Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester."—  Präsentation transkript:

1 1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester 2005/ Vorlesung Christian Schindelhauer

2 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 06-2 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Überblick: Kontextfreie Sprachen Formale Grammatik –Einführung, Beispiele –Formale Definition –Das Wort-Problem –Chomsky Normalform –Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Kellerautomaten –Formale Definition –Beispiele –Äquivalenz zu kontextfreien Sprachen Nichtkontextfreie Sprachen –Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen

3 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 06-3 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Kapitel IV Kontextfreie Sprachen Kontextfreie Grammatik

4 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 06-4 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Beispiele kontextfreier Grammatiken Kontextfreie Grammatiken sind Wortersetzer –A 0A1 –A B –B # Ersetzungsregeln bestehen aus Produktionen Variablen, Terminalsymbole (Terminale) Startvariable: A –A –0A1 –00A11 –000A111 –000B111 –000# und Schluss Das Wort 000#111 ist ein Wort der Grammatik Ableitungsbaum

5 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 06-5 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Formale Definition einer kontextfreien Grammatik Definition –Eine kontextfreie Grammatik ist ein Vierer-Tupel G=(V,,R,S), wobei V ist die endliche Menge der Variablen (Nichtterminale) ist die endliche Menge der Terminale (Terminalsymbole) V und sind disjunkte Mengen R ist eine endliche Menge an Ersetzungsregeln (Regeln/Produktionen) Jede Regel besteht aus einer Variable und einer Zeichenkette aus Variablen und Terminalen, A w, mit A V, w (V )* S V ist die Startvariable Ableitung –Falls die Regel A w in R ist, dann ist uAv uwv, d.h. uAv kann zu uwv in einem Schritt abgeleitet werden –Wir sagen das u zu v abgeleitet werden kann oder u * v, wenn es ein k 0 gibt mit u u 1 u 2... u k v Sprache der Grammatik G –L(G) = { w * | S * v} Die kontextfreien Sprachen werden durch kontextfreie Grammatiken erzeugt.

6 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 06-6 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Ist ein Wort in der Sprache? Die Entscheidung, ob ein Wort in einer kontextfreien Grammatik abgeleitet werden kann ist nicht trivial: –Mehrdeutige Ableitung –Riesige Worte, die aufgrund der Epsilon-Regeln wieder verschwinden Die Lösungsstrategie: –Chomski-Normalform Jede Grammatik lässt sich (praktisch) ohne Epsilon-Regeln in einer einfachen Form darstellen –Cocke-Younger-Kasami-Algorithms Durch dynamische Programmierung lässt sich die Laufzeit reduzieren

7 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 06-7 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Chomsky-Normalform Definition –Eine kontextfreie Grammatik ist in Chomsky-Normalform, falls jede Regel die Form A BC oder A a oder S hat –wobei A,B,C,S sind Variablen a ist ein Terminal B,C sind nicht das Startsymbol, S ist das Startsymbol. Theorem –Jede kontextfreie Sprache kann in Chomsky-Normalform dargestellt werden. Beispiel –Kontextfreie Grammatik G = ({A,B}, {0,1,#}, R, A} R = {A 0A1, A B, B #} –Grammatik mit gleicher Sprache in Chomski-Normalform G= ({A,B,C,N,E}, {0,1,#}, R, S} R = { S NC, N 0,S #, A NC, C AE, E 1, A # }

8 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 06-8 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Der Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus (CYK-Algorithmus) l = Länge der Teilfolge i = Startindex der Teilfolge j = Schlussindex der Teilfolge

9 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 06-9 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

10 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

11 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

12 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

13 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

14 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

15 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

16 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

17 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

18 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

19 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

20 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

21 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

22 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

23 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

24 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

25 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

26 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

27 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

28 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

29 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex

30 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus Beispiel G = (V, Σ, S, P ), wobei V = {S, A, B, C } und Σ = {a, b}. P = {S AB, S BC, A BA B CC, C AB, A a, B b, C a } l = Länge i = Startindex j = Schlussindex baaba ist in der Sprache

31 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Kapitel IV Kontextfreie Sprachen Keller- automaten

32 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Prinzip des Kellerautomats Push-Down-Automaton (PDA) Ein Kellerautomat vereinigt einen –NFA mit einem –Keller (Stack) Der Keller kann potenziell beliebig viel Zeichen speichern Zugriff ist eingeschränkt: –Pop: Auslesen des obersten Zeichens (inklusive Entfernen) –Push: Hineinlegen eines Zeichens Auf den Übergängen des NFA wird der Zugriff auf den Keller festgelegt –zusätzlich zum aktuellen Zeichen der Eingabe, –die weiterhin von links nach rechts gelesen wird.

33 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automat: Formale Definition Definition –Ein Kellerautomat (pushdown automaton - PDA) wird durch ein Sechser-Tupel (Q,,,,q 0,F), wobei Q,,,F endliche Mengen sind und 1.Q ist die Menge der Zustände 2. ist das Eingabealphabet 3. ist das Kelleralphabet 4. : Q P(Q ) ist die Übergangsfunktion 5.q 0 ist der Startzustand 6.F Q ist die Menge der akzeptierenden Zustände Ein PDA akzeptiert die Eingabe w, –wenn es eine Darstellung w= w 1 w 2...w m mit w i gibt –wenn es eine Zustandsfolge q = r 0 r 2...r m mit s i Q gibt –wenn es Zeichenketten s 0,s 1,..., s m * gibt, so dass 1.r 0 = q 0 und s 0 = Startzustand mit leeren Keller 2.Für i = 0,..., m-1 gilt: (r i+1,b) (r i,w i+1,a), wobei s i = at und s i+1 = bt für passende a,b, t * Übergang mit Kellerverhalten: Lies a, Schreibe b 3.r m F Ein akzeptierender Zustand erscheint als Endzustand

34 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automat: Beispielberechnung Der PDA M = (Q,,,,q 1,F) akzeptiert die Sprache {0 n 1 n | n0} Q = {q 1,q 2,q 3,q 4 } = {0,1} = {0,$} F = {q 1, q 4 } : – (q 1,, ) = {(q 2,$)} q 1 : Push $, Gehe zu q 2 – (q 2, 0, ) = {(q 2,0)} q 2 : Falls Lese = 0: Push 0; Gehe zu q 2 – (q 2, 1, 0) = {(q 3, )} q 2 : Falls Lese=1 und Pop=0 gehe zu q 3 – (q 3, 1,0) = {(q 3, )} q 3 : Falls Lese=1 gehe zu q 3 – (q 3,, $) = {(q 4, )} q 3 : Falls Pop=$ gehe zu q 4 – (q, a) = {}, für alle anderen Kombinationen q Q,a

35 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automat: Beispielberechnung

36 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automat: Beispielberechnung

37 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automat: Beispielberechnung

38 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automat: Beispielberechnung

39 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automat: Beispielberechnung

40 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automat: Beispielberechnung

41 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automat: Beispielberechnung

42 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automat: Beispielberechnung

43 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automat: Beispielberechnung

44 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automat: Beispielberechnung

45 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automat: Beispielberechnung Automat akzeptiert!

46 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Keller-Automaten beschreiben genau die kontextfreien Sprachen Theorem 6.1 –Eine Sprache ist genau dann kontextfrei, wenn ein Kellerautomat sie erkennt Lemma 6.1 –Ist eine Sprache kontextfrei, dann erkennt Sie ein Kellerautomat. Beweisidee –Die Mehrdeutigkeit der kontextfreien Sprache wird durch den Nichtdeterminismus des PDA gelöst –Die Ableitung der Worte steht im Keller –Im Keller werden die möglichen Übergänge der Ableitung geraten –Oben im Keller = Links, Unten im Keller = Rechts. –Sobald oben im Keller ein Terminal steht, wird es mit der Eingabe verglichen und jeweils gestrichen –Sobald oben im Keller eine Variable steht, wird eine mögliche Ersetzung im Keller durchgeführt.

47 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Jede kontextfreie Sprache kann von einem PDA erkannt werden Lemma 6.1 –Ist eine Sprache kontextfrei, dann gibt es einen Kellerautomat für sie. Konstruktion des Kellerautomaten –Wir können davon ausgehen, dass die Sprache als kontextfreie Grammatik G=(V,,R,S) in Chomsky-Normalform vorliegt. –Ist S in der Grammatik so gibt es einen ist der Startzustand des PDA akzeptierend –Zuerst wird der Stack mit den Symbolen $S initialisiert –Sei q der Zustand nach der Initialisierung –Für jede Regel der Form A BC wird ein Übergang von q zu Zustand q[BC] hergestellt, der A vom Keller geholt, von der Eingabe liest und C auf den Keller legt Der Übergang von q[BC] nach q liest von der Eingabe und legt B auf den Keller ablegt. –Für jede Regel der Form A a wird ein Übergang von q zu q anglegt, der von der Eingabe a liest und A vom Keller holt –Eine weitere Regel liest $ vom Keller und geht in den einzigen akzeptierenden Zustand q[akz]

48 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Beispielkonstruktion Grammatik: G=(V,,R,S) mit –V={S,,A,B} – ={a,b,c} R = {S AB, A BB, A a, A c, B b } Beispiel: – SKeller: $SEingabe: cb ABKeller: $BAEingabe: cb cBKeller: $B Eingabe: b cb Keller: $ Eingabe: -

49 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Miniklausur Termin: MORGEN, , (s.t.) Anmeldung:Keine Thema: Reguläre Sprachen Inhalt:4 Aufgaben (je 10 Punkte) Hilfsmittel:Keine - außer Schreibmaterial - Papier wird gestellt Bitte:Pünktlich erscheinen Mit Sicherheitsabstand hinsetzen (möglichst zwei Sitze zum Nachbarn) PunkteverteilungAbschreiben = 0 Punkte Abschreiben lassen = 0 Punkte Unterhalten = 0 Punkte.

50 50 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Heinz Nixdorf Institut & Institut für Informatik Universität Paderborn Fürstenallee Paderborn Tel.: / Fax: / Vielen Dank Ende der 5. Vorlesung Nächste Vorlesung: Mo Nächste Miniklausur:Mi Nächste Zentralübung: Mi


Herunterladen ppt "1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen