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Kapitel 3.4: Kalorische Zustands-gleichung für die innere Energie

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Präsentation zum Thema: "Kapitel 3.4: Kalorische Zustands-gleichung für die innere Energie"—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 3.4: Kalorische Zustands-gleichung für die innere Energie
Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 1

2 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
• Die spezifische innere Energie u ist eine neue Zustandsgröße, die von T und v abhängt: u = u(T; v) • Im 1. Hauptsatz benötigen wir die Änderung der inneren Energie als Funktion von T und v: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 2

3 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
• Δu kann berechnet werden über: • du ist das (totale) Differential der Funktion u(T; v) • Wie wird du bestimmt? Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 3

4 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Erinnern Sie sich? • Sekanten-Ordinatenzuwachs Δy einer Funktion y=y(x): y=y(x) Sekante im Punkt (x0; y0) y Im Steigungsdreieck gilt: Δy Δy=tan(α)∙Δx α y0 Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x 4

5 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
• Der Sekanten-Ordinatenzuwachs Δy geht über in den Tangenten- Ordinatenzuwachs dy, das (totale) Differential der Funktion y=y(x) Tangente im Punkt (x0; y0) Sekante im Punkt (x0; y0) y Δy dy=tan(α0)∙dx y0+dy α0 dy α y0 y0 Δx dx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0 x0+dx x 5

6 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
• Für Δx → 0 y Δy=tan(α)∙Δx α y0 Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x

7 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

8 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

9 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

10 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

11 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

12 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

13 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

14 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

15 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

16 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

17 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

18 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

19 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

20 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

21 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

22 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

23 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

24 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

25 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

26 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

27 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Für Δx → 0 y0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 x0+Δx

28 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
• Für dx → 0 gibt der Tangenten-Ordinatenzuwachs dy den Funktionszuwachs im Punkt (x0; y0) an • dy wird (totales) Differential der Funktion y=y(x) genannt. dy=tan(α0)∙dx α0 dy=Δydx y0 dx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0 28

29 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
wird als Ableitung der Funktion y(x) an der Stelle (x0; y0) bezeichnet. • Bildung der Ableitung einer Funktion: man erhöht die unabhängige Variable x0 → x0+dx und erhält Funktionszuwachs: dy = Δydx • Das Verhältnis der beiden Größen ist der Tangens des Steigungswinkels im Punkt (x0; y0). y0 x0 dx dy=Δydx α0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke x0+dx 29

30 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
• Die Funktion u hängt von zwei Variablen ab: u = u(T; v) gibt zwei Änderungen: eine Änderung ΔudT bei Änderung der Variablen T0 → T0+dT eine Änderung Δudv bei Änderung der Variablen v0 → v0+dv • Die gesamte (totale) Änderung du der Funktion setzt sich additiv aus den beiden Änderungen zusammen: du = ΔudT + Δudv • Diese vollständige Änderung wird totales Differential der Funktion u(T; v) genannt Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 30

31 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
• Die Teil-Änderungen ΔudT setzt sich aus der Steigung tan(α0) multipliziert mit der Schrittweite dT zusammen: ΔudT =tan(α0)∙dT • Die Steigung entspricht der (Teil-)Ableitung der Funktion u(T; v) nach T bei festem v = v0 und heißt partielle Ableitung der Funktion u(T; v) nach T bei konstantem v • Geschrieben wird sie mit „runden“ D´s zur Unterscheidung von totalen Ableitungen: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 31

32 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
Totales Differential der inneren Energie u = u(T; v) u u0 + ΔudT+Δudv u(T0+dT; v0+dv) u0+du u0 α0 β0 T0 v0 dv tan(α0) dT tan(β0) u0 T0+dT v0+dv v Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke T 32

33 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
• Für die meisten technisch relevanten Stoffe ist die Änderung von u unabhängig von v • Für alle diese Fälle gilt also: • Die partielle Ableitung: gibt an, wieviel Energie im Stoff gespeichert wird, wenn die Temperatur des Stoffs um 1K erhöht wird Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 33

34 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
• wird spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen genannt: • cv ist eine Stoffwert, der aus Tabellen entnommen werden kann oder mit Hilfe von Tabellenwerten berechnet wird Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 34

35 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
• Für die meisten festen und flüssigen Stoffe gilt: cv = cv(T) und damit u = u(T) fast immer gilt: (Berechnungsmethoden kommen später) Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 35

36 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie
• Für inkompressible Fluide und Ideale Gase gilt exakt: u = u(T) • Für kleine Temperaturunterschiede ist cv näherungsweise konstant: u2 – u1 = cv∙(T2 – T1) = cv∙(t2 – t1) (bei uns häufigster Anwendungsfall) • Alle Beziehungen gelten auch für ZÄ mit veränderlichem Volumen! Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 36


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