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Thema von: Sarah Otto. Überblick 1. Parameterformen 1.1 Punkt - Richtungsform 1.2 Drei - Punkte – Form 2. Die Koordinatenformen 2.1 Achsenabschnittsform.

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1 Thema von: Sarah Otto

2 Überblick 1. Parameterformen 1.1 Punkt - Richtungsform 1.2 Drei - Punkte – Form 2. Die Koordinatenformen 2.1 Achsenabschnittsform 2.2 Normalenform 2.3 Hessesche Normalform 3. Umwandlung 4. Lagebeziehungen / Schnitte 5. Schnittwinkel 1/22

3 1. Parameterformen Die beiden Parameterformen: 1.1 Punkt-Richtungs-Form 1.2 Drei-Punkte-Form 2/22

4 Gegeben: - Der Punkt A mit dem Ortsvektor a - Zwei linear unabhängige Richtungsformen u und v - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene 1.1 Punkt-Richtungs-Form x = a + *u + *v xyzxyz = a1a2a3a1a2a3 + * u1u2u3u1u2u3 + * v1v2v3v1v2v3 A (5/0/1) u = v = 213213 114114 3/22

5 1.2. Drei-Punkte-Form x = a + *(b-a) + *(c-a) b 1 - b 2 - b 3 - xyzxyz = a1a2a3a1a2a3 + *+ * c 1 - c 2 - c 3 - a1a2a3a1a2a3 a1a2a3a1a2a3 Gegeben: - drei Punkte A,B,C auf der Ebene - Richtungsvektoren sind jetzt z.B. b-a und c-a - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene A (1/3/2) B (-2/2/-1) C (3/1/5) 4/22

6 2. Koordinatenformen Die Koordinatenformen 2.1 Achsenabschnittsform 2.2 Normalenform 2.3 Hessesche Normalenform 5/22

7 2.1 Achsenabschnittsform Schneidet die Ebene E die x-Achse im Punkt S (s/0/0), die y-Achse im Punkt T (0/t/0) und die z- Achse im Punkt U (0/0/u), so gilt für einen beliebigen Punkt X (x/y/z) auf der Ebene E: die Achsenabschnittsform 1 = + + xsxs ytyt zuzu Die Ebene E ist durch die Achsenschnittpunkte S (4/0/0) T (0/-2/0) U (0/0/3)...gegeben 6/22

8 2.2 Normalenform 0 = n (x – a) 0 = n x – n a = n1n2n3n1n2n3 ° x - y - z - a1a2a3a1a2a3 0 Gegeben: - ein Punkt A der Ebene - ein Normalenvektor n der Ebene - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene E n = A (-4/5/3) 123123 ° °° 7/22

9 2.3 Hessesche Normalenform 0 = n o ° (x – a) = no 1no 2no 3no 1no 2no 3 ° x - y - z - a1a2a3a1a2a3 0 122122 n = * nono = 1 1² + 2² + 2² abcabc nono = 1313 122122 * 1x + 2y + 2z - 12 = 0 8/22

10 3. Umwandlung Umwandeln in andere Darstellungsformen: 3.1 Umwandlung von der Parameterform in Koordinatenform und – Normalenform 3.2 Umwandlung von der Koordinatenform in die - Normalenform - Hessesche Normalenform und - Parameterform 9/22

11 3.1 Umwandlung xyzxyz = 2 3 + * 8 -3 + * 4 1 0 = n ° (x – a) = n ° x - n ° a Ermittlung der Normalenform: u = 8 -3 v = 4 1 n= u y * v z – u z * v y u z * v z – u x * v z u x * v y – u y * v x n= ((-3) * 1) – ((-1) * (-1)) ((-1) * 4) – (8 * 1) (8 * (-1)) – ((-3) * 4) n= -4 -12 4 1 3 ° x - 2 = 0 Umwandlung von der Parameterform in - Koordinatenform und - Normalenform 10/22 x + 3y - z - 2 = 0 1 3 *(-1/4) n ° a = - 2 Berechnung des Normalenvektors mit dem Kreuzprodukt a = 2 3

12 3.1 Umwandlung Ermittlung durch Gauß: 8 -3 4 1 x - (-1) y - 2 z - 3 8 0 4 0 x +1 3x+3+8y-16 -9x–9 -24y+48+1x+1+8z-24 -8x - 24y + 8z + 16 = 0 1 3 ° x - 2 = 0 xyzxyz = 2 3 + * 8 -3 + * 4 1 11/22 -8x - 24y + 8z + 16 = 0 :(-8) x + 3y - z - 2 = 0

13 3.2 Umwandlung 6x – 4y + 2z – 12 = 0 6 -4 2 ° x - 12 = 0 Normalenform: Hessesche Normalenform: n= 6 -4 2 nono = 6² + (-4)² + 2² * 6 -4 2 1 0 = 56 * 6 -4 2 ° x- 12 = 0 1 Umwandlung Koordinatenform in die Normalenform Hessesche Normalen- und Parameterform 12/22

14 3.2 Umwandlung I. Wähle drei Punkte die in der Ebene 6x – 4y + 2z – 12 = 0 liegen, z.B. A (2/0/0) B (0/-3/0) C (0/-2/2) xyzxyz = 200200 + * -2 -3 0 + * -2 2 II. Setze x = und y = und setze in die (nach z umgeformte) Gleichung z = 6 -3 + 2 x = 0 0 y = 0 0 z = 6 - 3 + 2 Parameterform: 012012 xyzxyz = 006006 + * 1 0 -3 + * 13/22

15 4. Lagebeziehungen Lagebeziehungen: 4.1 Lage von Punkt und Ebene zueinander 4.2 Lage von Gerade und Ebene zueinander 14/22

16 -5 = 7 = - 1,4 7,5 = -7,5 = -1 Daraus folgt: P E 4.1 Punkt - Ebene xyzxyz = 3 1,5 0 + * -1,5 2 + * -3 3 1 P (5/-3/3) 5 -3 3 = 1,5 0 + * -1,5 2 + * -3 3 1 5 = 3 - - 3 = -3 - 2 -3 = 1,5 – 1,5 + 3 3 = 0 + 2 + II. Ermitteln der Parameter und durch Gauß: -1,5 2 -3 3 1 0 -3 7,5 -5 2 -4,5 3 2 -7,5 7 15/22

17 4.2 Gerade - Ebene 124124 xyzxyz = 2 0 + * -3 1 4 + * E: xyzxyz = 123123 + * 2 4 G: = 3 * -3 1 4 + * 124124 + * 1 -2 -4 Eine Gerade kann: - zu einer Ebene echt parallel sein - in der Ebene liegen oder genau einen Schnittpunkt haben 16/22

18 4.2 Gerade - Ebene 0 4 g || E es gibt keinen Schnittpunkt Ebene parallel zu Geraden -3 1 4 124124 1 -2 -4 000 3 4 17/22

19 0 = 0 g E es gibt unendlich viele Schnittpunkte Gerade liegt in / auf Ebene -3 1 4 124124 0 00 3 0 1 -2 -4 4.2 Gerade - Ebene 18/22

20 3 = 6 = 2 es gibt einen Schnittpunkt Gerade schneidet Ebene -3 1 4 124124 1 -2 -4 003 3 6 4.2 Gerade - Ebene 19/22

21 5. Schnittwinkel Schnittwinkel bei Ebenen: 5.1 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene 5.2 Schnittwinkel zwischen Ebene und Ebene 20/22

22 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene 5.1 Schnittwinkel xyzxyz = 213213 + * 2 1 -2 G: 312312 ° x = 0 E:213213 - 2 1 -2 u = 312312 n = 21/22

23 Schnittwinkel zwischen Ebene und Ebene 5.2 Schnittwinkel 032032 ° x = 0 E:006006 - 4x + 3y + 2z - 12 = 0E: 032032 n1n1 = 432432 n2n2 = 22/22

24 Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit =)


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