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Daten verwalten (2)Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische.

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Präsentation zum Thema: "Daten verwalten (2)Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische."—  Präsentation transkript:

1 Daten verwalten (2)Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche Algebra Agenda für heute, 21. November 2008

2 © Departement Informatik, ETH Zürich Daten verwalten (2): Drei Stufen der Datenverwaltung 2/25 Daten organisieren Daten speichern Daten wieder gewinnen Daten reorganisieren AnwendungInformatik Entity-Relationship-Modell Datenbanken Daten austauschen Daten umformen Abfragen (z.B. mit SQL) Logische Verknüpfungen Datenformate Standards

3 © Departement Informatik, ETH Zürich Daten organisieren, Daten speichern: Relationale Datenbank Normalisieren Relationale Operatoren (Select, Project, Join) Ursprüngliche Information Relationen Umstrukturierte Information 3/25

4 Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die InformationsgewinnungLogische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche Algebra

5 © Departement Informatik, ETH Zürich Wiedergewinnen von Information: Aussagenlogik Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen? Name in Nahrungsmittel mit Nährstoff = Eisen und Menge < 2 4/25 Aussage ausgewertet mit Tupel einer Datenbank wahr (z.B. 1.7mg Eisen) Datenbankabfrage falsch (z.B. 3.4mg Eisen)

6 © Departement Informatik, ETH Zürich Elemente der Aussagenlogik Eine Aussage hat einen Wahrheitswert ("wahr", "falsch") Aussagen können aus Teilaussagen zusammengesetzt sein Diese Teilaussagen sind durch logische Operatoren verknüpft 5/25 Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist vollständig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen und die Art der Verknüpfung gegeben.

7 © Departement Informatik, ETH Zürich Logische Operatoren Konjunktion: "sowohl p als auch q" p and q Disjunktion: "entweder p oder q" p or q Negation: "nicht p" not p 6/25 Die logischen Operanden p und q sollen Teilaussagen bezeichnen z.B. p steht für: Nährstoff = Eisen (kann wahr sein oder falsch) q steht für: Menge < 2 (kann wahr sein oder falsch)

8 Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: WahrheitstabellenWerte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche Algebra

9 © Departement Informatik, ETH Zürich Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Logische Verknüpfungen anschaulich spezifizieren Für jede mögliche Kombination von logischen Operanden wird das Resultat der Verküpfung aufgelistet 7/25 pqVerknüpfung von p mit q wwx wfx fwx ffx w = wahr, f = falsch

10 © Departement Informatik, ETH Zürich Wahrheitstabelle für die Konjunktion Die erste Zeile ist eine Kurzform für: "Falls p wahr ist und q wahr ist, dann ist p and q wahr Für alle Zeilen: wenn p dann q sonst falsch Symbole: und, and,, 8/25 pq p and q www wff fwf fff

11 © Departement Informatik, ETH Zürich Wahrheitstabelle für die Disjunktion Beachte: p or q ist nur dann falsch wenn beide Teilaussagen falsch sind Für alle: wenn p dann wahr sonst q Symbole: oder, or, +, 9/25 pq p or q www wfw fww fff

12 © Departement Informatik, ETH Zürich Beispiele Rosen sind rot and Veilchen sind blau ist wahr 10/25 Rosen sind rot and Veilchen sind grün ist falsch Rosen sind rot or Veilchen sind blau ist wahr Rosen sind rot or Veilchen sind grün ist wahr Rosen sind silbrig or Veilchen sind grün ist falsch wahr and wahr wahr and falsch wahr or wahr wahr or falsch falsch or falsch

13 © Departement Informatik, ETH Zürich Wahrheitstabelle für die Negation Symbole: nicht, not, ¬ 11/25 Vorrangregelung der logischen Operatoren : 1. not 2. and 3. or 4. Vergleiche Kann durch Setzen von Klammern aufgehoben werden p not p wf fw p or q and r (p or q) and r

14 © Departement Informatik, ETH Zürich Bemerkungen zur Disjunktion Umgangssprachlich bedeutet "oder" meistens: p oder q oder beide (sie ist intelligent oder sie studiert jede Nacht) p or q bedeutet immer "p oder q oder beide" (siehe Wahrheitstabelle) manchmal bedeutet "oder" jedoch: p oder q aber nicht beide (sie telefoniert aus Basel oder aus Genf) für diese Bedeutung wird die exklusive Disjunktion (xor) angewandt 12/25 Beachte: p xor q ist dann falsch wenn beide Teilaussagen entweder falsch oder richtig sind. pq p xor q wwf wfw fww fff

15 © Departement Informatik, ETH Zürich Disjunktion oder exklusive Disjunktion? 13/25 Genauer: drink and < 1 Glas xor drive Genauer: drink xor driveAber stimmt das? Genauer: (drink and 1 Glas and drive) or (drink and > 1 Glas and not drive) Stimmts jetzt?

16 © Departement Informatik, ETH Zürich Das neue Plakat © Raphael Theiler 14/25

17 © Departement Informatik, ETH Zürich Ein paar Spezialfälle Logische Äquivalenzen not p or not q not ( p and q ) (de Morgan) not p and not q not ( p or q ) 15/25 pnot p p or not p wfw fww pnot p p and not p wff fwf Tautologie p or not p Widerspruch p and not p

18 Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werete von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von AbfragenGrafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche Algebra

19 © Departement Informatik, ETH Zürich Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen Alle Nahrungsmittel mit Eisen Alle Nahrungsmittel mit Zink 16/25 Logischer Ausdruck ( Menge < 2 mg ) and ( Nährstoff = Eisen ) or ( Nährstoff = Zink ) Mengendiagramme Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen oder Zink? Alle Nahrungsmittel mit Menge < 2 mg

20 © Departement Informatik, ETH Zürich Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen Eisen 17/25 Menge and Eisen Zink Menge ( Menge < 2 mg ) and ( Nährstoff = Eisen ) or ( Nährstoff = Zink )

21 © Departement Informatik, ETH Zürich Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen 18/25 Logischer Ausdruck ( Nährstoff = Eisen ) and ( Menge < 2 mg ) or ( Nährstoff = Zink ) and ( Menge < 2 mg ) Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen oder weniger als 2 mg Zink?

22 © Departement Informatik, ETH Zürich Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke < 2 mgEisenZink Eisen or Zink(Eisen or Zink) and < 2 mg WWWWW WWFWW WFWWW WFFFF FWWWF FWFWF FFWWF FFFFF 19/25 ( Menge < 2 mg ) and (( Nährstoff = Eisen ) or ( Nährstoff = Zink ))

23 © Departement Informatik, ETH Zürich Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke < 2 mgEisenZink < 2 mg and Eisen or Zink WWWWW WWFWW WFWFW WFFFF FWWFW FWFFF FFWFW FFFFF 20/25 ( Menge < 2 mg ) and ( Nährstoff = Eisen ) or ( Nährstoff = Zink )

24 Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche AlgebraBoolesche Algebra

25 © Departement Informatik, ETH Zürich Boolesche Algebra Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen " " und "+" heisst Boolesche* Algebra, wenn für alle x, y, z M gilt: (1) x (y z) = (x y) z;Assoziativ (2) x + (y + z) = (x + y) + z;Assoziativ (3) x y = y x;Kommutativ (4) x + y = y + x;Kommutativ (5) x (x + y) = x;Absorption (6) x + (x y) = x;Absorption (8) x (y + z) = (x y) + (x z);Distributiv (8) x + (y z) = (x + y) (x + z);Distributiv 21/25 * nach George Boole, englischer Mathematiker, 1815 – 1864

26 © Departement Informatik, ETH Zürich Boolesche Algebra (9)es gibt ein Element 0 M mit 0 x = 0 und 0 + x = x für alle x M ; Neutrales Element (10) es gibt ein Element 1 M mit 1 x = x und 1 + x = x für alle x M ; Neutrales Element (11) zu jedem x M existiert genau ein y M mit x y = 0 und x + y = 1; Komplementäres Element 22/25 Wir ersetzen "wahr" mit "1" und "falsch" mit "0" und wenden die Boolesche Algebra auf logische Ausdrücke an.

27 © Departement Informatik, ETH Zürich Vereinfachung logischer Ausdrücke 23/25 Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane Wir möchten einen Fruchtsalat mit Ananas und Bananen oder mit Ananas und keinen Bananen oder mit keinen Ananas und keinen Bananen. Können wir das einfacher sagen? Was sagen wir überhaupt?

28 © Departement Informatik, ETH Zürich Vereinfachung logischer Ausdrücke 1.(A B) + (A ¬B) + (¬A ¬B) 2.[A (B + ¬B)] + (¬A ¬B) Distributivgesetz 3.(A 1) + (¬A ¬B) komplementäres Element bez. + 4.A + (¬A ¬B) neutrales Element bez. 5.(A + ¬A) (A + ¬B) Distributivgesetz 6.1 (A + ¬B) komplementäres Element bez A + ¬B neutrales Element bez. Aber... sind der 1. und der 7. Ausdruck auch äquivalent? 24/25 Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane Ananas oder keine Banane

29 © Departement Informatik, ETH Zürich Verifizierung logischer Ausdrücke 25/25 AB((A B) + (A ¬B)) + (¬A ¬B) Schritt: ABA + ¬B Schritt:121 Reihenfolge: 1.Aussage 2.Logischer Ausdruck (Symbole) 3.Boolesche Algebra 4.Ausdruck evaluieren 1. Ausdruck: 7. Ausdruck:

30 Wir wünschen Ihnen ein schönes Wochenende


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