Logistic Regression Jonathan Harrington Befehle: logistic.txt.

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1 Logistic Regression Jonathan Harrington Befehle: logistic.txt

2 1. Logistic Regression: allgemeine Einführung
Literatur Baayen, R.H. Analyzing Linguistic Data: A practical introduction to Statistics. S D. Cook, P. Dixon, W. M. Duckworth, M.S. Kaiser, K. Koehler, W. Q. Meeker and W. R. Stephenson. Binary Response and Logistic Regression Analysis. Dalgaard, P. (2002) Introductory Statistics with R. Insbesondere Kap. 11 Johnson, Keith (in press). Quantitative Methods in Linguistics. Blackwell. Kapitel 5. Verzani, J. (2005). Using R for Introductory Statistics (Ebook ueber die LMU UB). Kapitel 12

3 1. Logistic Regression: allgemeine Einführung
Mit logistic Regression wird eine Regressionslinie an Proportionen angepasst. Aus verschiedenen Gründen kann jedoch die lineare (least-squares) Regression nicht auf Proportionen angewandt werden. Vor allem liegen Proportionen zwischen 0 und 1 während lineare Regression keine solchen Grenzen kennt (und daher könnte ein lineares Regressionsmodell Proportionen unter 0 oder über 1 vorhersagen). Außerdem wird in der linearen Regression eine konstante Varianz angenommen; jedoch kann bewiesen werden, dass je höher der Proportionsdurchschnitt, umso größer die Varianz.

4 1. Logistic Regression: allgemeine Einführung
Diese (und andere) Probleme können überwunden werden: 1. wenn log-odds statt Proportionen modelliert werden y = mx + b logodds(y) = mx + b Least-squares Regression Logistic Regression 2. Durch Einsetzung von 'maximum likelihood' anstatt 'least squares'. Es wird nicht angenommen, dass die Werte Stichproben aus einer Normalverteilung sind. Ein Vorteil von logistic Regression:

5 In 1950 produzierten 30 Sprecher /lo:st/ und 5 /lɔst/.
Einige Daten lost In 1950 produzierten 30 Sprecher /lo:st/ und 5 /lɔst/. high low jahr = as.numeric(rownames(lost)) jahr = jahr

6 Log-odds p: Proportion 'Erfolg'. p lo:st lɔst n 32 8 40 0.8
(prop. lo:st) (prop. lOst) p q=1-p Odds = p/q Log-Odds = log(p/q) 4 bedeutet 4:1 (wie im Pferderennen). Die Wahrscheinlichkeit vom Erfolg (p) ist 4 Mal so groß wie Scheitern (q) 0.8 0.2 log(4) = 1.39 0.5 1

7 Log-odds Log-odds haben Werte zwischen ±∞
Log-odds also log (p/q) als Funktion von p

8 2. Anwendung der logistic Regression in R: glm()
Das Ziel: nach der Anwendung von logistic Regression geben wir einen beliebigen Jahrgang ein, und das Modell soll uns die Proportion von /lo:st/ vorhersagen. zB Eingabe 1962, Proportion (lo:st) = ? Jahr ist daher in diesem Fall die unabhängige Variable, Proportion von /lo:st/ die abhängige Variable. Mit logistic Regression ist die abhängige Variable immer ein kategorialer Wert von 2 Möglichkeiten: ja oder nein, rot oder grün, 0 oder 1, weiblich oder männlich, wach oder eingeschlafen, /lo:st/ oder /lɔst/, Erfolg oder Scheitern, usw.

9 Ergebnis: ein Log-Odd pro Jahr unabhängige Variable (der Jahrgang)
g = glm(lost ~ jahr, binomial) wird modelliert durch Abhängige Variable Eine 2-spaltige Matrix: Anzahl von 'ja' und 'nein' (hier /lo:st/ und /lOst/) lost high low bedeutet: logistic Regression ('binomial' weil wie in der binomialen Verteilung wir mit 2 Werten (ja/nein, Erfolg/Scheitern zu tun haben).

10 3. Abbildung der Regressionslinie
Da die Ausgabe der Regression in log-odds ist, müssen wir die Proportionen ebenfalls umwandeln, wenn wir die Regressionslinie sehen wollen. Eine Abbildung der Daten in diesem Raum: # Proportion von /lo:st/ berechnen p = lost[,1]/apply(lost, 1, sum) # log-odds lodd = log(p/(1-p)) plot(jahr, lodd, type="b") # Regressionslinie überlagern abline(g, col=2) Die vorhergesagten Werte überlagern text(jahr, predict(g), "x", col=3)

11 Vorhersage: Wert für 1962 neuerwert = data.frame(jahr = 12) ergebnis = predict(g, neuerwert, se.fit=T) ergebnis$fit abline(h=ergebnis$fit, lty=2, col="blue")

12 Abbildung der Regression
Wir können durch die Transformation (2) die Regressionslinie auch in einem Raum von Jahr x Proportionen abbilden. Von Proportionen in log-odds p = 0.8 (1) L = log(p/(1-p)) [1] Von log-odds zurück in Proportionen (2) p = exp(L)/(1+exp(L)) [1] 0.8

13 Abbildung: Jahr x Proportionen
# Proportionen von /lo:st/ berechnen p = lost[,1]/apply(lost, 1, sum) # Abbildung Jahr x Proportionen plot(jahr,p) Die Regression coef(g) (Intercept) jahr k = coef(g)[1] m = coef(g)[2] # Regression überlagern curve(exp(m*x + k)/(1+ exp(m*x+k)), xlim=c(0, 60), add=T, col=2)

14 Abbildung Jahr x Proportionen
und die vorhergesagten Werte liegen wieder auf der Linie: vorher = predict(g) text(jahr, exp(vorher)/(1+exp(vorher)), "x", col=3)

15 Bei F2 = 1437 Hz gab es 4 Urteil für "U", ein Urteil für "I"
4. Anwendung der logistic Regression auf die Berechung einer perzeptiven Grenzen zwischen Kategorien Experiment. Anhand der Sprachsynthese wurde ein F2-Kontinuum in 11 Schritten synthetisiert. 5 Vpn. (L1-Englisch) mussten zu jedem Stimulus mit "I" oder "U" antworten. Bei welchem F2-Wert liegt die Grenze zwischen den Vokalen? Die Anzahle der Bewertungen ist hier: ui u i Bei F2 = 1437 Hz gab es 4 Urteil für "U", ein Urteil für "I"

16 Bei 1437 Hz waren 80% der Urteile "U" (und daher 20% "I")
Ein Vektor von Proportionen p = ui[,1]/apply(ui, 1, sum) p Eine Abbildung von F2 als Funktion dieser Proportionen f2werte = as.numeric(rownames(ui)) plot(f2werte, p, ylab="Proportion /u/ Urteile", xlab="F2 (Hz)")

17 Eine logistische Regression an diese Werte anpassen
Die Urteile aus den F2-Werten vorhersagen logui = glm(ui ~ f2werte, family=binomial) Mit der Methode auf S die logistische Regressionskurve überlagern Die Koeffiziente m = coef(logui)[2] k = coef(logui)[1] Die logistische Regressionskurve curve(exp(m*x + k)/(1+ exp(m*x+k)), xlim=c(1200, 2400), add=T, col=2)

18 Die 50% Grenze (Umkipppunkt)
= zu welchem F2-Wert, ist ein Urteil für "I" genauso wahrscheinlich wie ein Urteil für "U"? Es kann bewiesen werden, dass dies mit -k/m in dieser Formel gegeben wird (in diesem Beispiel ist y die Proportion, p, und x ist F2werte) abline(v=-k/m, lty=2, col="blue") -k/m

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20 5. Signifikanz-Test Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Proportion von /lo:st-lɔst/ durch den Jahrgang vorhergesagt werden kann? Lineare Regression: R2 oder adjusted R2 und ein F-test Logistic Regression: G2 und ein c2-test. G2 = Null deviance – residual deviance wenn dieser Wert 0 wäre, dann wären alle Proportionen in allen Jahren gleich (und die Regressionslinie wäre horizontal) je höher dieser Wert, umso unwahrscheinlicher ist es, dass die Werte überhaupt durch die Regression modelliert werden können. Für ein signifikantes Ergebnis wollen wir daher, dass Null deviance hoch und Residual deviance klein ist.

21 G2 = Null deviance - residual deviance
g = glm(lost ~ jahr, binomial) summary(g) Null deviance: on 5 degrees of freedom Residual deviance: on 4 degrees of freedom … [1] Der Test mit anova() ist ob G2 signifikant von 0 abweicht: anova(g, test="Chisq") Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL jahr e-15 Die Proportionen folgen einem Trend (c2(1)=61.2, p < 0.001)

22 6. Zwei unabhängige Variablen.
Hier sind genau dieselben Daten aber zusätzlich nach männlich-weiblich aufgeteilt. female lost n n y n n y y y In 1971 waren 26 Tokens [lost] und 15 [lo:st] lost high low von diesen 26 waren 10 von Männern und 16 von Frauen erzeugt. 8M, 7F (a) Gibt es einen Trend? Also weniger [lo:st] in späteren Jahren? (b) Ist die Proportion [lost]/[lo:st] in M und F unterschiedlich verteilt?

23 Dies ist ein Problem der mehrfachen Logistic Regression:
female lost n n y n n y y y Dies ist ein Problem der mehrfachen Logistic Regression: (also in diesem Fall eine Linie im 3D-Raum) logodds (lo:st) = b0 + b1year + b2Geschlecht logodds(lo:st) (b0 ist das Intercept, b1 und b2 die Neigungen) Geschlecht Und eine gerade Linie in einem 3D-Raum Year

24 } } Daten-Vorbereitung
pfad = "das Verzeichnis wo ich lost2.txt gespeichert habe" lost2 = as.matrix(read.table(paste(pfad, "lost2.txt", sep="/"))) high low } 1950 1960 1971 1980 1993 2005 high = Spalte 1 = /lo:st/ M low = Spalte 2 = /lOst/ } 1950 1960 1971 1980 1993 2005 J = c(jahr, jahr) G = c(rep(0, 6), rep(1, 6)) J G [1] [1] W

25 Zuerst eine Abbildung…
p = lost2[,1]/apply(lost2, 1, sum) Nimmt die Proportion von /lo:st/ in späteren Jahren ab? (Die Unterschiede zwischen m und f ignorieren). Ja Nein Vielleicht Unterscheiden sich m und f in der Proportion von /lo:st/? (Die Unterschiede in den Jahrgängen ignorieren). interaction.plot(J, G, p) 0.0 0.4 0.8 J mean of p 10 21 30 43 55 G m f

26 mehrg = glm(lost2 ~ J + G, binomial)
Modell berechnen… mehrg = glm(lost2 ~ J + G, binomial) g2 = glm(lost2 ~ J, binomial) anova(g2, test="Chisq") Analysis of Deviance Table Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL year e-15 Wenn wir übrigens G weglassen, dann müssten wir trotz der anderen Aufteilung der Daten das gleiche Ergebnis wir vorhin bekommen:

27 mehrg = glm(lost2 ~ J + G, binomial) mehrg
Coefficients: (Intercept) J Gm Degrees of Freedom: 11 Total (i.e. Null); 9 Residual Null Deviance: Residual Deviance: AIC: 51.51 logodds(lo:st) = J G anova(mehrg, test="Chisq") Df Deviance Resid.Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL J e-15 G e-04 M und F unterscheiden sich in der Proportion von lo:st/lOst, c2(1) = 12.82, p < 0.001 Die Proportion von 'lo:st' nimmt in späteren Jahren ab, c2(1) = 61.12, p <

28 7. Die Interaktion zwischen 2 Variablen
Mit 2 oder mehr Variablen soll auch geprüft werden, ob sie miteinander interagieren. Eine Interaktion zwischen den unabhängigen Variablen – in diesem Fall Geschlecht und Jahrgang – liegt vor, wenn sie eine unterschiedliche Wirkung auf die abhängige Variable ausüben wie in 1 und 2, aber nicht in 3 und 4 1950 2000 prop(lo:st) 1 2 3 4 m f

29 Die Interaktion zwischen 2 Variablen
Wenn eine Interaktion vorliegt, dann können signifikante Ergebnisse in einer der unabhängigen Variablen nicht uneingeschränkt akzeptiert werden. zB wenn eine Interaktion vorkommt, gibt es vielleicht eine Wirkung von Jahrgang auf die Proportion von /lo:st/ nur in Männern aber nicht in Frauen usw. dies scheint aber hier nicht der Fall zu sein.

30 Die Interaktion zwischen 2 Variablen
Die Interaktion zwischen 2 unabhängigen Variablen, A und B, kann in R mit A:B geprüft werden. Daher in diesem Fall g = glm(lost2 ~ J + G + J:G, binomial) Eine Abkürzung dafür (und mit genau demselben Ergebnis) g = glm(lost2 ~ J * G, binomial) anova(g, test="Chisq") Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL J e-15 G e-04 J:G d.h. die Interaktion ist nicht signifikant und J:G kann aus dem Regressionsmodell weggelassen werden.

31 Dies wird auch durch stepAIC() bestätigt:
library(MASS) stepAIC(g) AIC wird kleiner wenn wir J:G weglassen Start: AIC= 53.49 lost2 ~ J * G Df Deviance AIC - J:G <none> Df Deviance AIC <none> - G - J Wir bleiben also bei Call: glm(formula = lost2 ~ J + G, family = binomial) Residual Deviance: AIC: 51.51

32 Weitere Folien zum Durchlesen...

33 8. Logistic Regression und zwei Ebenen
Aus dem vorigen Beispiel wird auch klar, dass ähnlich wie c2 Logistic Regression angewandt werden kann, auch wenn die Gruppe nur aus 2 Ebenen besteht. Gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen M und F? gmf = glm(lost2 ~ G, "binomial") anova(gmf, test="Chisq") Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL G M und F unterscheiden sich in der Proportion von lo:st/lOst (c2(1) = 9.5, p < 0.002).

34 Wir bekommen dasselbe Ergebnis wenn Logistic Regression auf die entsprechende Tabelle angewandt wird: m = apply(lost2[1:6,], 2, sum) f = apply(lost2[7:12,], 2, sum) mf = rbind(m, f) rownames(mf) = c(0, 1) colnames(mf) = c("high", "low") mf lost2 high low high low = (kodiert nur nach M und F) l.mf = c(0,1) gmf2 = glm(mf ~ l.mf, "binomial") anova(gmf2, test="Chisq")

35 und man bekommt dann fast das gleiche Ergebnis mit einem c2-Test, der direkt auf die Tabelle angewandt wird: chisq.test(mf) Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction data: mf X-squared = , df = 1, p-value = Ein c2-Test kann jedoch nicht verwendet werden, bei einer Gruppenanzahl von > 2 …

36 3 Gruppen jeweils 2 Ebenen
high low alt alt jung jung lost3 Hier sind dieselben Daten aufgeteilt in 2 Altersgruppen sowie M/F Gruppe 1 = Vokal = high/low Gruppe 2 = Geschl = M/F (=0/1) Gruppe 3 = Alter = alt/jung Haben (a) Alter und (b) Geschlecht einen Einfluss auf die Proportion von /lo:st/?

37 Zuerst eine Abbildung high low alt alt jung jung # Alter kodieren A = c(0, 0, 1, 1) # Geschlecht kodieren G = c(0, 1, 0, 1) prop = lost3[,1]/apply(lost3, 1, sum) interaction.plot(A, G, prop)

38 Signifikanter Einfluss auf lo:st/lOst?
0.6 1 0.5 0.4 mean of prop 0.3 0.2 0.1 A 1 Signifikanter Einfluss auf lo:st/lOst? ja nein vielleicht im Alter? im Geschlecht? ja nein vielleicht Interaktion zwischen A und G? ja nein vielleicht

39 g = glm(lost3 ~ A * G, binomial)
anova(g, test="Chisq") Df Deviance Resid Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL A e-16 G A:G e Es gab einen signifikanten Einfluss vom Alter (c2(1)=64.2, p < 0.001) aber nicht vom Geschlecht auf die Proportion von /lo:st/. Die Interaktion zwichen Alter und Geschlecht war nicht signifikant (p > 0.05).