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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 1 Angewandte Physik Schwingungen und Wellen.

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Präsentation zum Thema: "Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 1 Angewandte Physik Schwingungen und Wellen."—  Präsentation transkript:

1 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 1 Angewandte Physik Schwingungen und Wellen

2 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 2 Schwingungen: örtlich stationär Wellen: breiten sich räumlich aus

3 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 3 Schwingungen und Wellen Energie- transport kinetische Energie der Masse potentielle Energie in Feder

4 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 4 Bedeutung von Schwingungen und Wellen in Technik und Wissenschaft Schwingungen: Energiespeicher (Bewegung auf begrenztem Raum, verwandt mit Rotation) (auch mikroskopisch; z.B. Energie in Gasteilchen) Zeitmaßstab: Keine Uhr ohne Oszillator Störeffekte: Materialermüdung durch Dauerbelastung Grundform der Existenz: Nullpunktsschwingungen Wellen (gekoppelte Schwingungen): Energietransport: Meereswellen, 50Hz-Netz, Mikrowellenherd, Laser Informationstransport: Schallwellen, Radio, Fernsehen, Funkkommunikation Materialtransport: Materiewellen, jede Materie

5 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 5 Angewandte Physik Schwingungen

6 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 6 Verschiedene Arten von oszillierenden Systemen Kippschwinger Harmonischer Oszillator Zeit

7 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 7 1. "Harmonische" Schwingung ohne Reibung Beispiel Federpendel: 1) träge Masse (~ Verharrung) 2) rücktreibende Kraft: Feder(~ Elastizität) Auslenkung hängt sinusförmig von Zeit ab. Es gibt eine Eigenfrequenz f 0 Zeit t Auslenkung x(t) Schwingungs- periode T 0 Eigenfrequenz f 0 =1/T 0 Geschwindigkeit v(t)

8 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 8 2. gedämpfte harmonische Schwingung Federpendel: 1) Masse, 2) rücktreibende Federkraft 3) Reibung führt zu Dämpfung der Schwingung Zeit t Auslenkung x nimmt mit Zeit ab Schwingungs- periode und Frequenz ändern sich: f d < f 0

9 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 9 3. erzwungene harmonische Schwingung Federpendel: 1) Masse, 2) rücktreibende Federkraft 4) sinusförmig variierende Anregung 5) Auslenkung je nach Anregungsfrequenz 6) Resonanz Zeit t Auslenkung x Schwingungsfrequenz = Anregungsfrequenz Antrieb Eigenfrequenz Resonanzfrequenz

10 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 10 Übersicht über harmonische Schwinungen freie Schwingungerzwungene Schwingung ungedämpft gedämpft 1) 2) 3) 4)

11 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 11 wichtige Begriffe eines schwingenden Systems Resonator: Freiheitsgrad(e) (Auslenkung, Amplitude) Resonanz: Eigenfrequenz (freie, ungedämpfte Schwingung) Abwechselnd kinetische Energie / Potenzielle Energie (Energieerhaltung) Reibung: Umwandlung von potenzieller/kinetischer Energie in Wärme (auch Energie!) zeitliches Abklingen (Dämpfung) der Schwingung durch Reibung verschiedene mögliche Abhängigkeiten der Reibung von 'Geschwindigkeit' Erreger: periodische Auslenkung, unabhängige Erregerfrequenz sinusförmig (anderer Zeitverlauf möglich: siehe Basketball-Dribbeln) nach Einschwingvorgang: Resonator schwingt mit Erregerfrequenz Einschwingvorgang allgemein: Überlagerung aus Bewegungen mit Eigenfrequenz (abklingend) und mit Erregerfrequenz ( stationärer Zustand) Erreger + Resonator "Oszillator"

12 12 Beispiele für schwingende Systeme / Oszillatoren Foucault-Pendel 0,2 Hz Unruh in Uhrwerk 2 Hz Schwingquarz 4 MHz Molekülschwingung x GHz –THz YIG Oszillator 4 GHz Stimmgabel 440 Hz Stimmgabelquarz Hz

13 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 13 Lösungsansatz komplex: Beschleunigungskraft = Federkraft Differenzialgleichung Resonanzfrequenz Steifigkeit Trägheit y Freie, ungedämpfte Schwingung; mathematisch reibungsfreie Gleitbewegung

14 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 14 Verschiedene Resonatoren / Oszillatoren Steifigkeit Trägheit

15 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 15 Energieerhaltung bei Schwinungsvorgängen oberer Umkehrpunkt unterer Umkehrpunkt v max abwärts v max aufwärts kinetische Energie in auf/ab-Geschwindigkeit der Masse potenzielle Energie in Dehnung/Kompession der Feder t t Energie pulsiert mit doppelter Frequenz

16 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 16 Analogie: Oszillator mechanisch / elektrisch potentielle / elektrostatische Energie kinetische / magnetische Energie

17 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 17 gedämpfte harmonische Schwingungen Dämpfung (Reibung) proportional zur Geschwindigkeit (Änderung der oszillierenden Größe) F Trägheit gewöhnliche lineare Differentialgleichung allgemeiner Lösungsansatz: gedämpfte harmonische Schwingung schon wieder eine Differenzial- gleichung!

18 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 18 gedämpfte harmonische Schwingungen Dämpfung (Reibung) proportional zur Änderung (Geschwindigkeit) der oszillierenden Größe F Trägheit Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung Abklingkoeffizient [1/s] Zeit t Abklingzeitkonstante [s] innerhalb von t fällt Amplitude auf 1/e vom Anfangswert Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung

19 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 19 Beispiele: Stimmgabel, Quarzschwinger, elektr. Hohlraumresonator, akustischer Hallraum,... reale Resonatoren haben immer Dämpfung (Verluste) Maß für Dämpfung im Verhältnis zu Schwinungsfrequenz: Dämpfungsgrad Güte Q Dämpfungsgrad und Güte Q (dimensionslos)

20 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 20 verschiedene Bereiche des Dämpfungsgrades Schwingfall J < 1 w 0 > d Kriechfall J > 1 w 0 < d aperiodischer Grenzfall J = 1 w 0 = d Auslenkung klingt schnellstmöglich ab

21 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 21 Erzwungene Schwingung: Differenzialgleichung von Resonator mit Anregung Antrieb F Erreger Dämpfung

22 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 22 Amplituden- und Phasengang der Resonanz 1.Resonator schwingt mit Erregerfrequenz W 2.Amplitude hängt von Erregerfrequenz ab 3.zunehmende Phasenverschiebung g( W) zwischen Erreger und Auslenkung des Resonators

23 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 23 wichtige Eigenschaften der Resonanz: Resonanzfrequenz w res < w 0 w res ® w 0 für ® 0 Phasenverschiebung g = 0 ® p Bandbreite bei -3dB = ( 1/2 ) von Maximum der Resonanzkurve Amplituden- und Phasengang der Resonanz w res ® w 0

24 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 24 Resonanzfrequenz: Frequenz größter Schwingungsamplitude Resonanzfrequenz wird durch Dämpfung etwas kleiner

25 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 25 Resonanzüberhöhung

26 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 26 Resonanzbreite

27 Einschwingvorgang bei abruptem Beginn der Anregung a) freie abklingende Schwingung mit d b) Anregung mit Frequenz c) Einschwingvorgang: Überlagerung von a) und b) d) stationäre Schwingung mit Frequenz Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 27 a) b) c)d)

28 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 28 Übergang von Schwingung zu Welle: gekoppelte Oszillatoren

29 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 29 k 12 2 gekoppelte Schwinger ohne Kopplung: Kopplungsgrad k 12 = 0 2 identische Schwinger: gleiche Eigenfrequenz w 0 mit Kopplung: Kopplungsgrad k 12 > 0 2 Eigenmoden: gleichphasig: w 1 gegenphasig: w 2 Allgemeine Bewegung: Linearkombination der beiden Eigenmoden gleichphasiggegenphasigLinearkombination

30 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 30 2 gekoppelte Schwinger Allgemeine Bewegung: Linearkombination der Eigenmoden Schwebung

31 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 31 mehrere gekoppelte Schwinger n Freiheitsgrade n Eigenmoden ("Fundamentalschwingungen") n Eigenfrequenzen Beispiel: 3-atomiges Molekül 9 Freiheitsgrade, davon 6 für Translation und Rotation des Moleküls, 3 interne Freiheitsgrade 3 Schwingungsmoden in der Ebene des Moleküls 3 Schwingungsmoden (hier nur schematisch angedeutet) Es können auch mehrere Schwingungsmoden aus Symmetriegründen gleiche Frequenz haben: "entartete" Moden

32 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 32 Ausblick: Anzahl der Freiheitsgrade sehr groß Energiebändermodelle: kontinuierlicher Bereich von möglichen Eigenfrequenzen Energie ~ Eigenfrequenzen Einzelatom Festkörper mit Atomen

33 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 33 Angewandte Physik Wellen

34 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 34 gekoppelte Schwingungen Welle einzelner Schwinger Transversalwelle Longitudinalwelle kein Materietransport aber Energietransport

35 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 35 Transversalwelle und Longitudinalwelle Transversalwelle Longitudinalwelle

36 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 36 Auslenkung ist Funktion von Ort und Zeit: Frequenz f = w/2p Wellenlänge l = 2p/k Wellenzahl k = 2p/l Phasengeschwindigkeit c = l f harmonische Wellen

37 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 37 allgemein lineare Superposition: Wellenfunktionen können addiert werden ebene stehende Welle in x-Richtung Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz

38 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 38 stehende Wellen eindimensional sich ausbreitende Wellen gegenläufige Wellen: gleiche Amplitude stehende Wellen: Wellenknoten und Wellenbäuche Eine stehende Welle ist die Überlagerung von zwei gegenläufigen Wellen mit gleicher Amplitude und gleicher Wellenlänge

39 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 39 Welle wird an einer Stelle vollständig reflektiert Amplitude und Wellenlänge (und Frequenz) beider Wellen sind gleich (Welle kommt aus dem Unendlichen und geht auch wieder ins Unendliche) Welle wird an zwei Stellen vollständig reflektiert: Das geht nur gut, wenn nach zweimaliger Reflexion die Welle wieder mit sich selbst in Phase ist. Resultat, wenn der Spiegelabstand passt: eine stehende Welle mit einer ganzen Anzahl von Wellenlängen auf zweifachem Spiegelabstand (oder einer ganzen Anzahl von halben Wellenlängen zwischen Spiegeln) Wann gibt es eine stehende Welle?

40 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 40 Reflexion mit Phasenumkehr um 180° Wellenknoten an Spiegeln Reflexion ohne Phasenumkehr um 180° Wellenbäuche an Spiegeln Verschiedene Ausformungen der Stehwelle je nach Reflexionsphase an den Spiegeln

41 Stehende Wellen und Eigenschwingungsmoden Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 41 Welle mit Reflexion an den Enden Moden: Stehende Wellen verschiedener Wellenlängen allgemein: Überlagerung der verschiedenen Moden

42 Schwingungsmoden einer Brücke Reflexion an den Enden Moden: Stehende Wellen verschiedener Wellenlängen allgemein: Überlagerung der verschiedenen Moden Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 42

43 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Ph ysik 43 Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz allgemein lineare Superposition: Wellenfunktionen können addiert werden Wenn Wellen nicht exakt in gleicher Richtung dann keine stehende Welle aber Interferenz (kompliziertere Wellenmuster):

44 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 44 Auslenkung des Seiles aus gerader Linie z(x,t) Seilwelle eindimensionale Welle: Wellenzahl x z

45 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 45 Wellen in Ebene (2D), z.B. auf Wasseroberfläche Wellen im Raum (3D), z.B. Schallwelle Wellen im Raum, Wellenvektor Wellenvektor Auslenkung der Oberfläche z(x,y,t)

46 Oberflächenwellen auf Wasser Form der Oberfläche nicht sinusförmig Teilchenbewegung nicht nur auf und ab sondern auch vor und zurück komplizierter Zusammenhang zwischen Wellenform Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wassertiefe Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 46


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