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Copulas und Korrelationsasymmetrien Theorie und empirische Analyse am DAX 30 08. Mai 2008 Jadran Dobrić, Kreditrisiko-Controlling WGZ BANK Gruppe Methoden.

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Präsentation zum Thema: "Copulas und Korrelationsasymmetrien Theorie und empirische Analyse am DAX 30 08. Mai 2008 Jadran Dobrić, Kreditrisiko-Controlling WGZ BANK Gruppe Methoden."—  Präsentation transkript:

1 Copulas und Korrelationsasymmetrien Theorie und empirische Analyse am DAX Mai 2008 Jadran Dobrić, Kreditrisiko-Controlling WGZ BANK Gruppe Methoden

2 © WGZ BANK 2008 Inhalt Einführung in die Copulatheorie Korrelationsmaße und Copulas Lineare Korrelation Spearmansche Rangkorrelation Bedingte Korrelationen Korrelations-Asymmetrietest Empirische Untersuchungen der Abhängigkeiten im DAX 30 Betrachtung der Abhängigkeitsunterschiede zwischen dem Bullen- und Bärenmarkt

3 © WGZ BANK 2008 Empirische DAX 30 Beispiele Tägliche Log-Renditen vom KennzahlenAllianz AGBASF AGMünchner Rück AG Mittelwerte Standardabw Minimum Maximum Schiefe Kurtosis

4 © WGZ BANK 2008 Allianz AG vs. Münchner Rück AG

5 © WGZ BANK 2008 Allianz AG vs. BASF AG

6 © WGZ BANK 2008 Sklars Seperationstheorem (1959) Sklars Seperationstheorem (1959) F X (x 1,…,x d ) C(u 1,…, u d ) F 1 (x 1 ),…, F d (x d ) F X (x 1,…,x d )=C(F 1 (x 1 ),…, F d (x d )) C(u 1,…, u d )=F X (F -1 1 (u 1 ),…, F -1 d (u d )) C(u 1,…, u d ) G 1 (x 1 ),…, G d (x d ) G(x 1,…,x d )

7 © WGZ BANK 2008 Copula Sie ist eine Abbildung C: [0,1] d [0,1], mit: 1. Für jedes u [0,1] d gilt C(u)=0, falls mindestens eine Koordinate von u gleich Null ist. 2. Falls alle Koordinaten, mit Ausnahme von u i, gleich 1 sind, gilt C(u)= u i. 3. Für alle a=(a 1,…,a d ) und b=(b 1,…,b d ) mit a ib i, i=1,…,d, gilt V C ([a, b])0. D.h. eine d-dimensionale Verteilungsfunktion auf [0,1] d mit uniformen univariaten Randverteilungen

8 © WGZ BANK 2008 Ist die Copula C d-mal partiell differenzierbar, so gilt Besitzt F X die Dichte f X, so gilt: Copuladichte

9 © WGZ BANK 2008 Spezielle Copulas Die Unabhängigkeitscopula Die Fréchet-Hoeffding Schranken

10 © WGZ BANK 2008 Bivariate logistische Verteilung

11 © WGZ BANK 2008

12 Neue bivariate Verteilungsfunktion G

13 © WGZ BANK 2008

14

15 Spezielle Copulaklassen Sei φ:[0,1][0,), so dass für i=1,…,d und t [0,), mit φ(1)=0 und φ(0)= gilt, dann ist: eine Archimedische Copula.

16 © WGZ BANK Clayton Copulafamilie 2. Gumbel Copulafamilie

17 © WGZ BANK 2008 Elliptische Copulaklasse 1. Gauss Copula 2. t ν,R -Copula

18 © WGZ BANK 2008 Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

19 © WGZ BANK 2008 Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

20 © WGZ BANK 2008 Korrelationsmaße und Copulas Vorteile : Kompakte Darstellung der Abhängigkeit Leichte Interpretierbarkeit Einfache weiterführende Modelleinbindung Nachteile : Enormer Informationsverlust Bezifferung nur einer Art von Abhängigkeit. Missinterpretationen sind möglich Oft nur globale Korrelationsaussagen In einigen Fällen nicht definiert

21 © WGZ BANK 2008 Linearer Korrelationskoeffizient nach Bravais Pearson ρ BP Anwendbar nur bei metrisch skalierten Daten Benötigt die Existenz der Varianzen |ρ BP | misst die Stärke des linearen Zusammenhangs

22 © WGZ BANK 2008 Nicht Randverteilungsfrei Zulässiger Wertebereich i. A. [-1,1] Nicht invariant bzgl. monotonen Transformationen

23 © WGZ BANK 2008 Bivariate Farlie Gumbel Morgenstern Familie Die FGM Verteilung besitzt die Form (|α|<1): Der lineare Korrelationskoeffizient liegt bei normalen Randverteilungen bei bei exponentiellen Randverteilungen bei und bei uniformen Randverteilungen bei

24 © WGZ BANK 2008 Spearmansche Rangkorrelation Definition: Interpretationen:

25 © WGZ BANK 2008 Spearmansche Korrelation als Distanzmaß

26 © WGZ BANK 2008 Schlußfolgerungen Existent und Randverteilungsfrei Da nur von der Copula bestimmt, robust und Invariant bzgl. wachsenden monotonen Transformationen Mit den meisten Parameter der bivariaten Copulas in Verbindung

27 © WGZ BANK 2008 Einige Schätzfunktionen

28 © WGZ BANK 2008 Asymptotischer Copula-Prozess G C ist ein zentrierter Gauss-Prozess B C ist eine d-dimensionale Brownsche Brücke

29 © WGZ BANK 2008 Asymptotische Normalität der Schätzfunktion 9-fache vierdimensionale Integralauswertung notwendig Aber: Die Bootstrap-Schätzfunktion konvergiert gegen die selbe Zufallsvariable Z !

30 © WGZ BANK 2008 Bedingte Korrelationen Allianz AG vs. BASF AG

31 © WGZ BANK 2008 Die gemeinsame Verteilung von (X,Y) sei mit F und ihre Randverteilungen mit G und H notiert Der untere Eckbereich sei: Die bedingte gemeinsame Verteilungen ist

32 © WGZ BANK 2008 Die bedingten Randverteilungen sind: Sklars Seperationstheorem bzgl. bedingter Verteilungen Definition der bedingten Korrelation nach Spearman:

33 © WGZ BANK 2008 Es gilt: Die bedingte Korrelation ρ L nach Spearman ist die globale Korrelation ρ SP der bedingten Zufallsvariablen. Es gelten somit alle Aussagen bezüglich des globalen Rangkorrelationskoeffizienten und seiner Schätz- funktionen

34 © WGZ BANK 2008 Nichtparametrische Schätzfunktion

35 © WGZ BANK 2008 Asymptotische Normalität der Schätzfunktion Korrelations-Asymmetrietest

36 © WGZ BANK Berechne und aus den Beobachtungen in und 2. Erzeuge jeweils N B Bootstrap-Stichproben aus und und errechne die zugehörigen Schätzer der asymptotischen Varianzen für und, in Notation und, der bedingten Korrelationskoeffizienten nach Spearman 3. Überprüfe die jeweilige Nullhypothese Verwerfe falls Algorithmus:

37 © WGZ BANK 2008 Verwerfe falls und verwerfe falls gilt, mit α>0 als die Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art und Φ als Standardnormalverteilung.

38 © WGZ BANK 2008 Allianz AG vs. BASF AG

39 © WGZ BANK 2008 Variable Schwellenwerte (p=q) Allianz AG vs. BASF AG

40 © WGZ BANK 2008 Variable Schwellenwerte (p=q) Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

41 © WGZ BANK 2008 Teststatistiken (p=q) Allianz AG vs. BASF AG Allianz AG vs. Münch. Re. AG

42 © WGZ BANK 2008 p=q αH 0 : ρ L ρ U vs. H 1 : ρ L > ρ U Gesamt DAX 30 Untersuchung

43 © WGZ BANK 2008 H 0 : ρ L ρ U vs. H 1 : ρ L < ρ U α\p

44 © WGZ BANK 2008 Zeitliche Betrachtung Bullen- vs. Bärenumfeld

45 © WGZ BANK 2008 Literaturhinweise Dobrić, Frahm, Schmid (2008), Dependence of Stock Returns in Bull and Bear Markets, to appear in Computational Statistics & Data Analysis. Nelsen (2006), An Introduction to Copulas, Springer. Embrechts, McNeil und Strautmann (2002), Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls, Cambrige University Press. Juri, Wüthrich (2002), Copula convergence theorems for tail events, Insurance: Mathematics and Economics. McNeil, Frey, Embrechts (2005), Quantitative Risk Management, Princeton University Press.

46 © WGZ BANK 2008 Danke für Ihre Aufmerksamkeit !

47 © WGZ BANK 2008 Backup

48 © WGZ BANK 2008 Monte Carlo – Power Simulationsstudie Gauss Clayton

49 © WGZ BANK 2008 Theoretische- vs. Kerndichte Vergleich


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