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Grundgedanke der FEM Das zu berechnende Tragwerk wird in eine grössere Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren statischen Eigenschaften zerlegt.

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Präsentation zum Thema: "Grundgedanke der FEM Das zu berechnende Tragwerk wird in eine grössere Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren statischen Eigenschaften zerlegt."—  Präsentation transkript:

1 Grundgedanke der FEM Das zu berechnende Tragwerk wird in eine grössere Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren statischen Eigenschaften zerlegt und diese dann unter Wahrung der kinematischen Verträglichkeitsbedingungen und anderer statischer Gleichgewichtsbedingungen zu einem komplexen Gesamtsystem zusammengeführt.

2 FEM als statisches Berechnungsverfahren
Kraftgrössenverfahren Kräfte und Momente Verschiebungsgrössenverfahren Verschiebungen und Verdrehungen Formulierung in Matrizenschreibweise in der Regel lineares Gleichungssystem

3 Benötigte Angaben Geometrie des Tragwerks Auflagerbedingungen
Materialeigenschaften Lasteinwirkungen

4 Lasteinwirkungen verteilte äussere Kräfte konzentrierte äussere Kräfte
initiale Verzerrungen (von externen Einwirkungen) vorgeschriebene Rand- und Auflagerverschiebungen beschleunigungsproportionale Massenkräfte (z.B. Eigengewicht)

5 Methode Erarbeiten eines mathematischen Modells auf Grund der physikalischen Wirklichkeit.

6 Knotenpunkte, Freiheitsgrade, Finite Elemente

7 Verschiebungsgrössenverfahren
Voraussetzung: lineares Tragwerk das ergibt ein lineares Gleichungssystem mit den Knotenverschiebungen und -verdrehungen als Unbekannte.

8 Lastvektor und Verschiebungsvektor
Die in einem Knotenpunkt angreifenden Kräfte und Momente werden zum Lastvektor F zusammengefasst. Die Knotenverschiebungen und -verdrehungen werden zum Verschiebungsvektor u zusammengefasst. Es gilt: F = K•u K ist die Systemsteifigkeitsmatrix

9 Beispiel 3-4

10 Das lineare Gleichungssystem
K • u = F

11 Vorgehensweise numerische Erfassung des Tragverhaltens jedes einzelnen finiten Elements ( lokale Elementsteifigkeitsmatrizen) Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix und des Lastvektors Lösung der globalen Systemgleichungen Ermittlung der Auflagerkräfte Berechnung der Elementspannungen

12 Beispiel 3-5

13 Statisches System

14 Knotenverschiebungen

15 Koordinatensysteme

16 Koinzidenztabelle Elementnummer Anfangspunkt (1) Endpunkt (2) 1 2 3 4
5 6

17 Knotenkräfte

18 K•u = F Das System hat 5 Freiheitsgrade.
Zur Ermittlung der Systemsteifigkeitsmatrix K benötigt man die Elementsteifigkeitsmatrizen

19 Der Fachwerkstab Es soll die Elementsteifigkeitsmatrix eines Fachwerkstabes hergeleitet werden, und zwar in einem lokalen Bezugssystem. Der Fachwerkstab hat einen Querschnitt A, die Länge l und sein Material hat den Elastizitätsmodul E. Entlang der Länge des Stabes wirkt die Normalkraft N und bewirkt eine Verlängerung .

20 Der Fachwerkstab

21 Die Spannungsmatrix S Für die Verlängerung  gilt: Gleichzeitig ist:
Damit folgt:

22 Die Elementsteifigkeitsmatrix
Die Elementsteifgkeitsmatrix ist aus den angreifenden Kräften und den Verschiebungen schnell angesetzt: in Matrixform:

23 Koordinatentransformation
Beim Fachwerkstab werden beide Knoten transformiert. Das führt zu: ue(lok) = T•ue

24 Transformation der Kräfte
Für die Kräfte an den Stabenden gilt also: Fe = TT•Fe(lok)

25 Folgerungen Es gilt im lokalen System: Fe(lok) = Ke(lok)•ue(lok)
Einsetzen von: ue(lok) = T•ue führt zu Fe(lok) = Ke(lok)• T•ue Somit gilt: Fe = TT•Fe(lok) = TT• Ke(lok)• T•ue Daraus kann man ablesen, dass die Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten folgende ist: Ke = TT•Ke(lok)•T

26 Elementsteifigkeitsmatrix für den Fachwerkstab

27 Die Spannungsmatrix für den Fachwerkstab
N = Se(lok)•ue(lok) Mit ue(lok) = T•ue erhält man: N = Se•ue = Se(lok)•T•u Somit gilt:

28 Aufgabe Es sind alle Elemetsteifigkeitsmatrizen und die Spannungsmatrizen für alle Elemente in globalen Koordinaten aufzuschreiben.

29 Die Systemsteifigkeitsmatrix
Vorgehensweise: Anpassen der Verschiebungsgrössen der einzelnen Elemente an diejenigen des Knotenpunktes (Kompatibilitätsbedingungen) Gleichgewichtsbedingungen in den Knotenpunkten Kf•uf=Ff

30 Kf =

31 Koinzidenztabelle Elementnummer Anfangspunkt (1) Endpunkt (2) 1 2 3 4
5 6

32 Auflagerbedingungen Hier gilt: v3 = 0, u4 = 0, v4 = 0
Damit werden in Kf die letzten 3 Spalten mit Nullen besetzt und man kann sie streichen. Der Rang der Matrix Kf ist 5. Gestrichen werden die Zeilen, die den festgehaltenen Freiheitsgraden entsprechen, da rechts die Auflagerkräfte unbekannt sind.

33 Gleichungssystem

34 Lösung des Gleichungssystems
Zuerst wird das erste Gleichungssystem gelöst. Das ergibt die Werte für u1, v1, u2, v2 und u3. Diese Lösungen werden in das zweite Gleichungssystem eingesetzt und man kann die Auflagerkräfte in den Knoten 3 und 4 berechnen.

35 Lösungen

36 Elementkräfte Die an den Elementen angreifenden Kräfte können mit den Spannungsmatrizen berechnet werden. Es gilt: N=Se•ue


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