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Version vom 30.06.2015 Max-Flow in Orientierten Matroiden Winfried Hochstättler & Robert Nickel Fernuniversität in Hagen Lehrstuhl für Diskrete Mathematik.

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1 Version vom Max-Flow in Orientierten Matroiden Winfried Hochstättler & Robert Nickel Fernuniversität in Hagen Lehrstuhl für Diskrete Mathematik und Optimierung

2 2 von 13 Überblick Max-Flow in Graphen Orientierte Matroide Max-Flow-Problem in Orientierten Matroiden Dekomposition Maxflow-„Mincut“ in Orientierten Matroiden

3 3 von 13 Maximale Flüsse in Digraphen + - Quelle Senke Max-Flow = Min-Cut Max-Flow Fluss s - t -Fluss: Kirchhoffsche Gesetze gelten in inneren Knoten Rundfluss: Kirchhoffsche Gesetze gelten in allen Knoten Der Fluss ist entlang jedes Schnittes gleich 0 Jeder Rundfluss ist Summe gerichteter Kreise Kapazität auf jeder Kante

4 4 von 13 Problembeschreibung verzichtet auf Knoten, denn: Problemformulierung Gegeben: Digraph Menge aller Rundflüsse in Kapazität Gesucht: 

5 5 von 13 Orientierte Matroide Sei E eine Menge von Kanten / Elementen Ein Vektor heißt gerichtete Teilmenge von E Kreise im Digraph sind gerichtete Teilmengen von E Eigenschaften ( = Menge aller Kreise): und Flussgitter:  

6 6 von 13 Die Menge heißt orientiertes Matroid, wenn sie die Kreisaxiome erfüllt Rang von : Beispiele: Gerichtete Kreise (oder auch Schnitte) eines Digraphen Minimal linear abhängige Spalten einer Matrix Radon-Partitionen von Punkten im Raum Komplemente von Schnittmengen eines Pseudohyperebenen-Arrangements

7 7 von 13 Kleiner Zusammenhang Dekomposition (WH & RN 2005): Jedes orientierte Matroid lässt sich zerlegen in direkte Summen und 2-Summen 3-zusammenhängender orientierter Matroide. Beispiel (2-Summe): Berechnung des Max-Flow auf jeder Komponente

8 8 von 13 Dekomposition - Beispiel Löschen der 1-Komponenten (irrelevant für Max- Flow) und Abspalten einzelner 2-Komponenten Max-Flow auf der Klebekante liefert Kapazität für Klebekante in der Hauptkomponente

9 9 von 13 Max-Flow Min-Cut mal anders Ein s-t-Fluss ist maximal genau dann wenn es einen s-t-Schnitt mit gleichem Wert gibt. Solch ein Schnitt ist gesättigt bzgl. k Ein Rundfluss f ist maximal auf g genau dann, wenn es einen Schnitt gibt mit Ein Rundfluss f ist maximal auf g genau dann wenn es einen Vektor gibt mit

10 10 von 13 Verallgemeinertes MFMC „Wunschsatz“: Sei ein 3-zusammenhängendes Orientiertes Matroid und Dann gilt: Gilt für reguläre, Rang 3, uniforme und kleine allgemeine orientierte Matroide

11 11 von 13 ***** Oder gemischt: Struktur des Flussgitters Alle bisher untersuchten Flussgitter haben folgende Gestalt: ist regulär (Standard Maxflow-Mincut) ist trivial

12 12 von 13 Zusammenfassung Positiv: Maximalen Fluss von vielen OMs berechnen Maxflow-Mincut verallgemeinert Nicht so positiv: Meistens kein Maximaler Fluss vorhanden Struktur von für allg. OMs noch unbekannt MFMC-Property aus Matroid-Theorie gilt nur für regulären Fall Andere Ansätze wenig viel versprechend (z.B. )

13 13 von 13 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit Die Wien – Foto von Ottjörg A.C.


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