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1 (C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Grundgedanke der FEM Das zu berechnende Tragwerk wird in eine grössere Anzahl von Elementen.

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1 1 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Grundgedanke der FEM Das zu berechnende Tragwerk wird in eine grössere Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren statischen Eigenschaften zerlegt und diese dann unter Wahrung der kinematischen Verträglichkeitsbedingungen und anderer statischer Gleichgewichtsbedingungen zu einem komplexen Gesamtsystem zusammengeführt.

2 2 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz FEM als statisches Berechnungsverfahren Kraftgrössenverfahren –Kräfte und Momente Verschiebungsgrössenverfahren –Verschiebungen und Verdrehungen Formulierung in Matrizenschreibweise in der Regel lineares Gleichungssystem

3 3 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Benötigte Angaben Geometrie des Tragwerks Auflagerbedingungen Materialeigenschaften Lasteinwirkungen

4 4 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Lasteinwirkungen verteilte äussere Kräfte konzentrierte äussere Kräfte initiale Verzerrungen (von externen Einwirkungen) vorgeschriebene Rand- und Auflagerverschiebungen beschleunigungsproportionale Massenkräfte (z.B. Eigengewicht)

5 5 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Methode Erarbeiten eines mathematischen Modells auf Grund der physikalischen Wirklichkeit.

6 6 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Knotenpunkte, Freiheitsgrade, Finite Elemente

7 7 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Verschiebungsgrössenverfahren Voraussetzung: lineares Tragwerk das ergibt ein lineares Gleichungssystem mit den Knotenverschiebungen und -verdrehungen als Unbekannte.

8 8 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Lastvektor und Verschiebungsvektor Die in einem Knotenpunkt angreifenden Kräfte und Momente werden zum Lastvektor F zusammengefasst. Die Knotenverschiebungen und -verdrehungen werden zum Verschiebungsvektor u zusammengefasst. Es gilt: F = Ku K ist die Systemsteifigkeitsmatrix

9 9 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Beispiel 3-4

10 10 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Das lineare Gleichungssystem K u = F

11 11 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Vorgehensweise numerische Erfassung des Tragverhaltens jedes einzelnen finiten Elements ( lokale Elementsteifigkeitsmatrizen) Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix und des Lastvektors Lösung der globalen Systemgleichungen Ermittlung der Auflagerkräfte Berechnung der Elementspannungen

12 12 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Beispiel 3-5

13 13 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Statisches System

14 14 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Knotenverschiebungen

15 15 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Koordinatensysteme

16 16 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Koinzidenztabelle ElementnummerAnfangspunkt (1)Endpunkt (2)

17 17 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Knotenkräfte

18 18 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Ku = F Das System hat 5 Freiheitsgrade. Zur Ermittlung der Systemsteifigkeitsmatrix K benötigt man die Elementsteifigkeitsmatrizen

19 19 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Der Fachwerkstab Es soll die Elementsteifigkeitsmatrix eines Fachwerkstabes hergeleitet werden, und zwar in einem lokalen Bezugssystem. Der Fachwerkstab hat einen Querschnitt A, die Länge l und sein Material hat den Elastizitätsmodul E. Entlang der Länge des Stabes wirkt die Normalkraft N und bewirkt eine Verlängerung.

20 20 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Der Fachwerkstab

21 21 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Die Spannungsmatrix S Für die Verlängerung gilt: Gleichzeitig ist: Damit folgt:

22 22 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Die Elementsteifigkeitsmatrix Die Elementsteifgkeitsmatrix ist aus den angreifenden Kräften und den Verschiebungen schnell angesetzt: in Matrixform:

23 23 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Koordinatentransformation Beim Fachwerkstab werden beide Knoten transformiert. Das führt zu: u e (lok) = Tu e

24 24 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Transformation der Kräfte Für die Kräfte an den Stabenden gilt also: F e = T TF e (lok)

25 25 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Folgerungen Es gilt im lokalen System:F e (lok) = K e (lok)u e (lok) Einsetzen von: u e (lok) = Tu e führt zuF e (lok) = K e (lok) Tu e Somit gilt:F e = T TF e (lok) = T T K e (lok) Tu e Daraus kann man ablesen, dass die Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten folgende ist: K e = T TK e (lok)T

26 26 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Elementsteifigkeitsmatrix für den Fachwerkstab

27 27 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Die Spannungsmatrix für den Fachwerkstab N = S e (lok)u e (lok) Mit u e (lok) = Tu e erhält man: N = S eu e = S e (lok)Tu Somit gilt:

28 28 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Aufgabe Es sind alle Elemetsteifigkeitsmatrizen und die Spannungsmatrizen für alle Elemente in globalen Koordinaten aufzuschreiben.

29 29 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Die Systemsteifigkeitsmatrix Vorgehensweise: Anpassen der Verschiebungsgrössen der einzelnen Elemente an diejenigen des Knotenpunktes (Kompatibilitätsbedingungen) Gleichgewichtsbedingungen in den Knotenpunkten K fu f =F f

30 30 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz K f =

31 31 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Koinzidenztabelle ElementnummerAnfangspunkt (1)Endpunkt (2)

32 32 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Auflagerbedingungen Hier gilt: v 3 = 0, u 4 = 0, v 4 = 0 Damit werden in K f die letzten 3 Spalten mit Nullen besetzt und man kann sie streichen. Der Rang der Matrix K f ist 5. Gestrichen werden die Zeilen, die den festgehaltenen Freiheitsgraden entsprechen, da rechts die Auflagerkräfte unbekannt sind.

33 33 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Gleichungssystem

34 34 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Lösung des Gleichungssystems Zuerst wird das erste Gleichungssystem gelöst. Das ergibt die Werte für u 1, v 1, u 2, v 2 und u 3. Diese Lösungen werden in das zweite Gleichungssystem eingesetzt und man kann die Auflagerkräfte in den Knoten 3 und 4 berechnen.

35 35 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Lösungen

36 36 (C) , Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Elementkräfte Die an den Elementen angreifenden Kräfte können mit den Spannungsmatrizen berechnet werden. Es gilt: N=S eu e


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