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„Gekoppelte Oszillatoren“
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Gekoppelte elektrische Schwingkreise
Inhalt Gekoppelte Pendel Gekoppelte elektrische Schwingkreise Gekoppelte Schwingungen in den Bausteinen der Materie Orbitale der Elektronen Molekülschwingungen Schwingungen in Festkörpern
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d‘ Alembertsches Prinzip
Feder und Massenpunkt Einheit Bezeichnung 1 N Federkraft Trägheitskraft Schwingungs-gleichung d‘ Alembertsches Prinzip
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Erste Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren
Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht Symmetrische Auslenkungen
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Zweite Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren
Höhere Frequenz: Kopplungsfeder wird stark beansprucht Anti-Symmetrische Auslenkungen
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Versuch: Gekoppelte Pendel
Verhalten eines einzelnen Schwingkreises Kopplung über die Feder Schwebungen durch Überlagerung von zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz Suche nach den Eigenfrequenzen durch spezielle Startbedingungen Unterschiedliche Eigenschwingungen zeigen unterschiedliche Symmetrie
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„Schlüsselexperiment“ Doppelpendel
Schwingungart Symmetrie bei Spiegelung Muster Erste Eigenschwingung Symmetrisch Zweite Eigenschwingung „Anti“-symmetrisch Beliebig, das ist eine Überlagerung beider Eigenschwingungen Unsymmetrisch
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Effekt der Kopplung Ohne Kopplung: Beide Oszillatoren zeigen die gleiche Eigenfrequenz Mit Kopplung: Zwei „Schwingungsmoden“ mit unterschiedlichen Eigenfrequenzen Die Symmetrie der Auslenkungen beider Moden ist unterschiedlich
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Versuch: Gekoppelte elektrische Schwingkreise
Verhalten eines einzelnen Schwingkreises Kopplung über die Feldstärken Schwebungen durch Überlagerung von zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz Suche nach den Eigenfrequenzen mit Fourier-Analyse
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Kopplung ohne Materie gibt es nur in elektromagnetischen Feldern!
Kopplung von zwei elektrischen Schwingkreisen über das magnetische Feld Kopplung ohne Materie gibt es nur in elektromagnetischen Feldern!
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Über das Magnetfeld gekoppelte Schwingkreise
Schwebungen aufgrund des Austauschs der Energie zwischen den Schwingkreisen Grund: Überlagerung der beiden Eigenschwingungen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften Erste Eigenschwingung mit „gleichphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen Zweite Eigenschwingung mit „gegenphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen
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Gekoppelte Schwingungen in der Materie
Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“ Bei Teilchenzahl n wächst - im dreidimensionalen Raum - die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften Energie-Werten An jeder Eigenschwingung sind immer alle Oszillatoren beteiligt
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Beispiele „Gekoppelte Pendel“ Orbitale des Elektronensystems
Molekülschwingungen Schwingungen im Festkörper, „Phononen“
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Orbitale Die Elektronen in einer „Schale“ n eines Atoms bilden ein System identischer, gekoppelter Oszillatoren Hier verlässt man das Bohrsche Atommodell Die Eigenschwingungen dieses Systems werden mit den Quantenzahlen l, m bezeichnet und zeigen unterschiedliche Symmetrie-Eigenschaften Orbitale zeigen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen was bei Oszillatoren sinnvoll ist
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X-Achse Y-Achse Z-Achse Ja Nein
Symmetrie der drei p Orbitale einer Unterschale (l=1) bei beliebiger Drehung um eine Achse Drehung erlaubt? X-Achse Y-Achse Z-Achse Ja Nein
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Orbitale mit ihren Quantenzahlen
Symmetrie
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Beispiel: Orbitale im Neon
Haupt-quantenzahl Drehimpuls- oder Nebenquantenzahl Orientie-rungs-Quanten-zahl Max. Zahl der Zustände Form der Orbitale N Schale Schale, Orbital Typ Spin 1 K s 2 L p -1 6
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Molekülschwingungen, Beispiel CO2, erste Streckschwingung, symmetrisch
z x
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Beispiel CO2, zweite Streckschwingung antisymmetrisch
x
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Beispiel CO2, erste Deformationsschwingung
z x
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Beispiel CO2, erste Deformationschwingungen, Ansicht von der Längs-Seite
z y
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Beispiel CO2, zweite Deformationschwingung, Ansicht von der Längs-Seite
y
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Ist die Schwingung invariant gegenüber der Symmetrieoperation?
Symmetrieeigenschaften dieser Schwingungen bei der Einheitsoperation, Drehung und Spiegelung 1 ja nein Ist die Schwingung invariant gegenüber der Symmetrieoperation?
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Beispiel: Anregung der ersten Deformationsschwingung von CO2 im Infrarot-Bereich
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Kristalline Festkörper
Bei n Teilchen gibt es n „Schwingungsmoden“ mit Auslenkungsmuster unterschiedlicher Symmetrie Die n Eigenfrequenzen der Moden liegen zum Teil sehr dicht beisammen, es entstehen Energiebänder
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Modell für die Einheitszelle eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle mit Federn anstelle der Coulomb-Kräfte Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle
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Beispiel für die Eigenschwingungen eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle
Translation Innere Schwingung Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle
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Beispiel für eine Eigenschwingung
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Phononen Zu jedem Auslenkungsmuster gehört eine „Eigenfrequenz“
Normalschwingungen der Teilchen in kristallinen Festkörpern werden „Phononen“ genannt Die Schwingungen der Teilchen, die Phononen, koppeln an die Anregung der Elektronen
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Wirkung der Kopplung: Vergleich der Spektren von Gasen/Flüssigkeiten/Festkörpern
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Beispiele für Emission und Absorption an freien Atomen und im Vergleich dazu – an heißen Festkörpern
Absorptionslinien von Wasserstoff vor der „Weissen“ Strahlung der Sonne (an der Oberfläche ca K) Abbildung: Emissionsspektrum der Quecksilberdampflampe und Absorptionslinien im Sonnenspektrum. Quelle: Meyers Enzyklopädisches Lexikon
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Zuammenfassung Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“ Bei Teilchenzahl n wächst die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften Energie-Werten
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Finis Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht Symmetrische Auslenkungen
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