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Messwerte, Verteilung, Histogramm, Mittelwert und Standardabweichung
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Inhalt Datenerfassung Gruppierung der Daten Verteilung, Histogramm
Mittelwert Standardabweichung der Messwerte des Mittelwerts
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Datenerfassung und Gruppierung
Alter % < 60 19 61-70 26 71-80 38 > 80 17 Beispiel: Alter bei der Primärimplantation von Hüftendoprothesen (Datenquelle: Norwegisches Endoprothesenregister) Die Primärimplantationen von Hüftendoprothesen sind in 4 Altersklassen gruppiert Der Anteil an der Gesamtzahl der Hüftendoprothesen ist für jede Altersgruppe in % angegeben
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Verteilung und Histogramm
Trägt man die Anzahl der in einem Intervall einer ihrer Eigenschaften gefundenen Werte gegen die Intervalle der Eigenschaften auf, dann erhält man eine „Verteilung“ der Werte bezüglich der Eigenschaft bzw. ein „Histogramm“ Alter % < 60 19 61-70 26 71-80 38 > 80 17
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Mittelwert und Standardabweichung einer Verteilung
Jede Verteilung ist durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung charakterisiert. Ihre Berechnung erfordert den vollständigen Datensatz Die Rekonstruktion des vollständigen Datensatzes gelingt in diesem Beispiel – in Ermangelung der Fallzahlen in jedem Lebensjahr – nur als Näherung % Alter % Alter mal Anzahl (Alter-Mittelwert)^2 mal Anzahl 55 19 1045 4447,7 65 26 1690 730,3 75 38 2850 839,4 85 17 1445 3673,5 Summen 100 7030 9691,0 Mittelwert 70,3 Standard-abweichung 9,9 Alter
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Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung
Mittelwert zu N Messwerten xn Varianz der N Messwerte xn Standardabweichung der N Messwerte xn
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Normal- oder Gauß-Verteilung
Zeigt eine Verteilung die Form einer Gauß-Verteilung, dann hat die Standardabweichung eine spezielle Bedeutung % Alter % Alter mal Anzahl (Alter-Mittelwert)^2 mal Anzahl 55 19 1045 4447,7 65 26 1690 730,3 75 38 2850 839,4 85 17 1445 3673,5 Summen 100 7030 9691,0 Mittelwert 70,3 Standard-abweichung 9,9 Alter
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Standardabweichung der Messwerte
Standardabweichung der N Messwerte xn In Normalverteilungen ist die Standardabweichung σ ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung einen Messwert im Intervall ±σ um den Mittelwert μ zu erhalten
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Intervallbreite um den Mittelwert µ
Wahrscheinlichkeiten, bei einzelnen Messungen Werte innerhalb eines Intervalls von ±1, ±2, ±3 Standardabweichungen um den Mittelwert zu erhalten Intervallbreite um den Mittelwert µ Wahrscheinlichkeit einen Messwert innerhalb dieses Intervalls zu erhalten ±1 σ 68% ±2 σ 95% ±3 σ 99,7% Beispiel: Bei 1000-facher Wiederholung der gleichen Messung sind 997 Messwerte innerhalb eines Intervalls der Breite von ± drei Standard-Abweichungen um den Mittelwert zu erwarten, nur 3 mit einem größeren Abstand
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Standardabweichung des Mittelwerts
Standardabweichung des Mittelwerts zu N Messwerten xn Folge: Um die Standardabweichung des Mittelwerts auf die Hälfte zu reduzieren, ist die vierfache Anzahl von Beobachtungen erforderlich
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Zusammenfassung Nach einer ihrer Eigenschaften in Klassen zu Intervallen bestimmter Breite eingeteilte Daten nennt man „(Häufigkeits-)Verteilung“ Ein Histogramm ist die grafische Darstellung der Verteilung, die Abszisse zeigt das Intervall der Eigenschaft, die Ordinate die Häufigkeit Die gruppierten Daten nennt man „Häufigkeitsverteilung“ oder einfach „Verteilung“ Wichtigste Kennzahlen einer Verteilung sind Anzahl N der Beobachtungen Mittelwert µ (entspricht dem Schwerpunkt der Verteilung) Standardabweichung σ (entspricht der „mittleren Breite“ der Verteilung) Zeigt die Verteilung „Gauß“-Form, dann liegen 68% der Messwerte innerhalb µ ± σ, 95% µ ± 2σ, 99,7% µ ± 3σ
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finis Q: Welche medizinisch relevante Information zeigt die Folge der Histogramme? A: Bei etwa konstantem Mittelwert steigt die Breite der Verteilung: Das heißt, sie zunehmend ältere, aber auch jüngere Patienten erhalten Hüftendoprothesen Quelle:
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Datenlage in Deutschland
6. April 2011(!)
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