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Die Nachhilfestunde Nullstellen ganzrationaler Funktionen

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Präsentation zum Thema: "Die Nachhilfestunde Nullstellen ganzrationaler Funktionen"—  Präsentation transkript:

1 Die Nachhilfestunde Nullstellen ganzrationaler Funktionen
Ein L. spielt den Nachhilfelehrer. Der andere L. spielt den Nachhilfeschüler S: Hallo … L: Hallo …Was ist mit dir los? S: Ach ich habe heute meine Matheklausur wiederbekommen. L: Und? S: `ne 5 und mein Lehrer hat gesagt, wenn ich nicht eine freiwillige Aufgabe übernehme, sieht es ganz schlecht aus. Er hat mir dann eine Aufgabe gegeben, aber ich weiß noch nicht mal wie ich anfangen soll. L: ann zeig doch mal her.

2 Gewinnoptimierung bei der Nikolausproduktion
Nullstellen Nikolausproduktion Gewinnoptimierung bei der Nikolausproduktion Weihnachten steht vor der Tür! Die Firma des Unternehmers Niko Laus will herausfinden, ab welcher Stückzahl ihre Produktion von Schokoweihnachtsmännern gewinnbringend verläuft. Aufgabe vorstellen. L: Was sucht man denn überhaupt? S: Wann der Gewinn positiv wird. L: Also die Nullstellen. Der Gewinn wird durch die folgende Funktion beschrieben:

3 Kurze Wiederholung Nullstellen
Nullstellen nennt man die x-Werte, mit denen der Term den Wert Null ergibt. Bestimme die Nullstellen der folgenden Terme: Term Nullstellen Diese Folie wird im Dialog vorgestellt. x - 1 x – 1 = 0  x = 1 1  x (x – 2) = 0 0 und 2 x² - 2x x² - 2x = 0 -4 und -2 x² + 6x + 8 x² + 6x + 8 = 0

4 Kurze Wiederholung Nullstellen
Berechne nun die Nullstellen der folgenden Terme: Term Gleichung Nullstellen Diese Folie wird im Dialog vorgestellt. Nach dem ersten Term drückt man auf die Glühbirne um den Merksatz zu erhalten (x – 3) (x – 3) = 0 (x – 3)² 3 (x + 2) (x - 2) = 0 -2 und 2 (x + 2) (x –2) (x + 4) (x - 4) = 0 -4 und 4 x² - 16 -2 x² + 4x + 4 (x + 2) (x + 2) = 0

5 Nullstellen Merksatz I Merksatz I Ein Produkt ist immer genau dann gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist!

6 Klar? Nullstellen Berechne die Nullstellen der folgenden Terme: Term
f(x) Gleichung f(x) = 0 Nullstellen -1 x² + 2x + 1 (x + 1) (x + 1) = 0 Dieses AB erhalten die SuS des Plenums und bearbeiten es eigenständig. Dann wird gemeinsam die Lösung besprochen. (x – 7)² (x – 7) (x – 7) = 0 7 x²- 14 x x (x - 14) = 0 0 und 14 x² - 49 (x – 7) (x + 7) = 0 -7 und 7 0 und 4 x³ - 8x² + 16x x (x - 4) (x - 4) = 0

7 Besitzt ein Term eine Nullstelle, so kann ich den Faktor
Nullstellen Merksatz II Merksatz II Besitzt ein Term eine Nullstelle, so kann ich den Faktor (x – Nullstelle) ausklammern und den Term auch schreiben als siehe auch Buch S. 95 Satz 1

8 Und nun was Neues! x³ - 6x² + 11x - 6 Nullstellen
Etwas Neues! Und nun was Neues! Wir suchen die Nullstellen des folgenden Terms: x³ - 6x² + 11x - 6

9 Zunächst ein paar Vorüberlegungen
Nullstellen Vorüberlegungen Zunächst ein paar Vorüberlegungen (x³ – 6 x² + 11 x – 6) hat die Nullstellen: 1, 2 und 3 Also gilt dafür: (x³ – 6 x² + 11 x – 6) = 1 2 3 ( ) ( )( ) x - x - x - : (x - 1) Nach dieser Folie wird die Polynomdivision mit Hilfe einer Folie erläutert. (x³ – 6 x² + 11 x – 6) : (x - 1) = (x – 2 )(x – 3) (x³ – 6 x² + 11 x – 6) : (x - 1) = (x² – 5x + 6)

10 Rückblick Nullstellen Gewinnoptimierung bei der Nikolausproduktion:
Kurze Wiederholung zum Bestimmen von Nullstellen Umformen Ausklammern p-q-Formel Binomische Formeln Nun sollen die SuS die Nikolausaufgabe lösen. Zwei wichtige Merksätze x-Nullstelle Etwas Neues: Die Polynomdivision: Rest (x³ – 6 x² + 11 x – 6) = 2 1 x - x - x - ( ) ( )( ) 3 (x³ – 6 x² + 11 x – 6) : (x - 1) = (x² – 5x + 6) „Das kleine Kind macht es so und wir machen es (fast) genauso!“

11 Welche Lösungsverfahren benutzt man zum Berechnen von Nullstellen?
Die Fragen Welche Lösungsverfahren benutzt man zum Berechnen von Nullstellen? Wofür benötigt man die Polynomdivision? Wie funktioniert die Polynomdivision? Inwiefern kann sie bei der Nikolausproduktion behilflich sein?

12 Wieder- holung Tops Basic 2 1 Nullstellen LS11 Seite 96: A2, 3 a - c
Aufgaben LS11 Seite 96: A2, 3 a - c Wieder- holung LS11 Seite 97: A15, 16 LS11 Seite 97: A13a LS11 Seite 97: A10 a Tops LS11 Seite 97: A8, 12 LS11 Seite 96: A4 a – c und 9 (ohne a) Basic 2 1 Anke Braun, Göde Klöppner 2004, Katrin Kipp, Christian Westphal 2005; Ingrid Kruppa Gerd Podewin 2006, Anke Braun 2007


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