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IV. Lineare Algebra 10. Lineare Gleichungssysteme.

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Präsentation zum Thema: "IV. Lineare Algebra 10. Lineare Gleichungssysteme."—  Präsentation transkript:

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3 IV. Lineare Algebra

4 10. Lineare Gleichungssysteme

5 Und jeder Punkt dieser Ebene erfüllt die Gleichung.

6 Falls d = 0 gilt, so enthält die Ebene den Ursprung.

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11 Die Schnittmenge kann leer sein.

12 Die Schnittmenge kann eine Gerade oder eine Ebene sein.

13 Das Gleichungssystem besitzt genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die drei Normalenvektoren linear unabhängig voneinander sind.

14 Ein n-dimensionaler Vektorraum V wird durch eine Basis aus n linear unabhängigen Vektoren { V 1, V 2,..., V n } aufgespannt, d.h. jeder Vektor V V kann durch eine Linearkombination der Basisvektoren ausge- drückt werden:

15 Besitzt eine Basis n Elemente, so besitzt auch jede andere Basis n Elemente. In einem n-dimensionalen Vektorraum gibt es also höchstens n linear unabhängige Vektoren, d.h. die Darstellung von V ist eindeutig. Beweis. Sei V = a 1 V 1 + a 2 V a n V n mit a i und V = a' 1 V 1 + a' 2 V a' n V n mit a' i eine weitere Darstellung für V, so folgt: 0 = (a 1 - a' 1 )V 1 + (a 2 - a' 2 )V (a n - a' n )V n i: a i = a' i.

16 Eine Gleichung a 1 V 1 + a 2 V a n V n = d mit a i, d in der nicht alle Koeffizienten (Koordinaten) a i verschwinden, vermindert die Zahl der frei wählbaren Koeffizienten um einen von n auf n - 1. Spätestens nachdem n - 1 Koeffizienten gewählt wurden, ist der n-te durch die Gleichung festgelegt. Der so eingeschränkte Vektorraum H besitzt nur noch n - 1 Dimensionen. Man bezeichnet H als Hyperebene im Vektorraum V.

17 Definition. U ist Unterraum des Vektorraums V über, falls U abgeschlossen bezüglich Addition und Skalarmultiplikation ist. V, V' U,, : V + V' U. Insbesondere gehört also der Nullvektor 0 zum Unterraum. Enthält eine Hyperebene den Nullvektor, so ist sie ein Unterraum. Als Beispiel für eine Hyperebene betrachten wir das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum mit den Koordinaten (x | y | z | t) wo t die Zeit-Koordinate bezeichnet. Die Gleichung t = 0 ergibt einen Schnappschuss des Raums zur Zeit 0.

18 10.1 Darstellung von linearen Gleichungssystemen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b (S) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Definition. Eine Lösung L des Gleichungssystems S ist ein Vektor C = so dass die Gleichungen a 11 c 1 + a 12 c a 1n c n = b 1 a 21 c 1 + a 22 c a 2n c n = b a m1 c 1 + a m2 c a mn c n = b m durch das n-Tupel seiner Elemente c k erfüllt sind.

19 Die Menge aller Lösungen der k-ten Gleichung S k nennen wir L(S k ). Die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems S nennen wir L(S). Dann ist L(S) = L(S 1 ) L(S 2 )... L(S m )

20 10.2 Elementaroperationen (E1) Vertauschen von zwei Zeilen, S i und S j. Beweis. Kommutativität der Durchschnittsbildung. (E2) Multiplikation der i-ten Zeile S i mit einer Konstante k, k 0. Beweis. Die i-te Zeile a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i (S i ) wird damit zu ka i1 x 1 + ka i2 x ka in x n = kb i (k S i ) Sei nun C eine Lösung von (S i ), so ist C auch Lösung von (k S i ) und umgekehrt.

21 (E3) Addition der mit k multiplizierten j-ten Zeile k S j zur i-ten Zeile S i. Beweis. Jede Lösung C L(S) erfüllt die Gleichungen a i1 c 1 + a i2 c a in c n = b i (S i ) ka j1 c 1 + ka j2 c ka jn c n = kb j, (k S j ) also erfüllt sie auch die Gleichung (a i1 + ka j1 )c 1 + (a i2 + ka j2 )c (a in + ka jn )c n = b i + kb j (S i +k S j )

22 10.3 Gaußsches Eliminationsverfahren Die drei Elementaroperationen (E1) Vertauschen von S i und S j (E2) Multiplizieren von S i mit k 0 (E3) Ersetzen von S i durch S i + k S j mit i j können beliebig oft hintereinander ausgeführt werden, ohne die Lösungsmenge des Gleichungssystems zu ändern. Damit lässt sich jedes Gleichungssystem in eine einfache Form bringen und, wenn es lösbar ist, lösen.

23 3x 1 - 9x 2 + 6x 3 = 3(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3)

24 3x 1 - 9x 2 + 6x 3 = 3(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) (1)/3 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1)

25 3x 1 - 9x 2 + 6x 3 = 3(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) (1)/3 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3)

26 3x 1 - 9x 2 + 6x 3 = 3(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) (1)/3 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (2) – 5 (1) 19x 2 -15x 3 = -7 (2)

27 3x 1 - 9x 2 + 6x 3 = 3(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) (1)/3 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (2) – 5 (1) 19x 2 -15x 3 = -7 (2) (3) – 6 (1) 20x 2 -15x 3 = -5 (3)

28 3x 1 - 9x 2 + 6x 3 = 3(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) (1)/3 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) 5x 1 + 4x 2 - 5x 3 = -2(2) 6x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 1(3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (2) – 5 (1) 19x 2 -15x 3 = -7 (2) (3) – 6 (1) 20x 2 -15x 3 = -5 (3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (3) 20x 2 -15x 3 = -5 (2) (2) 19x 2 -15x 3 = -7 (3)

29 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (3) 20x 2 -15x 3 = -5 (2) (2) 19x 2 -15x 3 = -7 (3)

30 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (3) 20x 2 -15x 3 = -5 (2) (2) 19x 2 -15x 3 = -7 (3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1 IV ) (2) - (3) 1x 2 - 0x 3 = 2 (2 IV )

31 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (3) 20x 2 -15x 3 = -5 (2) (2) 19x 2 -15x 3 = -7 (3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1 IV ) (2) - (3) 1x 2 = 2 (2 IV ) (3) - 19 (2 IV ) -15x 3 = -45 (3 IV )

32 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (3) 20x 2 -15x 3 = -5 (2) (2) 19x 2 -15x 3 = -7 (3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1 IV ) (2) - (3) 1x 2 = 2 (2 IV ) (3) - 19 (2 IV ) -15x 3 = -45 (3 IV ) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1 V ) 1x 2 = 2 (2 V ) -(3 V )/15 1x 3 = 3 (3 V )

33 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1) (3) 20x 2 -15x 3 = -5 (2) (2) 19x 2 -15x 3 = -7 (3) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1 IV ) (2) - (3) 1x 2 = 2 (2 IV ) (3) - 19 (2 IV ) -15x 3 = -45 (3 IV ) 1x 1 - 3x 2 + 2x 3 = 1(1 V ) 1x 2 = 2 (2 V ) -(3 V )/15 1x 3 = 3 (3 V ) (1 V )+3(2 V )-2(3 V )1x 1 = 1(1 VI ) 1x 2 = 2 (2 VI ) 1x 3 = 3 (3 VI )

34 Obere Dreiecksform: 1 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 0 x x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 0 x x x a 3n x n = b x x x x n = b m Notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung: m = n. Reduzierte Normalform: 1 x x x x n = c 1 0 x x x x n = c 2 0 x x x x n = c x x x x n = c n x 1 = c 1 x 2 = c 2 x 3 = c 3... x n = c n

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43 Sie können nun jedes lösbare lineare Gleichungssystem lösen: Elementaroperationen anwenden, Normalform herbeiführen, x n aus der letzten Zeile ablesen, in vorletzte einsetzen, System rekursiv lösen. fertig! oder: Elementaroperationen anwenden, reduzierte Normalform herbeiführen, Werte der x i ablesen, fertig! Aber weshalb bei allen Umformungen die Platzhalter x i mitschleppen? Ein lineares Gleichungssystem wird ebenso eindeutig durch die Systemmatrix der Koeffizienten und Konstanten beschrieben

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