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Horst Steibl 1 Grundformen Quadratanordnungen, L T Z –Plättchen, Tetraminos und Pentaminos als unvollständige Würfelnetze, 12 Pentaminos Rechteckanordnungen.

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1 Horst Steibl 1 Grundformen Quadratanordnungen, L T Z –Plättchen, Tetraminos und Pentaminos als unvollständige Würfelnetze, 12 Pentaminos Rechteckanordnungen (Flächeninhalt). Das gleichseitige Dreieck,...im Quadrat, das Rechteck über dem..., Dreiecksanordnungen, Tetraeder-, Oktaedernetze, das Wurzel-3-Rechteck, die Laschen Taschen-Masche, die 12 Hexamanten

2 Horst Steibl 2 Zwillinge Dieser Zwilling ist ein Diabolo. Wir betrachten später die entsprechenden Drillinge und Vierlinge, die 4 Triabolos und die 14 Tetrabolos. Dieser Zwilling ist ein Diamant. Wir untersuchen die Sechslinge, die 12 Hexamanten. Dieser Zwilling ist ein Domino. Wir betrachten die Tetraminos (L, T, Z - Plättchen) und die 12 Pentaminos

3 Horst Steibl 3 Der Clan der Haquas Halbiert man ein Quadrat diagonal, so erhält man zwei gleichschenklig rechtwinklige Dreiecke, zwei Ha lbe Qua drate Zwei Haquas kann man passend aneinanderlegen und erhält so drei Diabolos : ein Quadrat, ein Dreieck und ein Parallelogramm

4 Horst Steibl 4 Die Namengebung Diabolo stammt von einem Kreiselspiel mit Schnur und Stock. Sehen Sie in diese Figur ein Rechteck hinein: Was fehlt? Ein Drachen fehlt! Es ist ein Rechteck aus Quadratseite mal Diagonale: ein Ostwaldrechteck (DIN-Format) Das waren die drei Diabolos Die drei Diabolos waren die möglichenpassenden Legungen zweier Haquas. Es gibt aber eine andere nicht passende Legung der Haquas, die zu einer interessanten Fragestellung führt:

5 Horst Steibl 5 Das DIN- Format und die Haquas Das DIN-Blatt ist ein Rechteck aus Quadratseite mal Diagonale, ein Ostwaldrechteck Faltet man in einem DIN-Blatt die Diagonalen des Quadrates, so passt die lange Seite genau auf diese Diagonale. a a* 2

6 Horst Steibl 6 Die Diagonale des Quadrates und die 2 Wie groß ist das Loch, wie groß das neue Quadrat? Berechne die 200! Interpolation! Lege um zum Quadrat mit Loch. 10 cm Aus Eins mach Zwei! Was ist dabei?

7 Horst Steibl 7 10 cm 2 * 100 cm² Aus zwei mach eins, wer hat dann keins? 200 cm² 200 = ? 14 ² = ² = / 29 Quadratzahlen Interpolation Bruchrechnung

8 Horst Steibl 8 Fortgesetztes Halbieren der Haquas Zwei farbige Blättchen fortlaufend halbieren. Hälften zur Quadratfolge kleben. Die Ausgangsquadrate haben die Seitenlänge 1. 1 ½ * 2 A Folgen und Reihen; Grenzwerte Wie lang ist die Linie AZ?

9 Horst Steibl 9 Potenzen kein mal halbiert 2 0 = 1 ein mal halbiert 2 1 = 2 zwei mal halbiert 2 2 = 4 drei mal halbiert 2 3 = 8 vier mal halbiert 2 4 = 16 fünf mal halbiert 2 5 = 32 Beachten Sie die Entsprechung beim DIN - A- 4 Format: 2 4 = DIN-A-4 Blätter ergeben ein DIN-A-0 Blatt von 1m² DIN A 0 = 1 m² DIN A 1 = ½ m² DIN A 2 = ¼ m² DIN A 3 = 1 / 8 m² DIN A 4 = 1 / 16 m² DIN A 5= 1 / 32 m² 1 1 / 2 1 / 4 1 / 8 1 / 16 1 / 32

10 Horst Steibl 10 Zwei Diagonalen falten. Du erhältst vier Haquas. Zwei Diagonalen falten, Blatt wenden, zwei Mittellinien falten, Achterkreuz im Raum betrachten: Zwei Gebilde Das Achterkreuz Aus der Ebene in den Raum Oktaeder? vierseitige Pyramide? Oktaeder stecken!

11 Horst Steibl 11 Die Würfelecke aus dem Achterkreuz Drei Quadrate, in halber Würfel; Drei Dreiecke; eine Pyramide? eine Würfelecke? 8 Haquas, zwei verbergen wir, 6 bleiben übrig 6 Haquas sind 6 Haquas, wo ist hier der Unterschied

12 Horst Steibl 12 Zwei räumliche Gebilde aus 6 Haquas zwei Achterkreuze eines als Unterlage glätten mit einem Dreieck (s.rote Punkte ) aufkleben, zur dreiseitigen Würfelhälfte umfalten beim zweiten aus drei Flächen eine machen (zwei Flächen einstreichen) zur Ecke aus drei mal zwei Dreiecken (dreiseitige Pyramide) knicken

13 Horst Steibl 13 Der Würfel aus vier Ecken Wie sieht die Schnittfläche aus, wenn Sie eine Ecke abschneiden? Was bleibt übrig wenn Sie alle vier Ecken abschneiden? Welcher Bruchteil des Würfels nimmt der Restköper ein? Einpassen eines Oktaeders in einen Würfel !!!

14 Horst Steibl 14 Drei sich durchdringende Quadrate Wie viele Quadrate müssten Sie ineinander stecken? Wie viele Achterkreuze müssten Sie falten? Wie müssen Sie die drei Quadrate einschneiden? Wie heißt der das Oktanten- modell umhüllende Körper? Wie sehen dessen Mittelpunktspyramiden aus?

15 Horst Steibl 15 Von 1 bis Schuljahr Immer 17! Summe von 1 bis 16? Immer 34! Zauberquadrate? 2. Schuljahr

16 Horst Steibl 16 Vom 8-er zum 32-er-Feld Falte beim Achterkreuz die Ecken zur Mitte und du erhältst den Brief: ein 16-er-Feld: 1. Schuljahr:4 * 4 =16 (Zahlen hineinschreiben!!) Drehe den Brief und falte die Ecke noch einmal zur Mitte (Doppelbrief). Hieraus lassen sich schöne Figuren falten (Windmühle, Krone, Flunder, Katamaran) 2. Schuljahr: 4*8 = 32

17 Horst Steibl 17 Vom 16-er-Feld zum Tangram Die Tangram-Teile können als Monobolos, Diabolos und Tetrabolos gedeutet werden. Das Falten der Tangramteile aus dem Quadrat habe ich in meinem Buch Der Zettelkasten ausführlich beschrieben. Das 16-er-Feld sollte auf jeden Fall vorher erarbeitet werden.

18 Horst Steibl 18 Wechsel der Richtungen Vertauscht man die Richtungen, so kommt man zu diesem Rechteck, das dem glsch. Dreieck als halbiertem Quadrat gerechter wird Im Tangram-Quadrat sind die Hypotenusen der Dreiecke parallel zu den Seiten. Die Katheten bestimmen die Diagonalrichtung Im Bezug auf das halbierte Quadrat sollte dies eigentlich umgekehrt sein.

19 Horst Steibl 19 Das Tangramfeld als 3 x 3 Quadrat Man kann dieses 3 x 3 Quadrat auch zum Dreieck umlegen und so zwei Dreiecke fehlen lassen Tri 7 Tangramteile, 16 Haquas 8 Quadrate : 1 großes Quadrat in dem die 8 Quadrate Platz haben wäre ein 3 x 3 Feld. Legt man nun die 7 Tangramteile in ein 3 x 3-Feld, so müssen zwei Dreiecke fehlen. Sie können nicht überall fehlen

20 Horst Steibl 20 6 der 13 konvexen Tangramfiguren Quadrat, Dreieck, Rechteck, Trapez, Parallelogramm, Haus (Fünfeck), Haus mit Walmdach (Sechseck)

21 Horst Steibl 21 Mitte Nimm ein 14 cm langen Streifen und halbiere ihn einmal (S M Z) 2) *10 cm; ein mal geknickt ( 2)²*10 cm zwei mal geknickt ( 2) 3 *10 cm drei mal geknickt ( 2) 15 *10cm fünfzehn mal geknickt Darstellung durch Dualzahlen: (1 für Rechtsknick, 0 für Linksknick) 18,...m lang, 3,27...m dick Die Drachenkurve Exoten ( 2) 4 *10 cm vier mal geknickt

22 Horst Steibl 22 Das Sierpinskidreieck Zeichne ein Haqua Schneide das Mittendreieck aus Schneide von den restlichen Dreiecken jeweils das Mittendreieck aus Schneide von den restlichen Dreiecken jeweils das Mittendreieck aus Zeichne die drei Punkte eines Dreiecks, Steuere von einem Punkt einen anderen Dreieckspunkt an. Fahre aber nur die halbe Strecke. Zeichne nur die Endpunkte. Trauer um den Igel! 1, 3, 9, 27, 81,...

23 Horst Steibl 23 Der Bigalke-Knoten 12 gleichlange, lotrecht aufeinander stehende Streckenzüge der Länge k auf (in) einem Würfel sollen sich zum Knoten schließen. Welchen Gruppentyp repräsentiert das Modell? Herr Spieß sieht darin die Kleinsche Vierergruppe. Was sehen Sie? Zurück zum Fußvolk!!

24 Horst Steibl 24 Es gibt nur vier Triabolos Achten Sie bei der Erzeugung und dem Legen von Figuren auf eine einheitliche Richtung der Diagonale (Halbierungslinie, Hypotenuse h) bzw der Quadratseite (Kathete s) s h Dank! Jürgen Köller Namengebung? Nach s oder nach h? tetras

25 Horst Steibl 25 Figuren aus vier Triabolos Haus?

26 Horst Steibl 26

27 Horst Steibl 27 Die Tetrabolos Zur Erzeugung der Tetrabolos kann man von den Tribolos ausgehen und diese durch ein weiteres Haquas ergänzen. Dann ist man sicher alle Tetrabolos zu erhalten. Hier vom Quadrat mit Dach: Man kann auch von den Diabolos Quadrat und Dreieck ausgehen und je zwei Haquas anfügen. Hier fehlen aber noch welche

28 Horst Steibl 28 Die Namengebung der Tetrabolos Identifiziert man wie beim Tangram, den Quadratanordnungen und den Hexamanten die spiegelbildlichen Formen, so erhält man 14 Figuren. 6 davon haben eine Spiegelachse, 8 nicht. Rechteck Quadrat Dreieck Trapez dicker Pfeil dünner Pfeil breites und schmales Parallelogram dicker Stiefel dünner Stiefel dicker Helm dünner Helm Windrad Socke

29 Horst Steibl 29 Figuren Umhüllendes Rechteck? A R =...? U R =...? Magnus Kleine-Tebbe

30 Horst Steibl 30 Ein 4s x 4s - Quadrat Wie viele Quadrate zählen Sie? Wie viele Dreieck sind es also? Wie viele Tetrabolos liegen hier? Mögliche Rechtecke über den Quadratseiten s 2 x 3; 2 x 4; 2 x 5; 2 x 6; 3 x 3; 3 x 4 ; 4 x 4; 4 x 5 Übungen zur Viererreihe! Zweier-Quadrat oder Vierer-Quadrat

31 Horst Steibl 31 Ein Rechteck 2 h x 5 h über den Hypotenusen Wie viele Dreiecke ergeben sich bei 2h x 5h? Wie viele Tetrabolos sind also beteiligt? Welche Quadrate h² können Sie hier zählen? Wie kommen Sie von d² zu der Anzahl der Dreiecke? Rechtecke über den Hypotenusen 1 x 4; 2 x 2; 2 x 3; 2 x 4; 2 x 5; 2 x 6; 3.x 3; 3 x 4,

32 Horst Steibl 32 Gibt es ein Dreieck für alle 14 Steine? Zählen Sie die Dreiecke in einer Reihe: Folge der ungeraden Zahlen Addieren Sie diese: Folge der Quadratzaheln 49 < 14*4 < Steine = 56 Dreiecke Es gibt kein Dreieck

33 Horst Steibl 33 Gibt es ein Rechteck mit allen 14 Steinen? erste Ziffer: Anzahl der fallenden, zweite Ziffer: Anzahl der steigenden Hypotenusen Die Tetrabolos zerfallen in zwei Klassen; einmal in die mit geraden Ziffern, zum anderen in die mit ungeraden Ziffern. 14 Tetrabolos (28 Quadrate) ergibt ein 4s * 7s Feld oder ein 2h * 7h Feld. Anzahlen der beteiligten Hypotenusen bzgl. einer Richtung.

34 Horst Steibl 34 Tetrabolos mit ungeraden Kennziffern zwei Klassen: 9 Steine Kennzahl gerade Ziffern 5 Steine ungeraden Ziffern. Beim Legen innen : immer zwei einer Richtung zusammen. Die Anzahl einer Richtung im Inneren ist also gerade. Die Anzahl der außenliegenden Seiten h einer Richtung müsste also ungerade sein, wenn Legung mit allen Steinen möglich sein sollte. Rechtecke 4 s * 7s oder 2h * 7h nicht möglich Aber: Nicht jede Figur mit ungerader Anzahl einer Richtung ist legbar Summe einer Richtung ungerade

35 Horst Steibl 35 Ähnlichkeit zentrische Streckung Streckungsfaktor?

36 Horst Steibl 36 Ringe aus Tetrabolos Hier sind 74 Dreiecke eingeschlossen. Wie viele schließen Sie ein? Es gibt 30 Pentabolos 107 Hexabolos 318 Septabolos 1106 Oktobolos Quellen

37 Horst Steibl 37 Martin Gardner: Mathematische Hexereien Ullstein 1988 bild der wissenschaft 8/1979 (Halbquadrat Mehrlinge) Quellen

38 Horst Steibl 38 Die Familie der Formen Der Clan der Haquas Der Clan der Quadis Der Clan der Diarcs Der Clan der Trixis Der Clan der Ostwaldis

39 Horst Steibl 39 Ende der Vorstellung

40 Horst Steibl 40 Der Kreis als Grundform: Polyarcs Welche Fläche nehmen die roten Figuren ein? Was für ein Rechteck könnte man damit legen?

41 Horst Steibl 41 Passende Legungen

42 Horst Steibl 42 Aufgaben zum Super-Tangram Lege ein Feld mit möglichst viel leerem Innenraum (Zaun)! Lege ein Feld mit möglichst geradem Außenrand Lege eine Figur und fertige eine Umrissfigur dazu. Schreibe auf, wie viele (welche) Steine du benötigt hast. Fertige Arbeitskarten für deine Mitschüler. Lege 4 Steine zu einem Tetrabolo doppelter Größe. Lege eine Tetraboloform mit dreifacher Länge. Wie viele Steine brauchst du? Worauf soll sich dann das doppelt beziehen? Lege kleine Rechtecke. Wie zählst du die Quadrate?

43 Horst Steibl 43 Die Asymmetrischen und ihre Spiegelbilder Nehmen Sie die 8 Tetrabolos, die keine Spiegelachse haben und ihre Spiegelbilder. Damit haben Sie 16 Figuren, die sich zu einem 4h x 4h Quadrat legen lassen. Eine Lösung wurde erst 1962 von Setterington und Spinks gefunden. Schwierig! Mehrere Lösungen! Diese Figur kann gedreht werden Wo ist zweite kongruente Figur zum Tauschen?

44 Horst Steibl 44 Von 1 bis Schuljahr Immer 17! Summe von 1 bis 16? Immer 34! Zauberquadrate? 2. Schuljahr


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