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Hands on Mathematik Stetigkeit & Differenzierbarkeit Björn Gehl & Hideo Sato.

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Präsentation zum Thema: "Hands on Mathematik Stetigkeit & Differenzierbarkeit Björn Gehl & Hideo Sato."—  Präsentation transkript:

1 Hands on Mathematik Stetigkeit & Differenzierbarkeit Björn Gehl & Hideo Sato

2 Übersicht Stetigkeit Differenzierbarkeit Zusammenhang: Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit Zusammenhang: Stetigkeit impliziert nicht Differenzierbarkeit Verständnisprobleme

3 Intuition: Graph zeichen, ohne abzusetzen Sei I IR ein Intervall und f : I IR eine Funktion. Dann heißt f stetig im Punkt x n I, wenn für jede konvergente Folge (x n ) n IN mit x n I für alle n und lim x n = x n gilt: lim f(x n ) = f(x 0 ) Ist die Funktion f in jedem Punkt von I stetig, so heißt die Funktion f stetig auf I. Definition Stetigkeit

4 Differenzierbarkeit Intuition: Graph enthält keine Knicke f(x) = x 2 :

5 Sei J die Menge aller Punkte des Intervalls (x-a, x+a) ungleich x mit x,a IR. f heißt an der Stelle x differenzierbar, wenn es c IR mit folgender Eigenschaft gibt: Für jede Folge (x 1, x 2,...) reeller Zahlen x J, die gegen x konvergiert: Definition Differenzierbarkeit

6 Beispiel: Differenzierbar (1) f= f oszilliert nahe der 0 stark jedoch f ist differenzierbar. -0,5 < x < ,02 < x < 0.02 x 2 sin(1/x) wenn x 0 0wenn x=0

7 Beispiel Differenzierbar (2) Bew.: x 0, f '(x) = 2x sin(1/x) - cos(1/x). (Produkt- und der Kettenregel) x = 0 Sei (x n ) eine Folge reeller Zahlen x n 0, die gegen 0 konvergiert. Dann ist (f (x n ) - f (0))/(x n - 0) = x n sin(1/x n ). Da der Sinus-Anteil immer zwischen -1 und 1 beschränkt bleibt, konvergiert bei dieser Folge der Differenzenquotienten gegen 0, bei bel. gewählter Folge (x n ) f überall differenzierbar.

8 Beweis: Diffbarkeit impliziert Stetigkeit Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit: Satz: Wenn f in a differenzierbar ist, so ist f auch in a stetig. Beweis: = f(a) * 0 = 0 man sieht: f ist in a stetig.

9 Intuition: Graph zeichnen, ohne abzusetzen, Graph enthält jedoch Knicke. Stetigkeit impliziert nicht Differenzierbarkeit

10 Beispiel: stetig und nicht differenzierbar (1) g(x) = Sägezahnfunktion Im Intervall -1 < x < 1 wird g definiert durch f(x) = 1 - |x| Außerhalb wird f periodisch fortgesetzt. f ist überall stetig. Der Graph besitzt an allen ganzzahligen Vielfachen die Knicke. An diesen Stellen ist g nicht differenzierbar.

11 Beispiel: stetig und nicht differenzierbar (2) f=

12 Beweis: stetig und nicht differenzierbar f= ist in 0 stetig. Sie ist aber nicht differenzierbar, denn es gilt für n 0 hat in 0 keinen Grenzwert. f ist nicht differenzierbar Obwohl nicht jede stetige Funktion differenzierbar ist, ist jede differenzierbare Funktion stetig.

13 Bis ins 19. Jahrhundert glaubte man: Stetigkeit impliziert Differenzierbarkeit. Anschauung: eine stetige Funktion besitzt überall eine Tangente Auflösung des Problems: scharfe Definition von Stetigkeit und Differenzierbarkeit ermöglicht Beweis Verständnisprobleme (1)

14 Intuitive Vorstellung von Stetigkeit reicht nicht um den Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit zu verstehen => Verstehen der jeweiligen Definitionen und deren Zusammenhang mit Beispielen und Gegenbeispielen, Beweisen und Gegenbeweisen Verständnisprobleme (2)


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