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Waves A wave is a disturbance that transfers energy through a medium. Waves are very common in nature: light is a wave, sound is a wave, ocean surf is.

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1 Waves A wave is a disturbance that transfers energy through a medium. Waves are very common in nature: light is a wave, sound is a wave, ocean surf is generated by waves, and even matter has wave-like properties. The "disturbance" can be an alternating electromagnetic field strength (light), a variation in water height (ocean waves), a variation in material density (sound waves), or a distortion of the shape of the ground (seismic waves). If you've felt Earth shake during an earthquake or explosion then you've felt seismic waves. These vibrations travel outward in all directions from their source. Waves generated by large earthquakes can be detected throughout the world and are routinely recorded and analyzed by seismologists.

2 Summe der angreifenden Kräfte

3 2. Gesetz Newtons: Von einem Inertialsystem aus gesehen ist die Netto Kraft die auf einen Körper ausgeübt wird proportional zu der Ableitung seines Impulses nach der Zeit. Die Richtung der Kraft entspricht der Richtung des Impulses des Körpers. Die Summe der an einen Körper Angreifenden Kräfte

4 Bewegungsgleichung (angreifende Spannungen) Summe der angreifenden Kräfte in x Richtung Für die y und z Richtung ergeben sich die Kräfte analog.

5 Bewegungsgleichung (angreifende Deformationen) Durch Umformung bei Einsetzung der Verschiebungen erhalten wir:

6 Durch Annahme der Lameschen Parameter als konstant ergibt sich: Für die y und z Komponente der Bewegungsgleichung ergibt sich analog:

7 Umformungen: 1)Differentiation der u,v, und w Komponenten jeweils nach x, y, und z, sowie Addition der Komponenten ergibt: Dies ist eine Wellengleichung mit Wellengeschwindigkeit:

8 Die damit hergeleitete Wellengleichung beschreibt die Ausbrei- tung einer primären (P-) Welle. Sie beinhaltet keinerlei Rota- tionskomponente:

9 Umformungen: 2) Differentiation der u und v Komponente der ursprünglichen Bewegungsgleichung jeweils nach y und z ergibt:

10 Nach Subtraktion der beiden Komponenten ergibt sich:

11 Analog ergibt sich für die anderen zwei Komponenten: Die Komponenten enthalten die Komponenten der Rotation und wir können kompakt in Vektor-Notation schreiben:

12 Elastic Waves P waves

13 Elastic Waves S waves

14 Einfluss des Material-Verhaltens K= Kompressionsmodul misst die relative Volumenänderung pro Druckänderung μ = Schermodul misst die Verformung pro angreifender Oberflächenkraft ρ = Dichte Beachte: Der Dichte-Einfluss auf die Wellengeschwindigkeit ist nicht offensichtlicht P-Wellen Geschwindigkeit S-Wellen Geschwindigkeit

15 Das Gesetz von Birch (I) Lineare Abhängigkeit der seismischen Geschwindigkeit v von der Dichte ρ des Materials. a, b sind hier Konstanten die empirisch bestimmt werden müssen.

16 Das Gesetz von Birch (II) Laborbestimmung der Dichte-Geschwindigkeits-Relation unter Drücken von (a)0.2 Gpa, (b) 0.6 Gpa, (c) 1.0 GPa. Die Tiefenäquivalente sind 6, 18 und 30 km. 1 Gpa = 10exp9 Pascal = 10exp9 N/m**2 Man beachte, dass 1 Gpa = 10,000 bar = 10 kbar

17 Seismic wave propagation outward from the focus P-wave: Compressional waves, travel fastest through all physical states of media S-wave: Shear waves, travel slower than P-wave, but faster than surface waves, only propagates through solid materials Surface waves: Moving along the Earths surface, travels slowest, but causing most of the damage Earthquakes Seismic Waves

18 Elastic Waves Surface waves Surface waves front expand as a cylindrical surface Body waves front expand as a spherical surface Since the energy is conserved, which one is decaying faster? Body waves decay ~ as inverse of square of distance Surface waves decay ~ as inverse of the distance

19 Dispersion Die Geschwindigkeit der Oberflächenwellen hängt von der Eindringtiefe und der dortigen seismischen Geschwindigkeitsstruktur ab. (Faustregel Tiefe = Wellenlänge/3) (a)Seismogramm einer dispersiven Oberflächenwelle an 5 Beobachtungsorten. (gestrichelte Linie: Ort einer bestimmten Phase, woraus man die Phasen- geschwindigkeit bestimmen kann.) (b) Gruppen und Phasegeschwindigkeit für die nebenstehenden Seismogramme

20 DISPERSION, PHASENGESCHWINDIGKEIT, GRUPPENGESCHWINDIGKEIT Dispersion bezeichnet die frequenzabhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit (c R oder c L ), beziehungsweise der Wellenzahl k: c L =c L (ω), c R =c R (ω), k L =k L (ω), k R =k R (ω). Dispersion führt zu Grüppchenbildung. Diese Grüppchen oder Wellenpakete reisen mit der Gruppengeschwindigkeit c G =(dk/dω) -1.

21 3D-MODELLE DES ERDMANTELS Daten – II. Phasengeschwindigkeiten von Oberflächenwellen Oberflächenwellen (Love-Wellen & Rayleigh-Wellen) breiten sich nahe der Erdoberfläche aus. Die Amplitude von Oberflächenwellen nimmt exponentiell mit der Tiefe ab: A ~ exp(-wz). Je höher die Frequenz w, desto geringer ist die Eindringtiefe der Oberflächenwelle. Je höher die Frequenz w, desto kleiner sind die Strukturen, die Oberflächenwellen sehen. Oberflächenwellen liefern Informationen über Strukturen im oberen Erdmantel, die nicht tiefer als 300 km liegen. Mit zunehmender Tiefe sieht man nur noch großräumige Strukturen. Typischerweise nutzt man Oberflächenwellen mit Perioden von 20 s bis mehreren 100 s. Die Phasengeschwindigkeit von Oberflächenwellen ist frequenzabhängig: v phase =v phase (w). Neben den Phasengeschwindigkeiten für eine gegebene Frequenz w 0 nutzt man auch die Dispersionskurven, also die Frequenzabhängigkeit von v phase. Dispersion, Love-Welle Dispersion, Rayleigh-Welle

22 Dispersions-Kurven der Oberflächenwellen Beachte: Oberflächenwellen breiten sich unter den Ozeanen im Schnitt schneller aus, als unter Kontinenten (Rückschluss auf Untergrund-Struktur).

23 Seismic waves are generated by many different processes: * Earthquakes * Volcanoes * Explosions (especially nuclear bombs) * Wind * Planes (supersonic) * People * Vehicles The range of ground motion amplitudes that are of interest in earthquake studies is very large and seismometers we use are very sensitive. They can detect motions that are much smaller than the thickness of a sheet of paper or as tall as a room. We can detect ground motion in Missouri caused by increased surf activity as a hurricane or large storm system approaches the eastern coast of the lower 48 states.

24 Measuring Earthquakes Marshak, 2005

25 How seismometers work

26 Measuring Earthquakes Marshak, 2005

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28 For inertial observer eq motion: For observer on sismometer: Where I have an apparent force due to ground acceleration –mu The equation of seismometer will be: Where the first term is the force on the mass, the second the forcing of the spring, the third the viscous dumping and the last the ground forcing.

29 The equation is the eq of a dumping pendulum: If I define ea typical frequency: I have the equation of an harmonic oscillator with dumping If u has a frequency much higher than w0 I have (long period instrument) If I have very slow movement respect to w0 I get Acceleromete (short period instrument)

30 Fromhttp://eqseis.geosc.psu.edu/~cammon/HTML/Classes/IntroQuakes/Notes/seismometers.html

31 Modified Mercalli Scale 12 divisions Qualitative severity measurement of damages and ground movement Based on ground observations, instead of instrument measurement Scale depending on earthquakes magnitude, duration, distance from the epicenter, site geological conditions, and conditions of infrastructures (age, building code, etc.) Earthquake Intensity Scale (1)

32 How big is an earthquake? INTENSITY, Modified Mercalli Scale

33 Richter scale: The amplitude of ground motion Increasing one order in magnitude, a tenfold increase in amplitude Moment magnitude scale Measuring the amount of strain energy released Based on the amount of fault displacement Applicable over a wider range of ground motions than Richter scale Earthquake energy: Increase one order in magnitude, about a 32-times increase in energy Earthquake Magnitude Scale (1)

34 Richter Magnitude Both Richter and Wadati found in late 1930 that the difference of amplitude between 2 earthquake is indipendent of the distance (big and small eq decrease in the same way) So the ratio of the maximum amplitude on a reference seismogram give an estimation of the difference of the energy released by the events The magnitude 0 is defined as the amplitude of a reference seismometer (Wood-Anderson) at 100km from the epicenter. (it is dependent on the location so the scale officially is correct only in CA where it was developed, in reality it is possible to make empirical corrections for other locality) Different scales depending the kind of wave used: ML is the original scale for moderate events not too far away in CA the biggest wave was the s. For Bigger events the largest phase was the surface wave so the scale was expanded to use surface waves Ms Deep Earthquake do not create big surface waves so the scale was expanded to use body waves Mb

35 MAGNITUDEN-SKALEN Die Magnitude eines Erdbebens ist die einfachste Art und Weise, grob seine Größe zu klassifizieren. Die grundlegende Annahme ist, dass ein größeres Beben im Mittel größere Amplituden produziert. Dabei gibt es allerdings einige Probleme, da die Amplitude von einer Vielzahl von Parametern abhängt: i) Erdstruktur (Becken, …), ii) Orientierung der Bruchfläche (Strahlungsmuster), iii) zeitliche Entwicklung der Quelle, vi) Tiefe der Quelle, … Und trotzdem wird die Magnitude benutzt, weil das Konzept simpel ist und halbwegs Aussagekraft besitzt. Für die ganzen zusätzlichen Abhängigkeiten der Amplitude führt man Korrekturfaktoren ein.

36 MAGNITUDEN-SKALEN Die allgemeine Form einer Magnitudenskala: M = log(A/T) + f(D,h) + C s + C r A = Amplitude der Phase für die die Magnitudenskala definiert ist, T = dominante Periode f = Korrekturfaktor für Herdtiefe h und Epizentraldistanz D, C s = Korrekturfaktor für die Station, bzw. die Struktur, auf der sie sitzt, C r = Korrekturfaktor für die Quellregion. Um eine möglichst sinnvolle Schätzung der Magnitude zu bekommen, nutzt man eine Vielzahl von Stationen. Heute nutzt man im Wesentlichen 3 Magnitudenskalen: M L (lokale Magnitude), m b (Raumwellenmagnitude), M S (Oberflächenwellenmagnitude), M W (Momenten- Magnitude).

37 MAGNITUDEN-SKALEN Lokale Magnitude (M L ): In den 1930er beobachtete Richter, dass i) log[A(D)] mit zunehmender Epizentraldistanz D abnimmt und ii) die Kurven log[A(D)] für verschiedene kalifornische Beben etwa parallel sind. Auf der Grundlage dieser Beobachtungen definierte er die zunächst nur für Kalifornien gültige Magnitudenskala M L = log (A) – log(D). Dabei ist A die maximale Amplitude in einem regionalen Seismogramm, also typischer Weise die Amplitude der direkten S-Welle. Die Periode T taucht in der Formel nicht auf, da Richters einfache Seismografen (Wood- Anderson-Seismogramme) sowieso immer eine dominante Periode von etwa 0.8 s produzierten. Richter wählte die Konstanten in der Formel so, dass ein Beben mit A=0.001 m in D=100 km, eine Magnitude von M L =0 hat.

38 MAGNITUDEN-SKALEN Raumwellen-Magnitude (m b ): Die lokale Magnitudenskala ist wenig nützlich für die Charakterisierung teleseismischer Beben (nur für bestimmtes Instrument, maximale Verschiebung ist wenig aussagekräftig, …). Daher definiert man eine Magnitudenskala, für die man die Amplitude der direkten P- Welle nutzt: m b = log (A/T) + Q(h,D) Der Korrekturfaktor Q ist abhängig von der Epizentraldistanz D und der Herdtiefe h. Er reflektiert die Tatsache, dass die Amplitude von P-Wellen nicht nur von der Stärke des Erdbebens abhängt. Die P-Wellenamplitude wird zudem sehr stark von Fokussierungseffekten beeinflusst. So ist die Amplitude in der Nähe von Kaustiken zum Beispiel sehr groß, auch wenn das Beben an sich klein gewesen sein kann.

39 MAGNITUDEN-SKALEN Oberflächenwellen-Magnitude (M S ): Ab Epizentraldistanzen von 600 km werden Seismogramme von flachen Beben von langperiodischen Oberflächenwellen dominiert (T etwa 20 s). Somit liegt es nahe, auch Oberflächenwellen zu nutzen, um die Größe eines Bebens zu messen. Man definiert M S durch M S = log (A 20 ) log(D) Dabei ist A 20 die Amplitude der vertikalen Komponente (Rayleigh-Welle) bei einer dominanten Periode von 20 s. Kompatibilität: Für ein und das selbe Beben sind M S und m b in der Regel nicht identisch! In etwa hat man jedoch m b = M s. Die beiden Skalen fallen etwa bei 6.5 zusammen.

40 MAGNITUDEN-SKALEN Das seismische Moment (M 0 ): Die Magnitudenskalen sind an sich nicht sehr physikalisch und von vielen kaum kontrollierbaren Faktoren abhängig. Ein physikalisch sinnvolleres Maß für die Größe eines Erdbebens ist sein seismisches Moment. Generell gilt für die Amplitude A mit m=Schermodul nahe der Bruchfläche, a=Bruchfläche, u=Verschiebung auf der Bruchfläche. Damit definiert man das seismische Moment einfach zu: Das seismische Moment ist schwerer zu bestimmen, aber definitiv sinnvoller, als die Magnitudenskalen. Es ist – im Prinzip – für ein gegebenes Erdbeben eindeutig bestimmt. Basierend auf M 0 definiert man die Momenten-Magnitude M W

41 MAGNITUDEN-SKALEN Sättigung der Magnituden-Skalen (am Beispiel von m b ): Das Spektrum der Raumwellen hängt in ganz charakteristischer Weise von der Größe eines Erdbebens, also seinem seismischen Moment ab. Bis zu einer Eckfrequenz (corner frequency) ist das Spektrum flach, danach fällt es mit w -2 ab. Große Beben generieren also im Mittel niedrigere Frequenzen, als kleine Beben! Zur Bestimmung von m b werden P-Wellen benutzt, bei einer Periode von etwa 1 s. Ab einem bestimmten seismischen Moment generiert jedoch jedes Beben bei T=1 s etwa gleich große direkte P- Wellen. Somit ist m b gesättigt und zur Bestimmung großer Magnituden wenig geeignet. Ein weiterer Grund, aus dem M 0 der Vorzug gelassen werden sollte.

42 Richter Magnitude All the scales saturate for big earthquakes since lot of the energy for those events is released at longer periods while the amplitude magnitude are looking only in the window of the 20 second or shorter. (we have seen that a seismometer is a pendulum so it has a typical frequence at which is more sensitive) So was introduced a scale dependent on the Moment Mw The Moment of an Earthquake is defined Mo= Au Can be measured by observations in the field or observing the amplitude spectra of seismic waves (looking at the frequencies). The Mo is connected to the energy released by an earthquake

43 Zusammenhang der Magnitude von Körper- und Oberflachenwellen M_s und m_b sind zwar verschieden, wie man das aus der unterschiedlichen Definition auch erwarten kann. Allerdings Sind beide proportional zueinander: Die Magnituden sind für Stärken 6.5 Identisch. Für kleinerer Magnituden ist m_b größer als M_s, fuer größerer Magnituden ist dies umgekehrt.

44 How many?

45 Beziehung zwischen Magnitude und Häufigkeit Der Logarithmus der Anzahl von Erdbeben mit einer bestimmten Oberflächen- magnitude Der Logarithmus der Anzahl von Erdbeben mit einem bestimmten seismischem Moment ein großer Wert in b deutet darauf hin, dass große Erdbeben häufiger auftreten als kleinere. Das weltweite Mittel von b ist 1 (und β = 2/3). Kleine b Werte sind die kleiner 1. Kleinere Beben sind häufiger als größere Beben. a = const. b = Maß für die relative Häufigkeit von klei- neren und größeren Erdbeben

46 Die während Erdbeben freigesetzte Energie Verschiebung durch eine harmo- nische ebene Welle Die Kinetische Energie pro Volumeneinheit. Der Maximalwert variiert zwischen 0 und 1/2ρA²ω² während eines Zykluses. Empirische Relation zwischen Magnitude und Energie der seismischen Welle.

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