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Daten verwalten (2)Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische.

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1 Daten verwalten (2)Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche Algebra Agenda für heute, 29. April 2009

2 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Daten verwalten (2): Drei Stufen der Datenverwaltung 2/25 Daten organisieren Daten speichern Daten wieder gewinnen Daten reorganisieren AnwendungInformatik Entity-Relationship-Modell Datenbanken Daten austauschen Daten umformen Abfragen (z.B. mit SQL) Logische Verknüpfungen Datenformate Standards

3 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Daten organisieren, Daten speichern: Relationale Datenbank Normalisieren Relationale Operatoren (Select, Project, Join) Ursprüngliche Information Relationen Umstrukturierte Information 3/25

4 Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die InformationsgewinnungLogische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche Algebra

5 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Wiedergewinnen von Information: Aussagenlogik Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen? Name in Nahrungsmittel mit Nährstoff = Eisen und Menge < 2 4/25 Aussage ausgewertet mit Tupel einer Datenbank wahr (z.B. 1.7mg Eisen) Datenbankabfrage falsch (z.B. 3.4mg Eisen)

6 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Elemente der Aussagenlogik Eine Aussage hat einen Wahrheitswert ("wahr", "falsch") Aussagen können aus Teilaussagen zusammengesetzt sein Diese Teilaussagen sind durch logische Operatoren verknüpft 5/25 Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist vollständig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen und die Art der Verknüpfung gegeben.

7 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Logische Operatoren Konjunktion: "sowohl p als auch q" p and q Disjunktion: "entweder p oder q" p or q Negation: "nicht p" not p 6/25 Die logischen Operanden p und q sollen Teilaussagen bezeichnen z.B. p steht für: Nährstoff = Eisen (kann wahr sein oder falsch) q steht für: Menge < 2 (kann wahr sein oder falsch)

8 Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: WahrheitstabellenWerte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche Algebra

9 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Logische Verknüpfungen anschaulich spezifizieren Für jede mögliche Kombination von der logischen Operanden wird das Resultat der Verküpfung aufgelistet 7/25 pqVerknüpfung von p mit q wwx wfx fwx ffx w = wahr, f = falsch

10 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Wahrheitstabelle für die Konjunktion Die erste Zeile ist eine Kurzform für: "Falls p wahr ist und q wahr ist, dann ist p and q wahr Für alle Zeilen: wenn p dann q sonst falsch Symbole: und, and,, 8/25 pq p and q www wff fwf fff

11 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Wahrheitstabelle für die Disjunktion Beachte: p or q ist nur dann falsch wenn beide Teilaussagen falsch sind Für alle: wenn p dann wahr sonst q Symbole: oder, or, +, 9/25 pq p or q www wfw fww fff

12 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Beispiele Eisen ist magnetisch and Gold ist gelb ist wahr 10/25 Eisen ist magnetisch and Gold ist magnetisch ist falsch Eisen ist magnetisch or Gold ist gelb ist wahr Eisen ist magnetisch or Gold ist magnetisch ist wahr Eisen ist gelb or Gold ist magnetisch ist falsch

13 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Wahrheitstabelle für die Negation Symbole: nicht, not, ¬ 11/25 Vorrangregelung der logischen Operatoren : 1. not 2. and 3. or 4. Vergleiche Kann durch Setzen von Klammern aufgehoben werden p not p wf fw p or q and r (p or q) and r

14 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Bemerkungen zur Disjunktion Umgangssprachlich bedeutet "oder" meistens: p oder q oder beide (sie ist intelligent oder sie studiert jede Nacht) p or q bedeutet immer "p oder q oder beide" (siehe Wahrheitstabelle) manchmal bedeutet "oder" jedoch: p oder q aber nicht beide (sie telefoniert aus Basel oder aus Genf) für diese Bedeutung wird die exklusive Disjunktion (xor) angewandt 12/25 Beachte: p xor q ist dann falsch wenn beide Teilaussagen entweder falsch oder richtig sind. pq p xor q wwf wfw fww fff

15 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Disjunktion oder exklusive Disjunktion? 13/25 Genauer: drink and < 1 Glas xor drive Genauer: drink xor driveAber stimmt das? Genauer: (drink and 1 Glas and drive) or (drink and > 1 Glas and not drive) Stimmts jetzt?

16 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Das neue Plakat © Raphael Theiler 14/25

17 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Ein paar Spezialfälle Logische Äquivalenzen not p or not q not ( p and q ) (de Morgan) not p and not q not ( p or q ) 15/25 pnot p p or not p wfw fww pnot p p and not p wff fwf Tautologie p or not p Widerspruch p and not p

18 Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werete von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von AbfragenGrafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche Algebra

19 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen Alle Nahrungsmittel mit Eisen Alle Nahrungsmittel mit Zink 16/25 Logischer Ausdruck ( Menge < 2 mg ) and ( Nährstoff = Eisen ) or ( Nährstoff = Zink ) Mengendiagramme Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen oder Zink? Alle Nahrungsmittel mit Menge < 2 mg

20 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen Eisen 17/25 Menge and Eisen Zink Menge ( Menge < 2 mg ) and ( Nährstoff = Eisen ) or ( Nährstoff = Zink )

21 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen 18/25 Logischer Ausdruck ( Nährstoff = Eisen ) and ( Menge < 2 mg ) or ( Nährstoff = Zink ) and ( Menge < 2 mg ) Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen oder weniger als 2 mg Zink?

22 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke < 2 mgEisenZink Eisen or Zink(Eisen or Zink) and < 2 mg WWWWW WWFWW WFWWW WFFFF FWWWF FWFWF FFWWF FFFFF 19/25 ( Menge < 2 mg ) and (( Nährstoff = Eisen ) or ( Nährstoff = Zink ))

23 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke < 2 mgEisenZink < 2 mg and Eisen or Zink WWWWW WWFWW WFWFW WFFFF FWWFW FWFFF FFWFW FFFFF 20/25 ( Menge < 2 mg ) and ( Nährstoff = Eisen ) or ( Nährstoff = Zink )

24 Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche AlgebraBoolesche Algebra

25 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Boolesche Algebra Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen " " und "+" heisst Boolesche* Algebra, wenn für alle x, y, z M gilt: (1) x (y z) = (x y) z;Assoziativ (2) x + (y + z) = (x + y) + z;Assoziativ (3) x y = y x;Kommutativ (4) x + y = y + x;Kommutativ (5) x (x + y) = x;Absorption (6) x + (x y) = x;Absorption (8) x (y + z) = (x y) + (x z);Distributiv (8) x + (y z) = (x + y) (x + z);Distributiv 21/25 * nach George Boole, englischer Mathematiker, 1815 – 1864

26 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Boolesche Algebra (9)es gibt ein Element 0 M mit 0 x = 0 und 0 + x = x für alle x M ; Neutrales Element (10) es gibt ein Element 1 M mit 1 x = x und 1 + x = x für alle x M ; Neutrales Element (11) zu jedem x M existiert genau ein y M mit x y = 0 und x + y = 1; Komplementäres Element 22/25 Wir ersetzen "wahr" mit "1" und "falsch" mit "0" und wenden die Boolesche Algebra auf logische Ausdrücke an.

27 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Vereinfachung logischer Ausdrücke 23/25 Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane Wir möchten einen Fruchtsalat mit Ananas und Bananen oder mit Ananas und keinen Bananen oder mit keinen Ananas und keinen Bananen. Können wir das einfacher sagen? Was sagen wir überhaupt?

28 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Vereinfachung logischer Ausdrücke 1.(A B) + (A ¬B) + (¬A ¬B) 2.[A (B + ¬B)] + (¬A ¬B) Distributivgesetz 3.(A 1) + (¬A ¬B) komplementäres Element bez. + 4.A + (¬A ¬B) neutrales Element bez. 5.(A + ¬A) (A + ¬B) Distributivgesetz 6.1 (A + ¬B) komplementäres Element bez A + ¬B neutrales Element bez. Aber... sind der 1. und der 7. Ausdruck auch äquivalent? 24/25 Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane Ananas oder keine Banane

29 Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich Verifizierung logischer Ausdrücke 25/25 AB((A B) + (A ¬B)) + (¬A ¬B) Schritt: ABA + ¬B Schritt:121 Reihenfolge: 1.Aussage 2.Logischer Ausdruck (Symbole) 3.Boolesche Algebra 4.Ausdruck evaluieren 1. Ausdruck: 7. Ausdruck:

30 Danke für Ihre Aufmerksamkeit


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