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Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II Vorlesung 8 08.06.00 Voronoi-Diagramme.

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Präsentation zum Thema: "Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II Vorlesung 8 08.06.00 Voronoi-Diagramme."—  Präsentation transkript:

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2 Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II Vorlesung Voronoi-Diagramme

3 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Konstruktion des Voronoi-Diagramms „Divide and Conquer“ 1.Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten 2.Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P 1 und P 2 3.Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P 1 und P 2 4.Merge: Verknüpfe die beiden in Schritt 3 gebildeten Diagramme 5.Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist; dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal O(n * log n) wenn „Divide“ and „Merge“ nicht mehr als n Schritte benötigen,

4 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung P1P1 P2P2 Aufteilung der Menge P in P 1 und P 2 P

5 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Voronoi-Diagramm von P 1

6 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Voronoi-Diagramm von P 2

7 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge

8 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Konstruktion des trennenden Kantenzuges Was wissen wir über den trennenden Kantenzug? monoton in Nord-Süd-Richtung jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte) zwischen einer roten und einer grünen Region Problem: sukzessive Identifikation der benachbarten roten und grünen Punkte die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind unbeschränkt, also Halbgeraden die benachbarten roten und grünen Punkte bilden dort unbeschränkte Voronoi-Regionen sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen konvexen Hülle beginnen wir also mit den beiden Tangenten

9 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Tangente

10 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Tangente – konvexe Hülle

11 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Konvexe Hülle

12 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Eine Tangente T an die Punktmenge P geht durch zwei Punkte von P teilt die Ebene in zwei Halbebenen so, daß alle Punkte in der gleichen Halbebene liegen die Tangenten bestimmen die Lage der Kanten für die neue konvexe Hülle beider Punktmengen Konstruktion der Tangenten im Detail: –später

13 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Mittelsenkrechte bilden

14 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung

15 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Aktive Voronoi-Regionen Schnittpunkte mit Seg- menten suchen

16 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Aktive Voronoi-Regionen Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neue aktive VR (Voronoi- Region)

17 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Aktive Voronoi-Regionen Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neue aktive VR Mittelsenkrechte zuwischen den aktiven VR

18 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Schnittpunkte suchen

19 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

20 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

21 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR

22 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Schnittpunkte suchen

23 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

24 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR

25 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

26 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR

27 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

28 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR

29 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

30 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR

31 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

32 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR

33 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen

34 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen Verknüpfung mit der Mittel- senkrechten vom Anfang

35 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Vereinigung

36 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Löschen der überflüssigen Segmente

37 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Löschen der überflüssigen Segmente

38 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P

39 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Datenstruktur für Voronoi-Diagramm Doppelt verkettete Kantenliste Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen

40 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Kosten wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges? Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den benachbarten Voronoi-Regionen

41 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Länge des Kantenzuges im Worst Case O(n)

42 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n)

43 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton war jetzt alles umsonst?

44 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!

45 „Investitionen müssen sich amortisieren“ Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“ Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten  O(n) Konvexität der Voronoi-Regionen  höchstens zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken! Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung


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