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Enaktiv-Ikonisch-Symbolische Wege zum Verstehen Inmaculada Acosta de Cózar.

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Präsentation zum Thema: "Enaktiv-Ikonisch-Symbolische Wege zum Verstehen Inmaculada Acosta de Cózar."—  Präsentation transkript:

1 Enaktiv-Ikonisch-Symbolische Wege zum Verstehen Inmaculada Acosta de Cózar

2 Inhalt Repräsentationsformen: Enaktiv-Ikonisch- Symbolisch Polyeder und Platonische Körper Der Eulersche Polyedersatz Beweis des Eulerschen Polyedersatzes: Schlegeldiagramm Die Gärtnerkonstruktion der Ellipse Die Spiegelwelt Einordnung in den Lehrplan und die Bildungsstandards

3 Repräsentationsformen: Enaktive (Handlung) Ikonische (Bild) Symbolische (Text mit mathematischen Symbolen, Gleichungen…)

4 Enaktive Repräsentation Jeder Schüler wird selbst mit physischen Gegenständen aktiv. Sie eignet sich besonders für den Einstieg in ein Thema. Kinder lernen durch eigenes Handeln, durch Abtasten von Gegenständen und durch Beobachten

5 Ikonische Repräsentation Erfassen von Sachverhalten durch Bilder. Konkrete Gegenstände, Ereignisse und Abläufe kann sich ein Kind auch anhand von Visualisierungen vorstellen. Geistige „Bilder“

6 Symbolische Repräsentation Erfassen von Sachverhalten durch Symbole (Text, Zeichen...) Symbolische Repräsentationen ermöglichen uns, Sachverhalte durch Begriffe, Kategorien und Regeln abstrakt zu erfassen, vom eigenen Tun und vom konkreten Gegenstand abgelöst.

7 Polyeder und Platonische Körper

8 Polyeder Unter einem Polyeder versteht man ein räumliches System von Vielecken, die so miteinander verbunden sind, dass jede Seite eines Vielecks identisch ist, mit genau einer Seite eines anderen Vielecks. Die Vielecke heißen Seitenflächen (Flächen), ihre Seiten die Kanten und ihre Eckpunkte die Ecken des Polyeders. Jede Kante verbindet also zwei Ecken des Polyeders und gehört zu genau zwei Seitenflächen.

9 Konvexe Polyeder Ein konvexes Polyeder ist dadurch ausgezeichnet, dass die Verbindungsstrecke zweier innerer Punkte stets ganz im Polyeder liegt. Eigenschaften: Seitenflächen sind konvexe Vielecke. An jeder Kante treffen sich zwei Seitenflächen. An jeder Ecke stoßen mindestens drei Kanten zusammen. Die Anzahl der sich in einer Ecke treffenden Kanten ist genauso groß wie die Anzahl der sich dort treffenden Seitenflächen.

10 Platonische Körper (I) Die Platonischen Körper gehören als geometrische Objekte zu den konvexen regulären Polyedern. Das heißt, sie sind konvexe Polyeder, deren Ecken, Kanten und Seitenflächen geometrisch nicht unterscheidbar sind.

11 Platonische Körper (II) Die Forderung nach Ununterscheidbarkeit besagt: 1.Alle Kanten sind gleich lang. 2.Alle Seitenflächen haben gleich viele Ecken und gleich große Winkel. 3.An jeder Ecke stoßen gleich viele Seitenflächen zusammen. 4.Die Winkel zwischen benachbarten Seitenflächen sind gleich groß.

12 Platonische Körper-Beispiele

13 Platonische Körper

14 Der Eulersche Polyedersatz (für konvexe Polyeder) Die Anzahlen E der Ecken, K der Kanten und F der Seitenflächen genügen der Beziehung: E + F – K = 2

15 Das Schlegeldiagramm Es zeigt das Gefüge der Ecken, Kanten und Seitenflächen unmittelbar. Jede Ecke des Körpers erscheint im Schlegeldiagramm als Punkt, jede Kante als Strecke und jede Seitenfläche als ein von Kanten umschlossenes Vieleck, mit Ausnahme derjenigen Seitenfläche, auf die wir „projiziert“ haben. Diese Seitenfläche umrandet das Diagramm.

16 Aufgabe: Die Schlegeldiagrammkonstruktion

17 Schlegeldiagramme der fünf Platonischen Körpern

18 Operativer Beweis des Eulerschen Polyedersatzes

19 Die Gärtnerkonstruktion der Ellipse Die beiden Nägel in die Brennpunkte einschlagen. Je ein Ende eines Fadens an einen der Nägel binden oder eine Fadenschlaufe um die beiden Nägel legen. Mit dem Stift den Faden straff spannen und den Stift senkrecht aufsetzen. Mit gespanntem Faden die Ellipse zeichnen.

20 Die Gärtnerkonstruktion der Ellipse

21 Diese Konstruktion wird von Gärtnern angewandt, wenn sie ein elliptisches Beet anlegen wollen. Falls das Beet die Breite 3m und die Länge 5m haben soll, wie lang muss die Schnur sein und welchen Abstand müssen die Pflöcke haben?

22 Spiegelwelt Der Gebrauch von Spiegeln ist durch ständige Praxis von Jugend an so selbstverständlich geworden, dass wir Spiegelphänomene für nichts Besonderes mehr halten. Wenn man aber bewusster beobachtet, stößt man auf interessante Fragen, z.B.

23 Spiegelwelt Fragen: In einer Umkleidekabine - Wie muss ich die beiden Spiegel aufstellen, damit ich mich selbst von hinten anschauen kann? Wie groß muss ein Spiegel sein, in dem man sich selber sehen kann? Warum erscheint unser Kopf umgekehrt, wenn wir in die Höhlung eines blanken Löffels blicken, aber aufrecht, wenn wir auf die gewölbte Seite schauen? Warum „vertauscht“ der Spiegel rechts und links, aber nicht oben und unten?

24 Spiegelwelt Umkleidekabine Wie muss ich die beiden Spiegel aufstellen, damit ich mich selbst von hinten anschauen kann?

25 Spiegelwelt Umkleidekabine

26 Wie groß muss ein Spiegel sein, in dem man sich selber sehen kann? Der Spiegel muss genau halb so groß sein, wie die Person selbst, ganz egal, in welchem Abstand sie zum Spiegel steht:

27 Warum erscheint unser Kopf umgekehrt, wenn wir in die Höhlung eines blanken Löffels blicken, aber aufrecht, wenn wir auf die gewölbte Seite schauen?

28 Warum „vertauscht“ der Spiegel rechts und links, aber nicht oben und unten? Dass ein Spiegel links und rechts vertauscht, ist ein großer Irrtum, denn er vertauscht nicht links und rechts, sondern vorne und hinten. Was sich links vor dem Spiegel befindet, ist ja tatsächlich auch links zu sehen, genauso wie etwas rechts vor dem Spiegel auch rechts zu sehen ist. Jedoch scheinen die Gegenstände sich nicht vor, sondern hinter dem Spiegel zu befinden.

29 Einordnung in den Lehrplan und die Bildungsstandards

30 Mathematische Leitidee „Raum und Form“ Die Schülerinnen und Schüler Erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt. Operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern. Stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar. Stellen Körper (z.B. als Netz, Schrägbild oder Modell) dar und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen. Analysieren und klassifizieren geometrische Objekte der Ebene und des Raumes. Wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen, Berechnungen und Beweisen an (Pythagoras, Thales) Zeichen und konstruieren geometrische Figuren.


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