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Mitglied der Stationäre und instationäre Simulation Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik im Forschungsverbund Berlin e.V., Mohrenstraße.

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Präsentation zum Thema: "Mitglied der Stationäre und instationäre Simulation Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik im Forschungsverbund Berlin e.V., Mohrenstraße."—  Präsentation transkript:

1 Mitglied der Stationäre und instationäre Simulation Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik im Forschungsverbund Berlin e.V., Mohrenstraße 39, Berlin Peter Philip SiC und GaN – Materialien für Leistungs- und Optoelektonik Cottbus, September, 2001 WE-HERAEUS-FERIENKURS

2 Übersicht Allgemeine Gundlagen der Simulation Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Anwendungsbeispiel: SiC Gasphasenzüchtung Mitglied der Arbeitsschritte bei der Entwicklung einer Simulation an Hand der SiC Gasphasenzüchtung Gegenüberstellung: Stationäre Simulation / zeitabhängige Simulation Darstellungen von Simulationsergeb- nissen: Diagramme, Bilder, Filme

3 Simulation: Allgemeine Grundlagen Physikalische Pozesse werden am Computer nachgestellt Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Voraussetzungen: · physikalische Modellbildung · Bestimmung von Materialdaten durch Messung oder Berechnung · numerische Verfahren zur Lösung der physikalischen Gleichungen · Software zur Umsetzung am Rechner · Experimentelle Verifikation

4 Simulation: Allgemeine Grundlagen Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Ziele der Simulation: · Theoretisches Verständnis des Prozessablaufs · Beobachtung und Untersuchung experimentell unzugänglicher Vorgänge · Optimierung der Bedingungen für den Prozessablauf · Ersetzen von physikalischen durch numerische Experimente (Kosten- und Zeitersparnis ! )

5 Anwendungsbeispiel: SiC-Gasphasenzüchtung nach der Modifizierten Lely Methode polykristallines SiC-Pulver verdampft in induktions- beheiztem Graphittiegel bei 2000 bis 3000 K und ca. 20 hPa eine Gasmischung aus Ar (Inertgas), Si, SiC 2 und Si 2 C entsteht Wachstum eines SiC-Einkristalls auf einem gekühlten Keim Sackloch zur Kühlung und Messung SiC-Pulver SiC Ein- kristall- keim Gasgemisch Graphit- tiegel Induktions- spule Schema des Reaktors Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der

6 Produktionsziele Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Bei der Züchtung Vermeidung von Kristalldefekten wie z. B. · Wachstum falscher Polytypen · Leerstellen · Versetzungen · Verunreinigungen (z. B. S, B und metallische Elemente) · Micropipes (röhrenartige Hohlräume im μm-Bereich)

7 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der 6H-SiC Kristall gezüchtet am IKZ, 1 inch Durchmesser Produktionsziele Vergrößerung des Durchmessers (zur Zeit 2.5 – 10 cm laut CREE) Erhöhung der Wachstumsrate von zur Zeit 0.2 – 4

8 Prozesssteuerung Temperaturverteilung Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Interne Steuergrößen Massentransport Druckverteilung in der Gasmischung Konzentrationsverteilung der Gaskomponenten · Temperaturdifferenz zwischen Keim und Quelle · Temperatur am Keim

9 Prozesssteuerung Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Externe Steuergrößen ( zur Beeinflussung der internen Steuergrößen ) Geometrie der Züchtungsapparatur Leistung der Induktionsheizung Druck des Inertgases Position der Heizungsspule

10 Schwierigkeiten, die Simulation erfordern Durch die hohen Temperaturen sind experimentelle Beobachtungen der Züchtungskammer extrem aufwendig Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Die Zusammenhänge zwischen den externen und den internen Steuer- größen sind äußerst kompliziert Mitglied der Ein Verständnis der zeitlichen Entwick- lung des Temperatur- und Druckfeldes sowie der Stöchiometrie ist wichtig => stationäre und zeitabhängige Simulationen

11 Gegenüberstellung: Stationäre Simulation / zeitabhängige Simulation Stationäre (oder zeitunabhängige) Simulation Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Zeitabhängige (oder transiente) Simulation Quasistationäre Simulation

12 Gesucht wird ein zeitunabhängiger Gleichgewichtszustand des Systems Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Stationäre Simulation Physikalische Gleichungen (oft in Form partieller Differentialgleichungen mit Kopplungs- und Randbedingungen, ohne Zeitableitung) beschreiben die räumliche Verteilung der system- bestimmenden Größen

13 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Stationäre Simulation Vor- und Nachteile Vorteil: · die Berechnung der stationären Lösung erfordert in der Regel eine um Größen- ordnungen geringere Computerzeit als die des entsprechenden zeitabhängigen Problems Nachteile: · nicht in jedem Fall existiert ein Gleichgewicht -> Poblem nicht lösbar · es können mehrere Gleichgewichtszustände existieren -> mehrdeutige Lösung des Problems · zeitliche Entwicklung zum Gleichgewicht bleibt unbekannt · oft ist das stationäre Problem numerisch schwieriger · zeitabhängige Randbedingungen und/oder Steuerung ist nicht behandelbar

14 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Stationäre Simulation Beispiel: Stationäre Wärmeleitung

15 Die zeitliche Entwicklung des Systems aus einem Anfangszustand wird simuliert Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Transiente Simulation Physikalische Gleichungen (oft in Form partieller Differentialgleichungen mit Kopplungs- und Randbedingungen, mit Zeitableitung) beschreiben die zeitlich-räumliche Abhängigkeit der systembestimmenden Größen In Abhängigkeit des physikalischen Systems ergibt sich eine Konvergenz gegen ein Gleichgewicht oder auch nicht

16 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Vor- und Nachteile Nachteile: · lange Rechenzeiten des Computers Vorteile: · die zeitliche Entwicklung kann verfolgt werden · oft ist das zeitabhängige Problem bei gegebenem Anfangszustand eindeutig lösbar, auch wenn das System mehrere oder keinen Gleich- gewichtszustand besitzt · es werden zusätzliche Informationen zur Bestimmung und Berechnung der zeitab- hängigen Terme benötigt (z. B. Materialdaten) · zeitliche Steuerung simulierbar Transiente Simulation

17 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Transiente Simulation Beispiel: Transiente Wärmeleitung

18 Die zeitliche Entwicklung des Systems wird durch eine Folge stationärer Simulationen approximiert Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Quasistationäre Simulation Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit durch Variation der Voraussetzung: Die zeitliche Entwick- lung des Systems lässt sich durch eine Folge von Gleichgewichtszuständen darstellen · Rechengebiete (z. B. beim Kristallwachstum) · stationären Gleichungen (z. B. durch Anpassung der Materialfunktionen) · Randbedingungen

19 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Vor- und Nachteile Vorteile: · die zeitliche Entwicklung kann näherungsweise verfolgt werden · kurze Rechenzeiten · zeitliche Steuerung näherungsweise simulierbar Quasistationäre Simulation Nachteile: · numerische Schwierigkeiten wie bei stationärer Simulation (Mehrdeutigkeit, Lösbarkeit) · zeitliche Entwicklung zum Gleichgewicht bleibt unbekannt, Steuerung nicht simulierbar · nur bedingte Anwendbarkeit (Existenz von Gleichgewichtszuständen notwendig)

20 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Qusistationäre Simulation Beispiel: Quasistationäre Wärmeleitung

21 Simulation des Temperaturfeldes bei der SiC-Gasphasenzüchtung Physikalische Modellbildung: Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der · Wärmeleitung · Wärmetransport durch Strahlung in Hohlräumen · Induktionsheizung

22 Simulation des Temperaturfeldes Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Modellbildung: Wärmeleitung SiC-Pulver SiC Ein- kristall- keim Gasgemisch Graphit- tiegel Im Gas: Dichte der Gasmischung, innere Engergie, Wärmeleitfähigkeit der Mischung Molekulargewicht Konfigurationszahl allgemeine Gaskonstante für einatomige Moleküle, für zweiatomige Moleküle, für mehratomige Moleküle.

23 Simulation des Temperaturfeldes Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Modellbildung: Wärmeleitung SiC Ein- kristall- keim Gasgemisch Graphit- tiegel Übergang Gas/Festkörper: J: Einstrahlung R: Abstrahlung In den Festkörpern (Graphit, Kristall, Pulver,...): f: Wärmequellen durch Induktionsheizung in Leitern

24 Simulation des Temperaturfeldes Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Übergang Gas/Festkörper: Graphit- tiegel Hohlraum Modellbildung: Wärmestrahlung in Hohlräumen (Festkörper undurchsichtig) SiC Ein- kristall- keim R: AbstrahlungJ: Einstrahlung E: emittierte Strahlung : Emissivität

25 Simulation des Temperaturfeldes Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Graphit- tiegel semitransparenter SiC Einkristall Hohlraum Modellbildung: Semitransparenz im Bandmodell · Zerlegung des Spektrums in ein transmitives Band und ein reflektives Band · Die Beiträge der beiden Bänder werden ähnlich wie zuvor (im undurchsichtigen Fall) bestimmt und aufaddiert · Strahlung aus wechsel- wirkt nicht mit dem Kristal · Strahlung aus wird an der Kristalloberfläche emitiert, absorbiert und reflektiert SiC-Pulver

26 Simulation des Temperaturfeldes Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Modellbildung: Abstrahlung SiC-Pulver SiC Ein- kristall- keim Gasgemisch Graphit- tiegel Abstrahlungsbedingung des Tiegels gegenüber eines großen isothermen Raumes als äußere Rand- bedingung nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz:

27 Simulation des Temperaturfeldes Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Voraussetzungen: Sinusförmiger Wechselstrom, Zylindersymmetrie Modellbildung: Induktionsheizung SiC-Pulver SiC Ein- kristall- keim Gasgemisch Graphit- tiegel Induktions- spule · induzierte Wärmequellen:

28 Simulation des Temperaturfeldes Gründe für die Simulation der Aufheizphase : Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der · Kristalldefekte wie das Wachstum falscher Polytypen oder die Bildung von Micropipes können bereits während der Aufheizphase erfolgen Transiente Simulation der Aufheizphase · Simulation der zeitabhängigen Steuerung von Heizleistung, Spulenposition und Argondruck · thermische Spannungen im Kristall während der Aufheizphase können Defekte verursachen

29 Simulation des Temperaturfeldes Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der · Messung benötigter Daten (z. B. Wärmeleit- fähigkeit von Argon in Abhängigkeit der Temperatur) Bestimmung von Materialdaten: Allgemein · Theoretische Herleitung funktionaler Zusam- menhänge · Anfitten von Funktionen an die gemessenen Daten (Fälle: a) theoretische Funktion stimmt mit Messdaten überein, b) Parameter der theoretischen Funktion lassen sich aus den Messdaten bestimmen, c) kein theoretischer Zusammenhang bekannt -> Fit stückweise linear, durch Splines,...) · Extrapolation in der Messung unzugängliche Bereiche

30 Simulation des Temperaturfeldes Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der · Experimentelle Bestimmung der Daten nicht möglich oder zu aufwendig Bestimmung von Materialdaten: Schwierigkeiten · Theoretische funktionale Zusammenhänge sind nicht verfügbar, enthalten unbekannte Parameter oder sind zu kompliziert, um sie numerisch auszuwerten · Instabilität der Daten zwischen verschiedenen Experimenten (z. B. verändern sich die Wär- meleitfähigkeiten des Pulvers und der Wände bei Alterung der SiC-Züchtungsapparatur)

31 Simulation des Temperaturfeldes Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Bestimmung von Materialdaten: Beispiel: Wärmeleitfähigkeit von Ar Gemessene Daten (Vargafik, 75): Stoßtheorie: Fit: Zwischen 500 K und 600 K differenzierbare Interpolation durch Polynom 5. Ordnung

32 Simulation des Temperaturfeldes Beispiel: Finite Volumendiskretisierung der Wärmeleitgleichung Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Numerische Verfahren Zerlegung des Gebietes : Integration über : 5 Gaußscher Integralsatz: 1

33 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Simulation des Temperaturfeldes Numerische Verfahren Beispiel: Finite Volumendiskretisierung der Wärmeleitgleichung Gebiet Nullflussrandbedingung: Gegebenenfalls Randterme bei anderen Randbedingungen.

34 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Simulation des Temperaturfeldes Numerische Verfahren Beispiel: Finite Volumendiskretisierung der Wärmeleitgleichung Differentialquotient und Quadraturformeln: Gebiet

35 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Simulation des Temperaturfeldes Numerische Verfahren Beispiel: Finite Volumendiskretisierung der Wärmeleitgleichung Lösung des i. A. nichtlinearen Gleichungssystems für die : Interpolation der diskreten Lösung (z. B. linear auf jedem Dreieck). (je eine Gleichung für jedes )

36 Simulation des Temperaturfeldes Beispiel: Zeitliche Diskretisierung der transienten Wärmeleitgleichung Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Numerische Verfahren Die Zeitableitung wird durch einen Differenzenquotienten ersetzt: Folge von Zeitpunkten: Räumliche Diskretisierung z. B. durch finite Volumen wie zuvor. implizit: oder explizit:

37 Simulation des Temperaturfeldes Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der · Implizite zeitliche Diskretisierung, Emissivitäten explizit Transiente Simulation der Aufheizphase: Vorgehensweise · Räumliche Diskretisierung mit finiter Volumen Methode · Quasistationäre Simulation der Induktions- heizung in jedem Zeitschritt, um Änderungen der Spulenpositionen oder temperatur- abhängige Materialdaten berücksichtigen zu können

38 Effizienz Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der · Speichereffizienz Implementation, Erstellung von Computercode · Geschwindigkeitseffizienz Sich widersprechende Anforderungen (z. B. Neuberechnung versus Abspeicherung, oft großer Programmieraufwand für kleine Speicherreduktionen oder Geschwindigkeits- steigerungen). · Laufzeitanalyse zur Feststellung von Bottlenecks · Programmiereffizienz

39 Implementation, Erstellung von Computercode Modularität Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der · Dabei sollten für Funktionen Schnittstellen definiert und dokumentiert werden, möglichst in stabiler Form, so dass sie bei Fortentwick- lung des Programmes unverändert bleiben · Strukturierung des Codes in Moduln, d. h. Gruppen von Funktionen und Variablen, die gemeinsam einer bestimmten Funktionalität dienen (z. B. Lösung linearer Gleichungs- systeme, graphische Ausgabe etc.). · Im Idealfall sollte der Code, so geschriben bzw. dokumentiert sein, dass er nachvollziehbar und verständlich ist Lesbarkeit

40 Simulation des Temperaturfeldes Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der · Gittergenerierung Benötigte Funktionalitäten des Codes Gitterverwaltung · Qualitätskontrolle (stumpfe Winkel etc.) · Informationsverwaltung auf Knoten, Kanten, Flächen (Funktionsauswertungen, Normalen- vektoren, Materialeigenschaften) Löser · Lineare Gleichungssysteme · Nichtlineare Gleichungssysteme Sichtfaktorenbestimmung

41 Simulation des Temperaturfeldes Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der · Materialfunktionen Benötigte Funktionalitäten des Codes Eingabe · Auswahl von Gleichungen, Termen in Gleichungen (z. B. mit / ohne Strahlung) · Ausgabesteuerung (s. u.) Ausgabe · Graphische oder numerische Ausgabe zur Laufzeit · Speicherung numerischer Daten zur Weiter- verarbeitung · Graphische Speicherung (ps, gif,...) · Videoaufzeichnung · Einstellungen zur Laufzeit

42 Simulationssoftware Anforderungen Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der · Einfache Bedienung durch gut dokumentierte Skripten oder GUI · Kontinuität der Funktionalitäten bei Fortent- wicklung des Programms · Nachvollziehbarkeit der implementierten Theorie und Algorithmen, gute Dokumentation (Bereich der Verwendbarkeit, Fehleranalyse) · Robustheit gegenüber Benutzerfehlern

43 Simulation des Temperaturfeldes Durchführung eines Züchtungsexperi- mentes als Benchmark, möglichst genaue Bestimmung der experimentellen Bedingungen: Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der · Aufbau der Apparatur Auswertung und experimentelle Verifikation · Zeitabhängige Messung der Temperatur, z. B. am oberen und unteren Messloch · Daten der verwendeten Materialien · Zeitabhängige Messung der Steuergrößen (Heizspannung oder Leistung, Argondruck)

44 Simulation des Temperaturfeldes Nachfahren des Benchmarkexperimentes in der Simulation Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der · Materialdaten und Steuergrößen werden möglichst genau übernommen Auswertung und experimentelle Verifikation · Ausgabe der Berechneten Temperaturen an den Messlöchern · Vergleich der gemessenen und berechneten Daten, Fehleranalyse · Fehlerquellen der Simulation: Materialdaten falsch, Modelle fehlerhaft oder ungenau, Feh- ler und Ungenauigkeiten in der Numerik (z. B. schlechtes Gitter etc.), Programmfehler (Bugs)

45 Simulation des Temperaturfeldes Benutzung der verifizierten Software zur Optimierung des Experimentes Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der · Ermittlung der Zeit, die zum Durchheizen des Quellpulvers benötigt wird Auswertung und experimentelle Verifikation · Geometrieoptimierung für ein die Züchtung begünstigendes Temperaturfeld

46 Simulationsergebnisse (Simulation derAufheizphase) Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Annahmen · Zylindersymmetrie von Geometrie und Feldern (insbesondere: Spulenringe) · Keine Konvektion (Gasströmung) · Effektive Spannung der Induktionsheizung: 230 V, Frequenz: Hz, gleichmäßige Aufteilung auf die Ringe · Gas besteht nur aus Argon (stimmt zu Beginn, später Strahlungsdominanz) · Diffus-graue Strahlung (Emissivität hängt nicht von Einfallswinkel und Frequenz ab), Kristall ist semitransparent, sonst sind Festkörper undurchsichtig · Großer Außenraum bei Zimmertemperatur

47 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Benutzte Software Simulationsergebnisse (Simulation derAufheizphase) WIAS-HiTNIHS (sprich: ~nice) · Entwickelt unter Benutzung von pdelib · Verwendet den Gittergenerator triangle und den Matrixlöser pardiso

48 Simulationsergebnisse Evolution der Temperatur am oberen und am unteren Messloch, am Keim sowie an der Oberfläche und in der Mitte des Pulvers Evolution der Temperaturdifferenz zwischen Pulveroberfläche und Keim Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Windun- Graphittiegel Kühlung und gen der Induk- spule tions- Messung Sackloch zur Pulver Keim Iso- Gas tion la- Konfiguration: Pons et al.: Mater. Sci. Eng. B (1999) p

49 Simulationsergebnisse Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Windun- Graphittiegel Kühlung und gen der Induk- spule tions- Messung Sackloch zur Pulver Keim Iso- Gas tion la · Die Temperatur in der Pulvermitte läuft anfangs deutlich nach · Vorzeichenwechsel der Temperaturdifferenz zwischen Quelle und Keim – Temperatur des Pulvers am Ende höher wie für die Züchtung benötigt · Temperaturdifferenz zwischen unterem und oberem Loch hat am Ende das selbe Vorzeichen wie die Temperaturdifferenz Quelle – Keim

50 Peter Philip: Stationäre und instationäre Simulation Mitglied der Simulationsergebnisse TemperaturverteilungenWärmequellen t=900 s t= s Gesamtheizleistung: 5028 W in Apparatur 1681 W in der Spule Gesamtheizleistung: 5285 W in Apparatur 1665 W in der Spule


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