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Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II Vorlesung 8 08.06.00 Voronoi-Diagramme.

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Präsentation zum Thema: "Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II Vorlesung 8 08.06.00 Voronoi-Diagramme."—  Präsentation transkript:

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2 Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II Vorlesung 8 08.06.00 Voronoi-Diagramme

3 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.002 Konstruktion des Voronoi-Diagramms „Divide and Conquer“ 1.Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten 2.Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P 1 und P 2 3.Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P 1 und P 2 4.Merge: Verknüpfe die beiden in Schritt 3 gebildeten Diagramme 5.Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist; dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal O(n * log n) wenn „Divide“ and „Merge“ nicht mehr als n Schritte benötigen,

4 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.003 P1P1 P2P2 Aufteilung der Menge P in P 1 und P 2 P

5 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.004 Voronoi-Diagramm von P 1

6 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.005 Voronoi-Diagramm von P 2

7 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.006 Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge

8 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.007 Konstruktion des trennenden Kantenzuges Was wissen wir über den trennenden Kantenzug? monoton in Nord-Süd-Richtung jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte) zwischen einer roten und einer grünen Region Problem: sukzessive Identifikation der benachbarten roten und grünen Punkte die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind unbeschränkt, also Halbgeraden die benachbarten roten und grünen Punkte bilden dort unbeschränkte Voronoi-Regionen sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen konvexen Hülle beginnen wir also mit den beiden Tangenten

9 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.008 Tangente

10 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.009 Tangente – konvexe Hülle

11 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0010 Konvexe Hülle

12 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0011 Eine Tangente T an die Punktmenge P geht durch zwei Punkte von P teilt die Ebene in zwei Halbebenen so, daß alle Punkte in der gleichen Halbebene liegen die Tangenten bestimmen die Lage der Kanten für die neue konvexe Hülle beider Punktmengen Konstruktion der Tangenten im Detail: –später

13 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0012 Vereinigung Mittelsenkrechte bilden

14 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0013 Vereinigung

15 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0014 Vereinigung Aktive Voronoi-Regionen Schnittpunkte mit Seg- menten suchen

16 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0015 Vereinigung Aktive Voronoi-Regionen Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neue aktive VR (Voronoi- Region)

17 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0016 Vereinigung Aktive Voronoi-Regionen Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neue aktive VR Mittelsenkrechte zuwischen den aktiven VR

18 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0017 Vereinigung Schnittpunkte suchen

19 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0018 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

20 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0019 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

21 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0020 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR

22 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0021 Vereinigung Schnittpunkte suchen

23 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0022 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

24 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0023 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR

25 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0024 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

26 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0025 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR

27 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0026 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

28 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0027 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR

29 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0028 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

30 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0029 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR

31 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0030 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

32 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0031 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR

33 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0032 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

34 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0033 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Verknüpfung mit der Mittel- senkrechten vom Anfang

35 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0034 Vereinigung

36 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0035 Löschen der überflüssigen Segmente

37 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0036 Löschen der überflüssigen Segmente

38 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0037 Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P

39 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0038 Datenstruktur für Voronoi-Diagramm Doppelt verkettete Kantenliste Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen

40 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0039 Kosten wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges? Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den benachbarten Voronoi-Regionen

41 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0040 Länge des Kantenzuges im Worst Case O(n)

42 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0041 Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n)

43 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0042 O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton war jetzt alles umsonst?

44 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0043 O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!

45 „Investitionen müssen sich amortisieren“ Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“ Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten  O(n) Konvexität der Voronoi-Regionen  höchstens zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken! Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.0044


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