Jadran Dobrić, Kreditrisiko-Controlling WGZ BANK Gruppe Methoden

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1 Jadran Dobrić, Kreditrisiko-Controlling WGZ BANK Gruppe Methoden
Copulas und Korrelationsasymmetrien Theorie und empirische Analyse am DAX Mai 2008 Jadran Dobrić, Kreditrisiko-Controlling WGZ BANK Gruppe Methoden

2 Inhalt Einführung in die Copulatheorie Korrelationsmaße und Copulas
Lineare Korrelation Spearman‘sche Rangkorrelation Bedingte Korrelationen Korrelations-Asymmetrietest Empirische Untersuchungen der Abhängigkeiten im DAX 30 Betrachtung der Abhängigkeitsunterschiede zwischen dem Bullen- und Bärenmarkt

3 Empirische DAX 30 Beispiele Tägliche Log-Renditen vom 02. 03. 1992-01
Kennzahlen Allianz AG BASF AG Münchner Rück AG Mittelwerte .00038 .00062 .00064 Standardabw. .01854 .01645 .01905 Minimum -.1568 -.0871 -.1719 Maximum .1380 .1009 .1653 Schiefe -.0772 -.0570 .1212 Kurtosis 5.3732 3.8360 5.2276 2.9979

4 Allianz AG vs. Münchner Rück AG

5 Allianz AG vs. BASF AG

6 Sklar‘s Seperationstheorem (1959)
FX(x1,…,xd)=C(F1(x1),…, Fd(xd)) FX(x1,…,xd) C(u1,…, ud) F1(x1),…, Fd(xd) C(u1,…, ud)=FX(F-11(u1),…, F-1d(ud)) C(u1,…, ud) G1(x1),…, Gd(xd) G(x1,…,xd)

7 Copula Sie ist eine Abbildung C: [0,1]d → [0,1], mit:
Für jedes u [0,1]d gilt C(u)=0, falls mindestens eine Koordinate von u gleich Null ist. Falls alle Koordinaten, mit Ausnahme von ui , gleich 1 sind, gilt C(u)= ui. Für alle a=(a1,…,ad) und b=(b1,…,bd) mit ai≤bi, i=1,…,d, gilt VC([a, b])≥0. → D.h. eine d-dimensionale Verteilungsfunktion auf [0,1]d mit uniformen univariaten Randverteilungen

8 Copuladichte Ist die Copula C d-mal partiell differenzierbar, so gilt
Besitzt FX die Dichte fX , so gilt: →

9 Spezielle Copulas Die Unabhängigkeitscopula
Die Fréchet-Hoeffding Schranken

10 Bivariate logistische Verteilung

11

12 Neue bivariate Verteilungsfunktion G

13

14

15 Spezielle Copulaklassen
Sei φ:[0,1]→[0,∞), so dass für i=1,…,d und t [0,∞), mit φ(1)=0 und φ(0)=∞ gilt, dann ist: eine Archimedische Copula.

16 Clayton Copulafamilie
Gumbel Copulafamilie

17 Elliptische Copulaklasse
Gauss Copula tν,R-Copula

18 Allianz AG vs. Münchner Rück. AG
Bravais Pearson 0.70 Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

19 Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

20 Korrelationsmaße und Copulas
Vorteile : Kompakte Darstellung der Abhängigkeit Leichte Interpretierbarkeit Einfache weiterführende Modelleinbindung Nachteile : Enormer Informationsverlust Bezifferung nur einer Art von Abhängigkeit. Missinterpretationen sind möglich Oft nur globale Korrelationsaussagen In einigen Fällen nicht definiert

21 Linearer Korrelationskoeffizient nach Bravais Pearson ρBP
Anwendbar nur bei metrisch skalierten Daten Benötigt die Existenz der Varianzen |ρBP| misst die Stärke des linearen Zusammenhangs Höffding 1940

22 Nicht Randverteilungsfrei
Zulässiger Wertebereich i. A. [-1,1] Nicht invariant bzgl. monotonen Transformationen Höffding 1940

23 Bivariate Farlie Gumbel Morgenstern Familie
Die FGM Verteilung besitzt die Form (|α|<1): Der lineare Korrelationskoeffizient liegt bei normalen Randverteilungen bei bei exponentiellen Randverteilungen bei und bei uniformen Randverteilungen bei

24 Spearman‘sche Rangkorrelation
Definition: Interpretationen:

25 Spearman‘sche Korrelation als Distanzmaß

26 Schlußfolgerungen Existent und Randverteilungsfrei
Da nur von der Copula bestimmt, robust und Invariant bzgl. wachsenden monotonen Transformationen Mit den meisten Parameter der bivariaten Copulas in Verbindung

27 Einige Schätzfunktionen

28 Asymptotischer Copula-Prozess
GC ist ein zentrierter Gauss-Prozess BC ist eine d-dimensionale Brown‘sche Brücke

29 Asymptotische Normalität der Schätzfunktion
9-fache vierdimensionale Integralauswertung notwendig Aber: Die Bootstrap-Schätzfunktion konvergiert gegen die selbe Zufallsvariable Z !

30 Bedingte Korrelationen
Allianz AG vs. BASF AG

31 Die gemeinsame Verteilung von (X,Y) sei mit F und ihre Randverteilungen mit G und H notiert
Der untere Eckbereich sei: Die bedingte gemeinsame Verteilungen ist

32 Die bedingten Randverteilungen sind:
Sklar‘s Seperationstheorem bzgl. bedingter Verteilungen Definition der bedingten Korrelation nach Spearman:

33 Es gilt: Die bedingte Korrelation ρL nach Spearman ist die globale Korrelation ρSP der bedingten Zufallsvariablen. Es gelten somit alle Aussagen bezüglich des globalen Rangkorrelationskoeffizienten und seiner Schätz-funktionen

34 Nichtparametrische Schätzfunktion

35 Korrelations-Asymmetrietest
Asymptotische Normalität der Schätzfunktion Korrelations-Asymmetrietest

36 Algorithmus: Berechne und aus den Beobachtungen in und
Erzeuge jeweils NB Bootstrap-Stichproben aus und und errechne die zugehörigen Schätzer der asymptotischen Varianzen für und , in Notation und , der bedingten Korrelationskoeffizienten nach Spearman Überprüfe die jeweilige Nullhypothese Verwerfe falls

37 Verwerfe falls und verwerfe falls gilt, mit α>0 als die Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art und Φ als Standardnormalverteilung.

38 Allianz AG vs. BASF AG

39 Variable Schwellenwerte (p=q)
Allianz AG vs. BASF AG

40 Variable Schwellenwerte (p=q)
Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

41 Teststatistiken (p=q)
Allianz AG vs. BASF AG Allianz AG vs. Münch. Re. AG

42 Gesamt DAX 30 Untersuchung
p=q 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 .3609 .3009 .3149 .3387 .3479 .2685 .2409 .2400 .2571 .2749 .1528 .0891 .0829 .0840 .0754 α H0: ρL ≤ ρU vs. H1: ρL > ρU 0.10 55 61 94 136 148 0.05 35 32 67 89 107 0.01 11 4 30 42 50 170 173 196 218 217

43 H0: ρL ≥ ρU vs. H1: ρL < ρU α\p 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 9 7 3 0.05 2 0.01 1 61 58 35 13 14

44 Zeitliche Betrachtung Bullen- vs. Bärenumfeld

45 Literaturhinweise Dobrić, Frahm, Schmid (2008), „Dependence of Stock Returns in Bull and Bear Markets“, to appear in Computational Statistics & Data Analysis. Nelsen (2006), „An Introduction to Copulas“, Springer. Embrechts, McNeil und Strautmann (2002), „Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls“, Cambrige University Press. Juri, Wüthrich (2002), „Copula convergence theorems for tail events“, Insurance: Mathematics and Economics. McNeil, Frey, Embrechts (2005), „Quantitative Risk Management“, Princeton University Press.

46 Danke für Ihre Aufmerksamkeit !

47 Backup

48 Monte Carlo – Power Simulationsstudie
Gauss Clayton

49 Theoretische- vs. Kerndichte Vergleich