung (Fit) der Theorie an Daten in bestimmten Messbereichen durch Variation von S ( ). Ergebnis: Kopplung als Funktion der Schwerpunktsenergie! Kombination von PETRA und LEP!!! Alte JADE-Daten neu belebt!!!!

19 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II TIEFUNELASTISCHE ep-STREUUNG Normalerweise historischer Weg: – Rutherford mit Spin-1/2-Geschossen (elastisch) – Spin des Targets ( Mott-WQS) – Ausdehnung des Targets ( Formfaktoren, Rosenbluth-Formel) – Übertragung auf den inelastischen Fall Jetzt anders: – Das Proton hat (punktförmige) Konstituenten! – inelastische ep-Streuung = elastische Streuung an einem der Konstituenten. – grosser Energieübertrag des Elektrons E-E, entspricht kurzer Zeitdauer der Wechselwirkung inkohärente Streuung an einzelnen Partonen. – Annahme: Partonen haben Spin-1/2 Anwendung der Erfahrung aus e -Streuung: Von diesem Ausdruck ausgehend soll jetzt der WQS der ep-Streuung abgeleitet werden. Plausibilität der Annahme von Konstituenten (Anleihe bei Atom/Kern-Physik): Streuung von Elektronen an Atomen: Streuung von Elektronen an Kernen: Inelastische Streuung an ausgedehntem Objekt = elastische Streuung an Bestandteil + Fermi- Verschmierung! Elastische Streuung an einzelnen Kernbestand- teilen (p,n) Elastische Streuung an einzelnen Hüllenelektronen

20 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II TIEFUNELASTISCHE ep-STREUUNG Anwendung auf ep-Streuung (4.9-GeV-Elektronen auf Wasserstoff-Target): Es gibt (punktförmige) Konstituenten im Proton! Modifikation des e -Bildes (P=Impuls des Protons): Historische (aus der Hadronspektroskopie motivierte) Annahme: - Es gibt drei Konstituenten mit Spin-1/2 (Valenzquarks u,u,d). - Ladungen: Q u =2/3, Q d =-1/3. - Diese tragen Bruchteile x i, i=1,2,3, 0

21 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II TIEFUNELASTISCHE ep-STREUUNG Definition der Inelastizität y: Es gilt: Damit folgt: Definiere (*) : Strukturfunktionen F 1,2 : Dann: Anmerkungen: (*) Wenn man den Wirkungsquerschnitt der elastischen ep-Streuung mit den Formfaktoren W 1,2 betrachtet, dann kann man Formgleichheit zwischen elastischer und inelastischer Streuung mit diesen Definitionen erreichen. Dabei entsprechen W 1,2 den Termen der elektrischen und magnetischen WW. Das sieht man schon im Elektron-Myon-WQS: – Die Bedingung heisst Callan-Gross- Beziehung. Sie gilt nur für Spin-1/2-Partonen. Im Falle von Spin-0- Teilchen wäre F 1 =0 (keine Spin-Spin-WW). – Es gilt: F 2 beschreibt also nur die elektrische Struktur des Protons. In voller Rechnung mit schwacher WW und Interferenzen treten weitere Strukturfunktionen auf (F 3 ), die auch schwache Anteile beschreiben. – Prozess vollständig beschrieben durch x,y,Q 2 (s,t,u). F 2 hängt aber nur von x ab (Scaling – Skalenverhalten – auf jeder Größenskala sieht Struktur gleich aus – Struktur hängt nur von dimensionsloser Variable x ab). F 2 unabhängig von Auflösungsvermögen der Photonsonde Q 2. Grund: Es gibt nur drei Quarks im Proton.

22 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II SCALING VON F 2 =F 2 (x) Anmerkung: W 2 ~F 2. Für diese frühen Messungen der Strukturfunktion in fixed-target-Experimenten zeigte sich also wirklich das Skalenverhalten im Bereich x=0.25! Erklärung: Unabhängig von Auflösung (Wellenlänge des Photons ~1/Q) Beide Male genau 3 Quarks! Hohe AuflösungNiedrige Auflösung Proton =F 2 (x) = 1 Teilchen x F 2 (x) 1x 3 freie Quarks 1/3x F 2 (x) 3 wwirkende Q. 1/3 x F 2 (x) Gluonen! 1/3 Valenzquarks Seequarks

23 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II SCALING VON F 2 =F 2 (x)

24 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II SKALENVERLETZUNG UND QCD Falls hohes Q 2, gute Auflösung, auch kleine Raum/Zeit-Strukturen auflösbar: 1. Das Photon koppelt auch an das Gluon! 2. Die Kopplung an das Quark erfolgt bei einem anderen x-Wert z

25 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II SKALENVERLETZUNG UND QCD

26 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II F 2 HEUTE (HERA) – Mehrere hundert Datenpunkte mit Genauigkeit 2%. Wunderbar von Theorie beschrieben! – Klare Beobachtung von Skalenverletzungen bei grossen und kleinen x! – grosse x: Valenzquarks q(x) strahlen Gluonen ab, die wiederum in qq-Paare (q(z

27 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II SKALENVERLETZUNG UND QCD

28 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II28 Zur Kinematik der ep-Streeung … … kriegen Sie eine kleine Aufgabe … F 2 : VORGEHEN; SKALENVERLETZUNGEN – Unterteile x-Q 2 -Ebene in vernünftige Bins: – Merke, dass bei kleinen y: – Also: Zählen! x,Q 2 gemessen! e(k) (q) gestreutes Parton q(xP) Weitere Partonen

29 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II F 2 : SKALENVERLETZUNGEN – Unter der Annahme von nur u,d-Quarks (ist einfacher) und mit folgt für F 2 : Man kann zwei Grenzfälle isolieren: – große x: Gluondichte g(z) für z>x verschwindet – kleine x: Gluondichte dominiert das Proton Kopplung Splitting-Funktionen (pQCD): Wkeit, dass Parton mit z anderes Parton mit x abstrahlt. Änderung von u bei x proportional zur Dichte der Quarks/Gluonen, die abstrahlen können. Verhalten von F 2 mit Q 2 (halb)quantitativ: - Betrachte Änderung der Dichte von Quarks q(x,Q 2 ) mit Impulsbruchteil x bei kleiner Änderung von Q 2 Q 2 +dQ 2. (z>x)). Man sieht etwas mehr von Prozessen wie - z kann Werte zwischen x und 1 haben: - Damit kann man zeigen, dass:

30 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II30 Ergebnis (Beispiel): – Unterschiede durch verschiedene Datensätze und verschiedene Parametrisierungen. – Verschiedene Gruppen: CTEQ, MRST, Alekhin, H1, ZEUS – Unsicherheiten von wenigen Prozent (u bei moderaten x) bis 100% (g bei hohen x) Problem für LHC! Typische Parametrisierungen der Abhängigkeit von F 2 von den Partonverteilungen f i (x,Q 2 ): Durch Variation der Parameter kann die Vorhersage von F 2 an die Daten angepasst werden. Der optimale Parametersatz liefert dann die Partonverteilungen (PDFs) des Protons. (Anmerkung: Der theoretische Ansatz verlangt, dass die PDFs bei einer kleinen Startskala Q 0 2 angenommen und dann mithilfe der Evolutionsgleichungen zu hohen Skalen Q 2 >Q 0 2 entwickelt werden.) Probleme: – Anzahl der Parameter gross! – Auswahl der Datensätze (fixed-target, Neutrino, Myon, HERA, Drell-Yan etc.). – Abschätzung der Unsicherheiten. – … PARTONVERTEILUNGEN AUS F 2

31 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II31 Zur Unsicherheit der Gluondichte: Relevanz für z.B. Higgs-Produktion bei LHC? Ehrlichere Darstellung: Man beachte das starke Ansteigen des Sees und der Gluonen zu kleinen x hin! PARTONVERTEILUNGEN AUS F 2

32 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II S IN SKALENVERLETZUNGEN VON F 2 Erinnerung: Strukturfunktion F 2 :Wiederholung Theorie: Bei bekannter Strukturfunktion F 2 (und ihrer Ableitung), bekannter Gluondichte g und bekannten Splitting-Funktionen P kann S (Q 2 ) extrahiert werden (beachte: Q 2 ist einzige harte Skala im Prozess). Ergibt einen sehr genauen Wert für die starke Kopplung!

33 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II33 Umbenennung: u(x)dx, d(x)dx etc. ist Wahrscheinlichkeit, ein u,d-Quark mit Impulsanteil x zu finden. Wir unterscheiden Valenzquarks uud und Seequarks aus Fluktuationen: uu, dd, ss, … Damit und den als bekannt angenommenen Quarkladungen kann man die Strukturfunktion des Protons F 2 ep schreiben als: Annahme von Isospin-Invarianz ergibt beim Übergang zum Neutron: Also: Integration über x ergibt einige Summenregeln: Addition/Subtraktion dieser beiden Gleichungen: Da das Proton die Strangeness 0 hat muss gelten: Interessant: Impulssummenregel: Laut QPM sollte 0 sein. Vernachlässigung von s: Experimentell: Wert des Integrals ca. 0.5! Den restlichen Impuls tragen die Gluonen! Da sie elektrisch neutral sind, tragen sie nicht zur EM-Struktur (also zu F 2 ) bei QPM UND SUMMENREGELN

34 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II S AUS JETS IN DIS Wir betrachten folgende Pozesse in ep-Streuung … und die Korrekturen höherer Ordnungen: Uninteressant hingegen ist: Wirkungsquerschnitt: Reihenentwicklung in S : Vier wichtige Fragen: 1.Was ist die relevante Skala für S ? 2.Wie kann man die Prozesse der Ordnung S 0 ausschliessen (wenn man will)? 3.Was sind die Koeffizienten C n (später)? 4.Wie sehen solche Ereignisse im Detektor aus? Zu 1.) Relevante Skala: Wähle hohe Energieskala, bei der der harte Prozess abläuft. QCD-ComptonBoson-Gluon-Fusion S S Reell, brauchen auch virtuelle (Schleifen-)Korrekturen … Quark-Parton-Modell- (QPM)-Prozess Relevant für Struktur- funktionen. Beitrag n=0 liefert kein S. Experimentell: Breit-Bezugssystem! Koeffizienten C n berechenbar (später) NLO=niedrigste (nullte)+erste Ordnungen Q2Q2 (transversale) Jet- Energie E T,Jet Möglichkeiten: Q 2, E T 2 Ambiguität – theo. Fehler!

35 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II35 Zu 2.) Warum betrachtet man bei Hadron-Collidern wie HERA oder Tevatron immer die transversale Energie E T ? – Im Anfangszustand ist die Summe der Transversalenergien =0: – Nach der Wechselwirkung gibt es Impulse senkrecht zur z-Achse (z.B. gestreutes Elektron) – diese charakterisieren also die Wechselwirkung! – Aber man weiss nicht, welcher Bruchteil der (rein longitudinalen) Protonenergie in die Wechselwirkung floss (Quark-Bild!) – die Schwerpunktsenergie ist letztlich unbekannt! Noch zu 2.) Wie unterdrücke ich experimentell die Anteile der Ordnung S 0 ? QPM-Ereignis im Labor-System: das Quark (= der Jet) hat Transversalimpuls! Jetzt Lorentz-Boost so, dass Photon und Quark auf der z-Achse liegen: Breit-Bezugssystem (brickwall system): QPM-Ereignisse geben KEINEN hadronischen (Jet)-Transversalimpuls relativ zu z E T -Cut selektiert also QCD- Ereignisse (QCDC, BGF), denn: S AUS JETS IN DIS: E T, BREIT-SYSTEM +z ElektronProton +z Elektron Hadronisches System Elektron Proton +z Photon Quark Quark +z PhotonQuark +z Quark +z PhotonQuark +z Quark 1 Quark 2

36 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II36 Zu 4.) Wie sehen solche Ereignisse im Detektor aus? S AUS JETS IN DIS: EREIGNISSE QPM

37 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II37 Zu 4.) Wie sehen solche Ereignisse im Detektor aus? S AUS JETS IN DIS: EREIGNISSE ??????

38 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II38 Salopp gesagt: Man kann beweisen (Faktorisierungstheoreme), dass man nur - ME berechnen muss (leicht in pQCD, hängt von einlaufendem Impuls x ab) - PDFs kennen muss (z.B. aus F 2 ) - und dann beides zusammenkleben kann, um zum WQS zu kommen. Die Faktorisierungseigenschaft ist sehr fundamental und keineswegs selbstverständlich! Zu 3.) Was sind die Koeffizienten C n ? Faltung der weichen Anteile (PDF) und der harten (ME) Prinzip der Faktorisierung! S AUS JETS IN DIS Partonverteilungen Faltung Matrixelement (WQS) der Parton- Parton-Steuung PDF f i/p, nicht-perturbativ ME, hohe Skalen (Q 2, E T )

39 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II39 Ergebnisse solcher Analysen bei HERA: Detektor: Wie wird nun die starke Kopplung gemessen? Einfachste Methode: – Berechne den Wirkungsquerschnitt i für jede Observable i als Funktion von S (M Z ). – Interpoliere die quadratische Funktion in S (M Z ): – Bestimme das zum gemessenen i data gehörende S (M Z ). – Kombiniere ggf. verschiedene S (M Z )-Werte. – Oder evolviere zur richtigen Skala S AUS JETS IN DIS: EXTRAKTION Gemessener Wirkungsquerschnitt für Produktion von 1+ Jets in einem bestimmten kinematischen Bereich. Daten verglichen mit QCD-Rechnung in nächstführender Ordnung, NLO. Unten: Verhältnis (Daten-NLO)/NLO Mass für Qualität der Beschreibung der Daten durch Theorie. +z Quark 2 Quark 1 +z Jet 2 Jet 1 +z Jet 2 Jet 1 pTpT

40 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II40 Man sieht also: 1.Die Werte verschiedener HERA-Messungen stimmen gut miteinander überein (Uffff!) 2.Die Energieabhängigkeit wird gut von der Theorie (QCD in NLO) beschrieben: Resultierende S (M Z )-Werte und ihre Kombination: Evolviert zur Skala E T : S AUS JETS IN DIS: EXTRAKTION Führende Ordnung (LO) 0 =11-2/3n f, 1 =51-19/3n f (Renormierungsgruppengleichung)

41 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II S AT HERA

42 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II42 Paradigmatische Bestimmung der starken Kopplung in der Elektron-Positron-Vernichtung in 4 Jets: Tiefunelastische Streeung: Aus der Hadron- spektroskopie motivierte Annahmen: - Es gibt drei Konstituenten mit Spin-1/2 (Valenzquarks u,u,d). - Ladungen: Q u =2/3, Q d =-1/3. - Diese tragen Bruchteile x i, i=1,2,3, 0

43 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II43 WIEDERHOLUNG Durch Gluonen und Quantenfluktuationen kommt es zu Skalenverletzungen. Grund: Bei verändertem Auflösungsvermögen Q 2 sieht man mehr/weniger Strukturen auf kleinen Skalen. Aktuelle präzise Messungen von F 2 von HERA sehr gut mit QCD-Theorie verträglich!

44 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II44 Die Struktur des Jet-Wirkungsquerschnitts (bei HERA): Der Wirkungsquerschnitt wird geschrieben/berechnet als Reihenentwicklung (bis nächstführende Ordnung) mit dem Parameter S. Die Koeffizienten sind Faltungen der PDFs mit den partonischen Wirkungsquerschnitten. Die Messung solcher Daten und der Vergleich mit der theoretischen Vorhersage erlaubt also folgende Tests: – Unterliegende Eichgruppe (ist es wirklich SU(3) C ?) (Spins, Farbfaktoren – siehe Paper auf Webseite). – Starke Kopplung. – PDFs und ihre Universalität. – Faktorisierung. – Konzept der perturbativen QCD – Abhängigkeit vom Boson (neutral/geladen). – Partondynamik im Proton – Spin von Quarks und Gluonen H1-Ergebnisse zu 1/2/3-Jet- Wirkungsquerschnitten: PRÄZISIONSTESTS DER QCD

45 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II45 Der Spin von Quarks und Gluonen wurde sowohl bei LEP als auch bei HERA in 2-Jet-Ereignissen gemessen. Idee: Der Spin des Propagators wirkt sich auf die Winkelverteilung der beiden Jets aus: Trennung der beiden Ereignisklassen über Variable x : Bruchteil der Photon-Energie, die an harter Streuung teilnimmt, aus Jets berechenbar. Ergebnis von ZEUS (analog z.B. von OPAL): Die beiden Beiträge zeigen deutlich verschiedenes Winkelverhalten und gute Beschreibung durch die Theorie. Quarks haben Spin ½, Gluonen Spin 1! Ein weiteres Feature der QCD bestätigt! PRÄZISIONSTESTS: GLUON-SPIN Quark-Propagator mit Spin ½: (1-|cos *|) -1 Gluon-Propagator mit Spin 1: (1-|cos *|) -2

46 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II46 D*-Massenpeak: F 2 cc -Beschreibung mit g(x,Q 2 ) aus F 2 : UNIVERSALITÄT DER PDFS Charm-Strukturfunktion F 2 cc (parametrisiert den Anteil der Proton-Struktur aus c-Quarks). – Charm im Proton nur aus g cc-Fluktuationen. F 2 cc sensitiv auf Gluondichte g(x,Q 2 ). – Gluondichte aus PDF-Fits an F 2. – Charm-Ereignisse aus D*-Analyse: c c D* s + + K-K- D0D0 Das Gluon ist universell!

47 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II47 EINSCHUB: ANALYSE BEI ZEUS HERA stellt 24/7 ep-Kollisionen zur Verfügung:

48 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II48 EINSCHUB: ANALYSE BEI ZEUS

49 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II49 EINSCHUB: ANALYSE BEI ZEUS

50 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II50 EINSCHUB: ANALYSE BEI ZEUS

51 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II51 EINSCHUB: ANALYSE BEI ZEUS Rate der Teilchenbegegnungen:10 MHz Rate von Strahl-Gas- und Strahl- wand-Wwirkungen: 100 kHz Totaler Photoproduktions-WQS: 154 b Rate bei cm -2 s -1 : 0.1 Hz Typischer Jet-Rate (DIS): Hz-mHz Man muss die richtigen Ereignisse herausfiltern. Aber: Ereignisse sind gross (~200kB, 1M elektron. Kanäle) man kann nicht alle guten aufheben weitere Auswahl nötig! Trigger muss helfen! – 1. Stufe (FLT): - Pipelined, - s Entscheidungszeit - Kalorimeter, Vertex-Info, … - 100kHz 1kHz – 2. Stufe (SLT): - Millisekunden - Ausgangsrate ca. 70Hz – 3. Stufe (TLT): - nach Eventbuilder - Sekunden - Ausgangsrate 10Hz Band - PC-Farm

52 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II52 EINSCHUB: ANALYSE BEI ZEUS - Rohdaten auf Band – Kalorimeter: ADC-Signale der Photomultiplier. – Spurkammer: Hits auf den Draehten, Zeit – Trigger-Bits von FLT, SLT, TLT – etc. – das alles in kryptischem Format … - Dann Rekonstruktion: – Umwandlung der PMT-ADC-Signale in Energien der Kalorimeterzellen. – Rekonstruktion von Spuren in der Spurkammer – Aufbereitung der Informationen der anderen Detektorkomponenten. – Abspeichern als DST (Data Summary Tape, die wesentlichen Infos stehen im ADAMO-Tabellen). - Dann im Prinzip Analyse der Daten und Publikation: Aber viele Probleme noch da: Kalibrationen, Luminositaet, Untergrund, …

53 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II53 EINSCHUB: ANALYSE BEI ZEUS Daten auf Band (Kalorimeter-Zellen, Spuren, Trigger-Bits, etc.) Anfassen der Daten (Info in ADAMO-Tabellen, Tage) Standard-Tasks sind in der Phantom-Bibliothek gesammelt, z.B. Elektron-Finder, Myon-Finder, … User-Code enthaelt spezifische Anforderung zur Datenreduktion, Vorselektion (z.B. Trigger-Bits und Auswahl interessanter Daten) Das Ntuple enthaelt fuer mich relevante Info der fuer mich interessanten Ereignisse Finale Analyse mit in Ntuple gespeicherten Ereignissen (z.B. Jet-Finding, Jet-Selektion nach E T,, Q 2 ) (Stunden) Ergebnisse

54 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II54 EINSCHUB: ANALYSE BEI ZEUS Data detektor akzeptance, efficiency Comparison NLO QED running, radiation Z 0 exchange hadroni- sation QCD-Rechnung umfasst nur Partonen Detektor verfaelscht die Physik Korrektur notwendig. Partonen Hadronen mit Simulationen Z 0 -Korrektur mit Simulationen Vertex-Korrektur mit Simulationen Detektor-Korrektur mit Simulationen

55 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II55 EINSCHUB: ANALYSE BEI ZEUS Vergleich Daten-Simulation, Korrekturen

56 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II56 EINSCHUB: ANALYSE BEI ZEUS Abschaetzung experimenteller und theoretischer Unsicherheiten

57 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II57 EINSCHUB: ANALYSE BEI ZEUS Vergleich erste/zweite Analyse

58 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II58 EINSCHUB: ANALYSE BEI ZEUS Ergebnis:

59 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II59 Entdeckung des J/ : - Seit den 60 ern waren Quarks als theoretische Bausteine der Hadronen anerkannt um den Teilchenzoo zu ordnen. - November 1974: Neues Teilchen J/ wird an zwei Experimenten gleichzeitig entdeckt: - BNL: pp e + e - X … 28.5-GeV-Protonen (AGS): Resonanz bei m=3.1 GeV, - SLAC: e + e - Hadronen, e + e -, + - mit SPEAR bei scan E CM = GeV (in 200-MeV Schritten): m=3.105 GeV, ~90keV! Detektor Mark-I Prototyp eines moderne Speicher- ring-Experiments, - Bestätigung nach wenigen Tagen: Frascati (ADONE 4 tes Quark Charm entdeckt Die geringe Breite war eine große Überraschung – bei m=3.1 GeV wird für eine Resonsnz, die über die starke WW zerfällt eine Breite von 1 GeV erwartet! Zwei Wochen nach der Entdeckung des J/ wurde der erste angeregte Zustand mit dem Mark-I- Detektor beobachtet: 5.5 EINLEITUNG: Hadronen und Quarkmodell Experimentelle Situation – der Teilchenzoo: - > 100 Mesonen, > 130 Baryonen – sind die alle elementar? oder gibt es ein Bauprinzip? : Heisenberg: m p = MeV, m n = MeV p n gleiche Eigenschaften Relativ zur starken WW ? Isospin-Multipletts (ebenso,…) : Rochester/Butler: seltsame Teilchen (s-Quark) : Gell-Mann/Zweig: Quarks als mathematische Konstrukte Ordnungsschema (eightfold way) : SLAC: e-Nukleon-Streuung Nukleonen haben punktförmige Bestandteile (Partonen=Quarks?) : Richter/Ting: Entdeckung des J/ und Charmonium-Spektroskopie Quarks als physikali- sche Teilchen akzeptiert : FNAL: b-Quark entdeckt, Spektroskopie : FNAL: Entdeckung des Top-Quarks. Aus 6 Quarks lassen sich Hadronen aufbauen. Zwei Themen in dieser Vorlesung: – Schwere Quarks und ihre Spektroskopie, das Potential der QCD, – Aufbau der Hadronen aus (leichten) Quarks, Gruppentheorie.

60 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II Übersicht: Eigenschaften der Quarks Quarks: Spin: ½, A (Barionenzahl): +1/3, Parität: P = +1 Antiquarks: Spin: ½, A (Barionenzahl): -1/3, Parität: P = -1 Quark *) duscbt Ladung/e-1/3+2/3-1/3+2/3-1/3+2/3 I3I3 -1/2+1/20000 Seltsam Charm(Ch) Bottom00000 Top (To) nackte Masse **) ~.008 GeV ~.004 GeV ~0.15 GeV ~1.1 GeV ~4.2 GeV ~175 GeV Masse im Hadron **) ~.344 GeV ~0.340 GeV ~0.51 GeV ~1.5 GeV ~4.7 GeV *** ) *) additive Quantenzahlen ändern das Vorzeichen Quarks Antiquarks **) modellabhängig ***) Lebensdauer so kurz (schwacher Zerfall!), dass es keine gebundenen Zustände gibt

61 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II J/ UND CHARM Mark-I-Detektor (Richter et al., SLAC) Rekonstruktion der invarianten e + e - -Masse aus den Impulsen: J- Resonanz bei 3.1 GeV! Richters ψ mit Hadronen, Elektronen und Myonen im Endzustand – E CM des e + e - -Speicherrings

62 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II ERZEUGUNG/ZERFALL DES J/ IN MARK I Eigenschaften des J/ψ: - koppelt direkt an das Photon J PC =1 -- l=0, S=1 -Meson - Ladung c-Quark: +2/3 aus der Stufe 3x(2/3) 2 in R - Warum ist Zerfallsbreite so klein ?

63 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II Eigenschaften des J/ und Charmonium - Charmquantenzahl in starker WW erhalten - J/ψ fast reiner -Zustand (kein u, d, s Anteil) - Direkter Zerfall in Charm-Mesonen (D) nicht erlaubt da m(J/ ) < 2* m(D)! - Zerfall in andere Hadronen unterdrückt, da: 1 Photon: erlaubt, aber klein da e.m. WW 1 Gluon: verboten (Farbe) 2 Gluonen: verboten, da C(J/ψ)=-1 C(2g)=+1, 3 Gluonen: erlaubt, aber ~ S 3 (m c 2 ) unterdrückt Hadronischer Zerfall nur via 3 Gluonen unterdrückt ~ S 3 (m c 2 ) große Lebensdauer In e + e - wurde eine Anzahl weiterer -Anregung- zustände gefunden mit denen das -Potential untersucht werden konnte: - außer den J PC =1 -- -Zuständen, wurden in am SLAC und am DESY auch die Zustände mit J=0, 1, 2, C=+ und P=+ genau vermessen

64 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II CRYSTAL BALL-DETEKTOR (SLAC/DESY)

65 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II Charmonium-Spektroskopie Photonspektrum vom ψ(3686)-Zerfall [P.Partridge et al., PRL 45 (1980)1150] – f 0 =0.9 GeV/fm 15t! – f 0 -Term keine freien Quarks, Masse Hadronen vor allem Bindungse. – Coulomb-Term: 1-Gluon-Austausch! - Charmoniumspektrum ähnlich zum Positroniumspektrum (wegen hoher Quark-Masse nicht-relativistisch!) - Aufspaltung des 1S-Niveaus durch Spin- Spin-WW: e + e -, 0.03 für (Nomenklatur: N =N+1 !) - Aus Termschema Potential (durch iteratives Lösen der nicht-relativist. stationären Schrödingergleichung:

66 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II Potential der starken WW Potential der starken WW: - In letzter Zeit Berechnung im Rahmen der Gittereichtheorie auf GFlops Rechner - Bisher noch kein direkter Beweis des Confinements

67 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II UND BOTTONIUM 1977: L. Ledermann et al. am FNAL entdeckt in pCu + - +X eine Resonanz bei m ~ 3460 MeV mit ebenfalls sehr schmaler Breit von ca. 50 keV. Neues Bauteilchen bottom – das 5. Quark! Die Spektroskopie des (gebundener bb-Zustand) vor allem am DESY (ARGUS bei DORIS 1978) dem Charmonium vergleichbares Termschema zusätzliche Information zur Bestimmungen des QCD-Potentials! Entdeckung in p-Cu WW. -Zustände in e + e - WW.

68 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II68 Darstellung reduzibel wenn durch Transformation M blockweise diagonalisiert werden kann: Jedes (i) ist auch eine Darstellung der Gruppe! - Irreduzible Darstellung: wenn die (i) nicht weiter reduzierbar. Beispiel: Gruppe S 3 : Darstellung ist reduzibel: - (x+y+z) bleibt invariant Wahl neuer Achsen X,Y,Z, Z Ebene (x+y+z=const) Z invariant - neue Trafo-Matrizen - Darstellungen der Drehgruppe: z.B. Dimension 2 Pauli-Matrizen Multipletts mit Drehimpuls J=1/2) GRUPPENTHEORIE Symmetrieprinzip: Invarianz eines physikalischen Systems unter Transformationen (z.B. Translation). - Menge der möglichen Transformationen: Gruppe Gruppe Menge G der Elementen R i verknüpft mit Operation * wenn gilt: – Abgeschlossenheit: R i, R j G R i *R j G – Existenz des 1-Elements: R i *1 = R i – Existenz des Inversen: R*R -1 = 1 – Assoziativität: R i *(R j *R k ) = (R i *R j )*R k. - Gruppe heisst nicht-abelsch, falls: R i *R j R j *R i. - Diskrete Gruppen: z.B. Gruppe der Permutationen dreier Objekte S 3 mit 6 Elementen. - Kontinuierliche (Lie-)Gruppe: abzählbar unendliche Zahl von Elementen, die von d Parametern ab- hängen (d=Ordnung der Gruppe). z.B. räumliche Rotation mit d=3 Parametern (3 Euler-Winkel) - Darstellung einer Gruppe: Wenn es eine isomorphe Abbildung zwischen den Gruppenelementen R i und einer Menge von n n-Matrizen gibt mit (R 1 ) (R 2 )= (R 1 R 2 ) dann Gruppe der Matrizen Darstellung der Gruppe (mit Dimension = n) (z.B. 3dim-Drehgruppe ist isomorph zur Gruppe SO(3) orthonormaler 3 3-Matrizen mit det=1) Zerlegung 3=2 1

69 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II69 J z nennt man den Generator der Drehung. Viele infinitesimale Drehungen hintereinander: … und ebenso für die x,y-Achsen. Dabei gilt die Lie- Algebra: Anmerkungen: - die Lie-Algebra beschreibt die Struktur der Gruppe. - die klm sind die Strukturkonstanten der Gruppe; sie alleine legen die physikalischen Konsequenzen fest! - Dimensionen der Matrizen J hängen vom physikalischen System ab: e.g. Spin-1/2 n=2. - im Falle der Dimension n gibt es n 2 -1 Generatoren. - Generatoren sind hermitisch mit Spur=0. - jeder diagonalisierbarer Generator additive Quantenzahl. - Multiplett: Invarianter Vektorraum entarteter Eigen- funktionen einer Symmetriegruppe. - Anzahl gleichzeitig diagonalisierbarer Generatoren: Rang r r unabhängige (Casimir-)Operatoren mit gleichen Eigenwerten für alle Multiplett-Zustände BEISPIEL: RAUMDREHUNG FÜR SKALAR U sei die Transformation, die eine Drehung R des Systems z.B. um Achse z bewirkt (Gruppe SO(3)): infinitesimale Drehung : Damit ergibt sich: y x x y (x,y),(x,y) Drehung um Winkel Drehung R des phys. Systems entspricht Drehung R -1 des Koordinatensystems. Unitär: U -1 =U + (herm.konjugiert) … U(n) Speziell: unitär mit det=1 … SU(n) Orthogonal: reelle unitär; SO speziell unitär … e.g. SO(3)

70 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II70 Auf/Absteige-(Schiebe-)Operatoren Anwendung auf andere als Isospin-1/2-Systeme: – Isospin-0: |0,0>, I 3 =I + =I - =0 trivial – Isospin-1: |1,-1> |1,0> |1,1> Anwendung auf Systeme wie + 0 -, + 0 -, etc. ( Übungsaufgabe) Kombination von Darstellungen (Teilchen): bisher nur ein Teilchen betrachtet – Systeme mit mehrerer Teilchen Rückgriff auf Addition von Drehimpulsen aus der Quantenmechanik: Teilchen 1 und 2 mit Drehimpulsen J 1, J 2 und dritten Komponenten m 1, m 2 : Clebsch-Gordan Koeffizienten geben an, wie sich Zustand |J M> aus |J 1 m 1 > und |J 2 m 2 > zusammen setzt: INNERE SYMMETRIEN, SU(2)-ISOSPIN Bis jetzt räumliche Drehungen; jetzt innere Symmetrien: Symmetrie bzgl. eines abstrakten Raumes, von dessen Koordinaten die Wellenfunktion nicht explizit abhängt. Beispiele: - SU(2)-Isospin (Heisenberg, entspricht Flavour-SU(2)): - SU(2) schwacher Isospin: Dubletts/ Tripletts: -SU(3)-Flavour: - SU(3)-Colour: SU(2)-Isospin: Von Heisenberg 1932 zur Beschreibung von n,p in einer Darstellung entwickelt: Generatoren sind hier die Pauli- Spin-Matrizen J i I i =1/2 i ; es gilt z.B.:

71 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II CLEBSCH-GORDAN-KOEFFIZIENTEN - Elemente einer unitären Matrix des Rangs (2J 1 +1)(2J 2 +1). - Explizit berechenbar; tabelliert.

72 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II72 Addition zweier Spin-1/2-Teilchen: Also: |1,1>=1 |m 1 =+1/2,m 2 =+1/2> |1,0>=1/2 |m 1 =+1/2,m 2 =-1/2> + 1/2 |m 1 =-1/2,m 2 =+1/2> |1,-1>=1 |m 1 =-1/2,m 2 =-1/2> |0,0>= 1/2 |m 1 =+1/2,m 2 =-1/2> - 1/2 |m 1 =-1/2,m 2 =+1/2> Es ergeben sich also aus der Kombination von 2 Dubletts 4 Zustände, drei in einem Triplett und einer in einem Singlett. Symbolisch: CLEBSCH-GORDON-K.: ANWENDUNG Anwendung auf Isospin I und die Kombination von n,p zu N-N-Systemen (so wie Spin): Erweitere Definition der Auf/Absteige-Operatoren etc. für Kombinationen von Teilchen, z.B.: Erster Summand wirkt nur auf erstes Teilchen etc. Erweiterung auf Antiteilchen: Anwendung auf u,d-Quarks analog zu n, p. Daher gleich der komplexere Fall SU(3)-Flavour: u,d,s! m 1, m 2 J 1 J 2 JmJm --Zeichen, weil Ladungskonjugation und Isospin- Rotation nicht unabhängig von einander!

73 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II73 Erweiterung auf SU(3)-Flavour: Hier sind die Generatoren die 8 Gell-Mann-Matrizen, die auf die Flavour-Tripletts (u,d,s) wirken: Formal betrachtet man hier Drehungen im Flavour-Raum mit 8 Winkeln (Parametern) i ( Ordnung d=8). – Es gibt 2 Casimir-Operatoren (Rang 2), z.B.: – 3, 8 sind diagonal 2 additive Quantenzahlen, Eigenwerte von: SU(3)-FLAVOUR Gell-Mann-Nishijima: (Y=A+S) Schiebeoperatoren, die u in d transformieren und den Isospin abfragen: Es gilt: Strangeness-Operator: Man kann auch Schiebeoperatoren u s und s d definieren (mithilfe der Matrizen ), z.B.: Mit all dem und den Antitripletts/Anti-Generatoren (Umkehrung aller additiven Quantenzahlen) … Werkzeug, um Quark-Antiquark-Systeme zu bauen. (Wie bei SU(3)-Colour) Isospin Hyperladung A…Barionenzahl (häufig auch B)l

74 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II74 Darstellungsdiagramme erlauben eine leichte Übersicht der erreichbaren Kombinationen: Z.B. Kombination von Triplett mit Antitriplett (Vektoraddition): Ja nach Spinzustand ergeben sich Pseudoskalare Mesonen (J P =0 - ) oder Vektormesonen (1 - ): DARSTELLUNGS-DIAGRAMME Anwendung von Schiebeoperatoren zeigt: (Erinnerung SU(2): ) Die Mesonen gliedern sich also in ein Oktett und ein Singlett (gebildet durch das -Teilchen). Die pseudoskalaren Teilchen gut bekannt. Von den drei I 3 =S=0-Zuständen gehören 2 zum Oktett, eins zum Singlett; Experimentell findet man Mischungen: Analog ist Aufbau der Barionen. Es zeigt sich: Struktur erklärbar durch Forderung, dass gesamte Wellenfunktion (Raum, Spin, Flavour, Farbe) antisymmetrisch unter der Vertauschung identischer Teilchen sein muss. - Ortswellenfunktion im Grundzustand symmetrisch. - Spin: 3 Spin-1/2 ergeben Spin 3/2 oder ½; WF kann (anti)symmetrisch sein. 3/2 ist symmetrisch. - Flavour: Je nach Multiplett verschiedene Symmetrie. Anmerkung: Unter Einschluss von c,b wird es viel komplexer!

75 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II75 Gruppentheorie: - Idee: Systeme oft invariant unter Transformationen (Rotation). Ähnliche Trafos bilden Gruppen (SO(3)). - Anwendung auf innere Symmetrien: Gruppiere Trafos in Räumen von Quantenzahlen (Isospin, Farbe) in Gruppen. - Darstellung: Matrixrepräsentation der Trafo. Je nach betrachtetem Objekt gibt es verschiedene Darstellungen (mit verschiedenen Dimensionen): z.B. - Isospin-1: |1,-1> |1,0> |1,1> 3 3-Matrizen - Isospin-1/2: |1/2,+1/2>, |1/2,-1/2> Pauli-M. - Reduzibel (blockweise Daigonalisierung der Darstellung): Beispiel: 2 Spin-1/2-Teilchen: Statt 4-dim.Matrix für Trafo so, dass 3-dim+1-dim Matrix! (Kombination von Drehimpulsen, Clebsch-Gordan-K.!) - Alle Zustände eines Multipletts haben das gleiche Transformationsverhalten (Symmetrie) und sind entartet r Quantenzahlen der Casimir-Operatoren. WIEDERHOLUNG Entdeckung schwerer Quarks (c,b) in den 1970ern in den J/ - und -Mesonen (cc, bb): Quarkonium-Spektroskopie (analog Positronium): Interessant: schmale Breite der cc/bb-Mesonen von <100keV. Grund: einfachster QCD-Zerfall ~ S 3 ! QCD-Potential: Hohe n grosse r Confinement

76 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II76 Addition zweier Spin-1/2-Teilchen: Also: Es ergeben sich also aus der Kombination von 2 Dubletts 4 Zustände, drei in einem Triplett und einer in einem Singlett. Symbolisch: Innerhalb jedes Multipletts gleiches Transformationsverhalten (Symmetrie bzgl. Teilchenvertauschung) und Entartung bzgl. J! CGK: BEISPIEL, ANWENDUNG Anwendung auf Isospin I und die Kombination von n,p zu N-N-Systemen (Analogie zum QM-Spin): Erweitere Definition der Auf/Absteige-Operatoren etc. für Kombinationen von Teilchen, z.B.: Erster Summand wirkt nur auf erstes Teilchen etc. Erweiterung auf Antiteilchen: Anwendung auf u,d-Quarks statt n,p trivial. Daher gleich der komplexere Fall SU(3)-Flavour: u,d,s! m 1 m 2 J 1 J 2 JmJm --Zeichen, weil Ladungskonjugation und Isospin-Rotation nicht unabhängig voneinadner!

77 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II77 Erweiterung auf SU(3)-Flavour: Hier sind die Generatoren die 8 Gell-Mann-Matrizen, die auf die Flavour-Tripletts (u,d,s) wirken: Formal betrachtet man hier Drehungen im Flavour-Raum mit 8 Winkeln (Parametern) i ( Ordnung d=8). – Es gibt 2 Casimir-Operatoren (Rang 2), z.B.: – 3, 8 sind diagonal 2 additive Quantenzahlen, Eigenwerte von: SU(3)-FLAVOUR Gell-Mann-Nishijima: (Y=B+S, Baryonzahl B, Strangeness S) Schiebeoperatoren, die u in d transformieren und den Isospin abfragen: Es gilt: Strangeness-Operator: Man kann auch Schiebeoperatoren u s und s d definieren (mithilfe der Matrizen ), z.B.: Mit all dem und den Antitripletts/Anti-Generatoren (Umkehrung aller additiven Quantenzahlen) … Werkzeug, um Quark-Antiquark-Systeme zu bauen. (Gleiches Werkzeug wie im Fallen von SU(3)-Colour) Isospin Hyperladung

78 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II78 Darstellungsdiagramme erlauben leichte Übersicht der erreichbaren Kombinationen: Z.B. Kombination von Triplett mit Antitriplett (Vektoraddition): Je nach Spinzustand ergeben sich Pseudoskalare Mesonen (J P =0 - ) oder Vektormesonen (1 - ): Anwendung von Schiebeoperatoren zeigt: DARSTELLUNGS-DIAGRAMME Produktvektorraum der Mesonen gliedert sich also in 2 Teilräume: ein Oktett und ein Singlett (gebildet durch das -Teilchen). Die Teilchen auf dem Rand der Pseudoskalare sind gut bekannt. Von den drei I 3 =S=0-Zuständen fallen 2 ins Oktett, eins ins Singlett; sie sind Mischungen: Der Mischungscharakter wird experimentell bestimmt; nicht theoretisch vorhersagbar/verstanden. Analog kann man Baryonen aus drei Quarks u,d,s konstruieren. Es zeigt sich: - Dekuplett ( ) total symmetrisch in Quark-Flavour, Spins alle parallel (J=3/2). - Oktetts (mit p,n): Symmetrisch bzgl. Vertauschung zweier Quarks inklusive Spins; keine def. Symmetrie bei Betrachtung der von Flavour/Spin alleine. Pseudoskalar Vektor

79 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II79 Übersicht aller Baryonen mit u,d,s,c: DARSTELLUNGS-DIAGRAMME Charm-Mesonen: c=0 Quelle: Particle Data Group (http://pdg.lbl.gov)

80 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II80 Massen der Mesonen: Empirische Formel unter Verwendung der (effektiven) Quarkmassen und einer Spin-Spin-WW: Formel passt auf Niveau weniger Prozent (Warum?) für: - m u =m d =0.310GeV - ms=0.483GeV - A=0.0615GeV 2. Mit dieser Formel werden also effektive Quarkmassen bestimmt – aber unterschiedliche Werte von Mesonen und Baryonen! Baryonen (Fermionen!) sind komplizierter: 3 Spins, evtl. identische Teilchen Pauli: (1,2)=– (2,1)! Aus dem Symmetrieverhalten der Baryon kamen die ersten Hinweise auf den Farb-Freiheitsgrad: ++, - ! - Raumanteil der WF im Grundzustand symmetrisch. - bei ++ mit Spin-3/2 Spins parallel symmetrisch - ++ ist uuu symmetrisch im Flavour Weiterer Freiheitsgrad notwendig, um antisymmetrische WF zu erhalten! Symmetriebetrachtungen (z.B. Verbot von J PC =1 -- bei qq-Mesonen) haben wesentlich zur Akzeptanz des Quarkmodells beigetragen ANMERKUNGEN Im Quarkmodells lassen sich auch magnetische Momente der Hadronen gut beschreiben. Glueballs: QCD sagt Mesonen aus Gluonen voraus – allerdings bisher kein Teilchen eindeutig identifiziert (Kandidaten sind z.B. f 0 (1370) etc. Weitere Zustände wie qqqq oder qqqqqq wurden auch vorhergesagt, ebenso Pentaquarks qqqqq – Situation unentschieden. PDG fasst auf 317 (!) Seiten Eigenschaften der bekannten Mesonen (Baryonen: 134) zusammen; aktives Feld der Forschung an dezidierten Niedrigenergie-Experimenten, aber auch bei Collidern (LEP, HERA).


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