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1 Graphentheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 Gibt es in Königsberg einen Spaziergang,

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Präsentation zum Thema: "1 Graphentheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 Gibt es in Königsberg einen Spaziergang,"—  Präsentation transkript:

1 1 Graphentheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert?

2 2 Königsberger Brückenproblem Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein

3 3 Was ist ein Graph? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein und begründete damit die Graphentheorie Ein Graph besteht aus einer Eckenmenge und einer Kantenmenge Jede Kante verläuft von Ecke zu Ecke. Ecken= vertices Kanten= edges V E Mindestens eine Ecke

4 4 Gundbegriffe Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Adjazenz-Matrix gibt an, durch wie viele Kanten die Ecken verbunden sind. Der Grad einer Ecke ist die Anzahl der abgehenden Kanten.

5 5 Eulersche Begriffe Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Ein geschlossener Eulerscher Weg heißt Eulerscher Kreis. Kanten, die zu ihrer Startecke zurückkehren, heißen Schlingen.

6 6 Eulersche Begriffe Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Ein geschlossener Eulerscher Weg heißt Eulerscher Kreis. In welchen Graphen gibt es einen Eulerschen Kreis?

7 7 Eulers Lösung: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein Eulerscher Satz: Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben. Beweis: ???

8 8 Eulers Lösung: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein Eulerscher Satz: Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben.

9 9 Eulers Lösung: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein Eulerscher Satz: Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben. Im Königs- berg- Graphen gibt es keinen Eulerschen Kreis.

10 10 Das Haus des Nikolaus Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor.

11 11 Das Haus des Nikolaus Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Eulerscher Satz: Einen offenen Eulerschen Weg gibt es genau dann, wenn genau zwei Ecken einen ungeraden Grad haben. In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor.

12 12 Graphen in unserer Welt Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015

13 13 Graphen in unserer Welt Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Mit Graphen schafft man sich ein Modell der Wirklichkeit, das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet. Die geometrische Lage und Form spielt bei Graphen eigentlich gar keine Rolle. Bei Streckenplänen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben.

14 14 Graphen in unserer Welt Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Mit Graphen schafft man sich ein Modell der Wirklichkeit, das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet. Die geometrische Lage und Form spielt bei Graphen eigentlich gar keine Rolle. Bei Streckenplänen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben.

15 15 Routenplaner und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Routenplaner arbeiten mit bewerteten Graphen

16 16 Routenplaner und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Routenplaner arbeiten mit bewerteten Graphen Die Bewertung kann Entfernung, Zeit, Kosten.... bedeuten. Erstmal leichtere Probleme:

17 17 Stadtplanung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, die Bewertung Baukosten bedeuten. Für das Stadt- bauamt kann

18 18 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Greedy-Algorithmus Protokoll greedy=gierig

19 19 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Eine Kante davon wählen. Nicht nehmen, sonst wird es ein Kreis. Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Greedy-Algorithmus Protokoll

20 20 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Protokoll Greedy-Algorithmus Entstanden ist ein „minimaler Spannbaum“

21 21 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph ohne Kreise. Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Entstanden ist ein „minimaler Spannbaum“

22 22 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Übrigens: gibt es hier einen Eulerschen Weg? Markiere solange die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nächst teureren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Protokoll Selber machen

23 23 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad. Markiere solange die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Protokoll

24 24 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad. Markiere solange die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Protokoll

25 25 Graphen- Theorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, ist eins der spannendsten und dynamischsten mathematischen Themen zur Zeit. Zwei Mathematiker greifen die Idee von „Sofies Welt“ auf…….

26 26 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir suchen die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen Ecken Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Niederländischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960 Sprich ij wie ei Erstmal so wie Sie es in der Klausur machen sollten! Es ist schwieriger zu lösen. An der geforderten Ecke anfangen Zu den Nachbarecken auf billigste Art mit „Grips“ Weg anmalen, Ecken mit Ihrem Abstandswert beschriften weiter so

27 Weg anmalen, Ecken mit Ihrem Abstandwert beschriften 27 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir suchen die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen Ecken Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Niederländischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960 Sprich ij wie ei Lassen Sie sich im Folgenden lediglich auf den Grundgedanken ein. Es ist schwieriger zu lösen. An der geforderten Ecke anfangen Zu den Nachbarecken auf billigste Art mit „Grips“ weiter so

28 28 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Fertige Ecken: A Unfertige Ecken: B1 A, E9 A, D2 A, Unbetretene Ecken: C F G H I Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Aktive Ecke wird: B1 A Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken.

29 29 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Fertige Ecken: A, B1 A, Unfertige Ecken: E9 A, E8 B, D2 A, C7 B, Unbetretene Ecken: F G H I Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Aktive Ecke wird: D2 A Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken. Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet.

30 30 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, Unfertige Ecken: E8 B, C7 B, E7 D, H5 D, Unbetretene Ecken: F G I Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Aktive Ecke wird: H5 D Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken. Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet.

31 31 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D Unfertige Ecken: C7 B, E7 D, E6 H, I9 H Unbetretene Ecken: F G Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Aktive Ecke wird: E6 H, Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken. Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet.

32 32 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H Unfertige Ecken: C7 B, I9 H, I8 E, F11 E Unbetretene Ecken: G Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Aktive Ecke wird: C7 B Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken. Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet.

33 33 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H, C7 B Unfertige Ecken: I8 E, F11 E, F9 C, G13 C, Unbetretene Ecken: Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Aktive Ecke wird: I8 E Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken. ggf. Ecken neu bewertet.

34 Unfertige Ecken: F9 C, G13 C, G12 I, 34 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H, C7 B, I8 E Unbetretene Ecken: Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Aktive Ecke wird: F9 C Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. ggf. Ecken neu bewertet. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken.

35 35 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H, C7 B, I8 E, F9 C, G10 F Unfertige Ecken: G12 I, G10 F Unbetretene Ecken: Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Aktive Ecke wird: G10 F Die aktive Ecke ist fertig. Die letzte aktive Ecke ist fertig. ggf. Ecken neu bewertet.

36 36 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H, C7 B, I8 E, F9 C, G10 F Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Das ist nun ein kürzeste-Wege-Baum. Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum.

37 37 Kürzeste-Wege-Bäume Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das ist das Routenplaner- Problem. Es wird gelöst vom Dijkstra-Algorithmus. Interaktive Version an der TU München Dies ist Aufgabenblatt 6 bei der TUM

38 38 Logistik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Modellierung des Problems mit Graphen 2.Bewertung des Graphen mit 1.Fahrzeiten oder 2.Fahrkosten 3.Streckenlänge…. Lösung des Kürzeste-Wege- Problems

39 39 Landkarten färben Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Länder verschieden gefärbt sein sollen? Modellierung des Problems mit Graphen:

40 40 Landkarten färben mit Graphentheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Hauptstädte verschieden gefärbt sein sollen?

41 41 Landkarten färben mit Graphentheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Hauptstädte verschieden gefärbt sein sollen? Vier-Farben-Satz Es reichen immer vier Farben Erst 1976 mit Computereinsatz bewiesen (Appel, Haken)

42 42 Eckenfärbung von Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Ecken sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Ecken verschiedene Farben haben Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen. Gibt es einen hier Eulerschen Weg?

43 43 Eckenfärbung von Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Ecken sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Ecken verschiedene Farben haben Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen. Eulerschen Weg? Nein, 3 Ecken mit ungeradem Grad, durften höchstens 2 sein.

44 44 Mobilfunk-Konfliktgraphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konflikt- graphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann.

45 45 Mobilfunk-Konfliktgraphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konflikt- graphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann.

46 46 Konflikt-Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden.

47 47 Konflikt-Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden.

48 48 Konflikt-Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden. Eine zulässige Eckenfärbung des Graphen zeigt: Verkehrsströme mit der gleichen Farbe dürfen gleichzeitig „Grün“ an ihrer Ampel haben. Adjazenzmatrix dazu Mehr dazu im Buch Nitzsche: Graphentheorie, tw.moodle Kap 11

49 49 Graphentheorie in Büchern Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Kombinatorische Optimierung erleben: Im Studium und Unterricht Stephan Hußmann (Autor), Brigitte Lutz-Westphal (Autor) Manfred Nitzsche

50 50 Fuzzy-Logik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, „weiche Logik“ Bereich Algebra, Logik

51 51 Knotentheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bereich Knotentheorie, moodle Kap. 11 Zöpfe

52 52 Fraktale, Chaostheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bereich Fraktale

53 53 Fraktale, Chaostheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bereich Fraktale

54 54 Fraktale, Chaostheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Bereich Fraktale, moodle Kap.10


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