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1 Kapitel 3.4:Kalorische Zustands- gleichung für die innere Energie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie.

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1 1 Kapitel 3.4:Kalorische Zustands- gleichung für die innere Energie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

2 2 u = u(T; v) Im 1. Hauptsatz benötigen wir die Änderung der inneren Energie als Funktion von T und v: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Die spezifische innere Energie u ist eine neue Zustandsgröße, die von T und v abhängt:

3 3 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie Δu kann berechnet werden über: du ist das (totale) Differential der Funktion u(T; v) Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Wie wird du bestimmt?

4 4 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie Erinnern Sie sich? Sekanten-Ordinatenzuwachs Δy einer Funktion y=y(x): y0y0 x0x0 y x ΔxΔx Δy=tan( α )Δx α Im Steigungsdreieck gilt: ΔyΔy y=y(x) Sekante im Punkt (x 0 ; y 0 ) Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5 5 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 Der Sekanten-Ordinatenzuwachs Δy geht über in den Tangenten- Ordinatenzuwachs dy, das (totale) Differential der Funktion y=y(x) dx dy α0α0 y0y0 x0x0 y x ΔxΔx α ΔyΔy x 0 +dx y 0 +dy Tangente im Punkt (x 0 ; y 0 )Sekante im Punkt (x 0 ; y 0 ) dy=tan( α 0 )dx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

6 6 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 y x ΔxΔx Δy=tan( α )Δx α Für Δx 0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

7 7 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

8 8 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 Für Δx 0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

9 9 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

10 10 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

11 11 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

12 12 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

13 13 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

14 14 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

15 15 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

16 16 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

17 17 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

18 18 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

19 19 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

20 20 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

21 21 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

22 22 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

23 23 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

24 24 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

25 25 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

26 26 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

27 27 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 x0+Δxx0+Δx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für Δx 0

28 28 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie y0y0 x0x0 Für dx 0 gibt der Tangenten-Ordinatenzuwachs dy den Funktionszuwachs im Punkt (x 0 ; y 0 ) an dx dy=Δy dx α0α0 dy=tan( α 0 )dx Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke dy wird (totales) Differential der Funktion y=y(x) genannt.

29 29 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie wird als Ableitung der Funktion y(x) an der Stelle (x 0 ; y 0 ) bezeichnet. Bildung der Ableitung einer Funktion: man erhöht die unabhängige Variable x 0 x 0 +dx und erhält Funktionszuwachs: dy = Δy dx y0y0 x0x0 dx dy=Δy dx α0α0 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Das Verhältnis der beiden Größen ist der Tangens des Steigungswinkels im Punkt (x 0 ; y 0 ). x 0 +dx

30 30 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie Die Funktion u hängt von zwei Variablen ab: u = u(T; v) gibt zwei Änderungen: eine Änderung Δu dT bei Änderung der Variablen T 0 T 0 +dT eine Änderung Δu dv bei Änderung der Variablen v 0 v 0 +dv du = Δu dT + Δu dv Diese vollständige Änderung wird totales Differential der Funktion u(T; v) genannt Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Die gesamte (totale) Änderung du der Funktion setzt sich additiv aus den beiden Änderungen zusammen:

31 31 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie Die Steigung entspricht der (Teil-)Ableitung der Funktion u(T; v) nach T bei festem v = v 0 und heißt partielle Ableitung der Funktion u(T; v) nach T bei konstantem v Die Teil-Änderungen Δu dT setzt sich aus der Steigung tan(α 0 ) multipliziert mit der Schrittweite dT zusammen: Geschrieben wird sie mit runden D´s zur Unterscheidung von totalen Ableitungen: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Δu dT =tan(α 0 ) dT

32 32 u(T 0 +dT; v 0 +dv) 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie Totales Differential der inneren Energie u = u(T; v) u0u0 u 0 + Δu dT +Δu dv T v dT dv u T0T0 v0v0 T 0 +dT v 0 +dv α0α0 tan(α 0 ) β0β0 tan(β 0 ) u 0 +du Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke u0u0

33 33 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie Für die meisten technisch relevanten Stoffe ist die Änderung von u unabhängig von v Für alle diese Fälle gilt also: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Die partielle Ableitung: gibt an, wieviel Energie im Stoff gespeichert wird, wenn die Temperatur des Stoffs um 1K erhöht wird

34 34 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke wird spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen genannt: c v ist eine Stoffwert, der aus Tabellen entnommen werden kann oder mit Hilfe von Tabellenwerten berechnet wird

35 35 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für die meisten festen und flüssigen Stoffe gilt: c v = c v (T)und damit u = u(T) fast immer gilt: ( Berechnungsmethoden kommen später)

36 36 3.4Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Für kleine Temperaturunterschiede ist c v näherungsweise konstant: u 2 – u 1 = c v (T 2 – T 1 ) = c v (t 2 – t 1 ) (bei uns häufigster Anwendungsfall) Für inkompressible Fluide und Ideale Gase gilt exakt: u = u(T) Alle Beziehungen gelten auch für ZÄ mit veränderlichem Volumen!


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