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1 Thema der Stunde I. Die Form der Stichprobenkennwerteverteilung II. Schlüsse von der Stichprobe auf die Population III. t-Test für unabhängige und abhängige.

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1 1 Thema der Stunde I. Die Form der Stichprobenkennwerteverteilung II. Schlüsse von der Stichprobe auf die Population III. t-Test für unabhängige und abhängige Stichproben

2 2 Stichprobenkennwerte Population Herleitung der Kennwerte-Verteilung (Sampling – Distribution) und Beschreibung ihrer Parameter. Methoden zur Schätzung der Parameter aus Stichprobendaten sowohl für univariate, als auch für multivariate Kennwerteverteilungen Kennwerte Sampling Stichprobe Theoretische Statistik Welche Verteilung von Kennwerten wird sich ergeben, Wenn man den Sampling Vorgang unendlich oft wiederholt?

3 3 Stichprobenkennwerte Population Stichprobe des Umfangs N Tue dies k - mal: Stichprobenmittelwerte sind erwartungstreue Schätzungen des Populationsparameters  Kennwert (Erwartungswert) Verteilung von Stichprobenmittelwerten „Kennwerteverteilung“ Erwartungswert Die Kennwerteverteilung hat denselben Erwartungswert wie die Population, aus der die Stichproben gezogen wurden. Schätzstatistiken, die denselben Erwartungswert haben wie die Population, heissen erwartungstreu.

4 4 Stichprobenkennwerte Population Stichprobe des Umfangs N Stichprobenvarianzen sind keine erwartungstreuen Schätzungen des Populationsvarianz   Varianz Verteilung von Stichprobenvarianzen Erwartungswert der Stichprobenvarianzen Die Stichprobenvarianz unterschätzt die Populationsvarianz tendenziell Tue dies k - mal:

5 5 Korrektur Stichprobenvarianzen sind keine erwartungstreuen Schätzungen des Populationsvarianz   Die Stichprobenvarianz berechnet aus korrigiertem Umfang N-1 ist eine erwartungstreue Schätzung der Populationsvarianz Der Bias bei der Schätzung der Pop.Varianz aus der Stichprobenvarianz ist die Varianz der Stichprobenmittelwerte. Korrektur:

6 6 Varianz der Stichprobenmittelwerte Population Stichprobe des Umfangs N Tue dies k - mal: Verteilung von Stichprobenmittelwerten „Kennwerteverteilung“ Varianz Der Faktor 1/N bezieht die Populationsvarianz auf die Varianz der Stichprobenmittel Varianz Für N = 1 sind beide Varianzen gleich Für N  geht die Varianz der Mittelwerte gegen Null.

7 7 Form der Verteilung von Mittelwerten Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) Zentraler Grenzwertsatz: Der zentrale Grenzwertsatz ermöglicht die Schätzung von Parametern unter Angabe statistischer Sicherheiten Die Verteilung von Mittelwerten aus Stichproben der Größe N  30 geht mit wachsendem Stichprobenumfang in eine Normalverteilung über, unabhängig von der Verteilungsform der Werte in der Population. [Math-Beispiel] Es gilt: 1. 2.

8 8 Form der Verteilung von Mittelwerten Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) Schätzung des Standardfehlers Der Standardfehler wird geschätzt über die Schätzung der Populationsvarianz aus der Stichprobenvarianz da

9 9 Konfidenzintervalle in der Verteilung der Mittelwerte Konfidenzintervalle geben Intervalle um einen Kennwert an, in denen ein gesuchter Wert mit einer bestimmten WK liegt. 1.Man habe einen Mittelwert aus einer Stichprobe der Größe N vorliegen. In welchem Bereich um den Mittelwert kann man den Populationsparameter  mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erwarten ? 2.Der Populationsparameter  sei bekannt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann ein Mittelwert wie der beobachtete oder ein extremerer auftreten? Fragestellungen: 1. 2.

10 10 Hypothesen Wissenschaftliche Vermutung über einen Sachverhalt Hypothesen als Aussagen über Populationsparameter Aussage Gegenaussage (komplementär) A: Neue Unterrichtsmethode ist besser als die alte  A: Neue Unterrichtsmethode ist schlechter oder gleich gut Statistisch: (gerichtet) (ungerichtet)

11 11 Entscheidungsregeln (ungerichtet) Sei  ein vorgegebenes Signifikanzniveau (Konvention:  = 0.05) und z 0 der beobachtete z- Wert. Vergleich mit kritischem Wert oder Signifikanzniveau Regel 1 (Überschreitungswahrscheinlichkeit): Wennverwerfe H 0 Regel 2 (Kritischer Wert z 1-  /2 ): Wennverwerfe H 0 Grundlage:

12 12 Entscheidungsregeln (gerichtet) Sei  ein vorgegebenes Signifikanzniveau (Konvention:  = 0.05) und z 0 der beobachtete z- Wert. Vergleich mit kritischem Wert oder Signifikanzniveau Regel 1 (Überschreitungswahrscheinlichkeit): Wennverwerfe H 0 Regel 2 (Kritischer Wert z 1-  ): Wennverwerfe H 0 Grundlage:

13 13 Fehler 1. und 2. Art In der Population gilt Hypothesenwahrscheinlichkeiten : bedingte WKn Correct Rejection Miss (Fehler 2. Art) False Alarm (Fehler 1. Art) Hit H0H0 H1H1 H0H0 H1H1 Entscheidung für [Entscheidungsaufgabe]


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