Fallgesetze Zwei Bereiche:

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1 Fallgesetze Zwei Bereiche:
Gravitationskraft („Die Ursache des Fallens“) 2. Fallende Objekte auf der Erde

2 1. Gravitationskraft Allgemein
Die Gravitationskraft, die auf einen Körper wirkt, wird von einem zweiten Körper verursacht, der den ersten Körper zu sich hin zieht. Sie ist proportional zum (Abstand)^2 Es gilt das Superpositionsprinzip Eine homogene materielle Kugelschale zieht ein Teilchen mit derselben Kraft an, die auch wirken würde, wenn die gesamte Kraft auf dessen Massenmittelpunkt konzentriert wäre.

3 Wieso kann Fgrav überall auf der Erde als konstant angenommen werden?
Gründe dagegen: Die Erde ist nicht homogen Die Erde ist keine Kugel Die Erde rotiert Wieso können wir diese drei Gründe vernachlässigen?

4 Zu 1) Die Erde ist nicht homogen
Die Dichteunterschiede sind zum Großteil symmetrisch (schwerer Erdkern, leichterer Mantel) und haben daher kaum Auswirkungen Die Unebenheit der Oberfläche kann gegen Punkt 2) vernachlässigt werden Punkt 1) ist vernachlässigbar

5 Zu 2) Die Erde ist keine Kugel
Der Radius am Äquator ist um rund 20 km größer als der Abstand der Pole zum Erdmittelpunkt. Berechnung der Differenz: ME=5,98 * 1024 kg G =6,67 * Nm2/kg2

6 Zu 2) Die Erde ist keine Kugel
Mit Rm =6,375*106: gm =9,814 m/s2 Mit Rpol =6,365*106: gPol =9,845 m/s2 Mit RÄqu=6,385*106: gÄqu=9,784 m/s2 gPol = 9,83 m/s2 gÄqu = 9,78 m/s2 Die Berechnungen stimmen nur näherungsweise, denn: Die Differenz des Pol- und Äquatorradius zum mittleren Erdradius wurde gemittelt (+/-10 km) Die Erde wird nicht als Kugel angenommen (unterschiedliche Radien) aber g wird aus einer Kugelsymmetrie berechnet Genaue Werte aus der Literatur

7 Berechnung der Differenz:
Zu 3) Die Erde rotiert Es benötigt eine Kraft damit ein Objekt auf einer Kreisbahn bleibt und nicht geradeaus fliegt. Diese Kraft wird von der Gravitationskraft aufgebracht. Gemessen wird jedoch die Normalkraft FN=-m*geff, die bereits um die „Zentripedalkraft“ reduziert ist. Berechnung der Differenz: m*geff=m*g-mω2R RÄqu=6,385*106 m geff=g-ω2R Δg=g-geff=ω2R=0,034 m/s2

8 Insgesamt: 2) + 3) ΔgKeineKugel = gPol - gÄqu = 9,83 - 9,78 = 0,05 m/s2 ΔgErderotiert = 0,034 m/s2 Δggesamt = 0,084 m/s2 Max. Abweichung von g ˜ 0,05 m/s2  0,51 % Der Unterschied ist also meist vernachlässigbar.

9 Wie sieht das Gravitationsfeld innerhalb der Erde aus?
Näherung für das Problem: Die Erde wird als Kugel mit homogener Dichteverteilung (ρ=konstant) angenommen.

10 Idee: Lege eine Kugel in die Erde
F=?? Behauptung: Eine gleichförmige materielle Kugelschale übt auf ein Teilchen innerhalb dieser Schale keine Gesamtgravitationskraft aus.

11 Gravitationsfeld innerhalb der Erde
Anwendung des Gaußschen Satzes (Vgl. Elektrostatik): ...über geschlossene Fläche Konstante (analog zu ε0 aus Elektrostatik) Integral über „Gravitationsfeld“ Integration über Kugeloberfläche:

12 Gravitationsfeld innerhalb der Erde
Berechne M(ein): Setze ein in: Die Kraft nimmt also Proportional zum Abstand vom Erdmittelpunkt zu!

13 Gravitationsfeld innerhalb der Erde
Wie sieht also der Potenzialverlauf aus? Innerhalb der Erde: Außerhalb der Erde: A:=plot(-G*M/x,x=6,37*10^6..12^8): B:=plot(M/2/R^3*G*x^2-8.68*10^7,x=0.. 6,37*10^6):

14 Umlaufbahn eines Satelliten
2 Fragen zum Satelliten: - Wieso fliegt er nicht weg? - Wieso fällt er nicht hinunter? Ohne Fgrav würde der Satellit geradeaus fliegen (irgendwohin ins Weltall). Durch Fgrav kommt es zu einer Beschleunigung in Richtung Erdmittelpunkt -> Fgrav bewirkt eine Richtungsänderung von v in Richtung Erdmittelpunkt. Ist nun v groß genug, dann reicht diese Richtungsänderung nicht aus um den Satelliten auf die Erde stürzen zu lassen. Ist nun v klein genug, dann reicht diese Richtungsänderung aber aus, um den Satelliten auf einer konstanten Bahn zu halten.

15 Umlaufbahn eines Satelliten
Mit anderen Worten: Der Satellit fällt ja hinunter nur er fällt nicht auf die Erde sondern „in die Umlaufbahn“ Vergleiche mit Wurfbahn eines Steines -> er fällt auch hinunter, nur weiter drüben ->beim Satelliten ist die Erde eben „zu kurz“

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17 Das geht doch auch anders???
Umlaufbahn eines Satelliten Wie schnell muss ein Satellit sein, damit er in der Umlaufbahn bleibt? Der Satellit befindet sich auf einer Kreisbahn, da ihn die Gravitationskraft nach innen zieht: Das geht doch auch anders???

18 Umlaufbahn eines Satelliten
Berechnung (in Polarkoordinaten): Ansatz mit Polarkoordinaten (r konstant, ω konstant): x(t)=r*er(t) x(t)=r*er(t)=r*ω*eφ (t) X(t)=r*ω*eφ (t) = -r*ω^2*er(t)=-v^2/r* er(t) v= ω*r Die einzig wirkende Kraft ist Fgrav und wir erhalten mit Masse * Beschleunigung = Summe aller Kräfte (=Fgrav) dieselbe Lösung.

19 Umlaufbahn eines Satelliten
Was passiert, wenn wir nun eine kleine Luftreibung berücksichtigen? Ist v(t+Δt)<v(t) oder v(t) < v(t+Δt) ??? siehe Physlets

20 Die 2. Kraft ist also am Größten!
Noch ein kleines Bsp: Auf welchen Massenpunkt wirkt die größte Kraft? Die 2. Kraft ist also am Größten! Massenpunkt

21 2. Fallen auf der Erde Allgemein Die Erde wird als Kugel genähert
Die Fallhöhen sind sehr klein gegen den Erdradius Die Masse des fallenden Objektes ist viel kleiner als die Erdmasse Vernachlässigung des Luftwiderstandes g ist konstant

22 Was fällt schneller (bzw. wann fällt was schneller)?
Latte vs Ball Was fällt schneller (bzw. wann fällt was schneller)? Wir haben hier das Problem eines physikalischen Pendels. Dieses kann für kleine Auslenkungen von der Ruhelage analytisch gelöst werden. Dabei wird bei der Berechnung der rücktreibenden Kraft näherungsweise sin(α) = α gesetzt. Bei der fallenden Latte befindet sich α jedoch im Bereich Grad! Das macht die Berechnung wesentlich schwieriger (erhalte Differenzialgleichung, die nur numerisch gelöst werden kann)!

23 Zuerst ein Spezialfall
Latte vs Ball Zuerst ein Spezialfall Die Latte sei drehbar fixiert und stehe gerade horizontal. Wer startet schneller los, das Ende der Latte oder die Kugel? Es gilt allgemein: Trägheitsmoment*Winkelbeschleunigung = Drehmoment Wobei J...Trägheitsmoment L...Länge der Latte Hier haben wir den Spezialfall: alpha=Pi/2 -> sin(alpha)=1

24 Latte vs Ball Trägheitsmoment einer Latte mit homogen verteilter Masse: Erhalte wegen: aufgelöst nach a: Somit wird das Ende der Latte (r=L) mit 1,5 g beschleunigt. Wie sieht aber die Fallzeit von Latte und Ball im Allgemeinen aus?

25 Latte vs Ball Fallzeit Ball: Fallzeit Latte: g h...Abwurfhöhe
Löse hierzu die Differenzialgleichung: Wobei J...Trägheitsmoment L...Länge der Latte

26 Grafische Darstellung der Lösung:
Latte vs Ball Grafische Darstellung der Lösung:

27 Wie wirft ein Kugelstoßer?
Es ist (hoffentlich) bereits bekannt, dass ein Abwurfwinkel von 45 Grad zur Ebene ideal ist, um möglichst weit zu werfen. Ein Kugelstoßer wirft aber wesentlich flacher ab. Wieso? Antwort: Der Kugelstoßer wirft nicht vom Boden, sondern höher ab. Dabei ändert sich der perfekte Abwurfwinkel!

28 Berechnung vom besten Abwurfwinkel:
Kugelstoßer Berechnung vom besten Abwurfwinkel: Der Kugelstoßer wirft von der Höhe h ab. y(tfall)=0 -> Auflösen nach tfall: Einsetzen in x(t) liefert:

29 Besonders interessant:
Kugelstoßer Ableiten nach alpha liefert: Nullsetzen liefert den bzw. die gesuchten Abwurfwinkel: Besonders interessant: Die Abhängigkeit des Winkels von v!

30 Kugelstoßer Alpha für ein paar Zahlenwerte von v (bei h=2m): Was fällt hier auf?

31 Flüchtender Verbrecher
Schafft er den Sprung? Der selbe Ansatz wie vorher (nur mit Spezialfall: alpha=0°; h=4,8 m; v=4,5 m/s) y=0 setzen liefert: in x(t) einsetzen: Der Verbrecher kann also nur noch auf eine weiche Mülltonne am Boden hoffen!

32 Wodurch werden die Bälle mehr gebremst?
elastischer Ball Wodurch werden die Bälle mehr gebremst? Luftreibung Energieverluste durch elastische Deformation Bahn des Balles: Geschwindigkeit

33 Betrag der Geschwindigkeit
elastischer Ball Betrag der Geschwindigkeit kann man hieraus g ermitteln??? Der Geschwindigkeitssprung am Boden zeigt, dass die elastische Deformation wesentlich mehr als der Luftwiderstand ausmacht.

34 Experimentelle Bestätigung:
elastischer Ball Experimentelle Bestätigung: Die Symmetrie der Parabeln zeigt auch, dass der Energieverlust bei der Reflexion vom Boden wesentlich höher ist als der durch den Luftwiderstand.

35 elastischer Ball Für g einfach noch mal ableiten...

36 Zum Schluss noch eine interessante Anmerkung:
Reibung des Balles proportional zu v^2: ?? Brauche Richtung Reibung des Balles proportional zu v: Komponentenweise Betrachtung: grundlegender Unterschied: Im 2. Fall sind die Differenzialgleichungen gekoppelt.

37 Zum Schluss noch eine interessante Anmerkung:
Auswirkungen dieses Unterschieds: Reibung des Balles proportional zu v^2: Reibung des Balles proportional zu v:

38 Danke für eure Aufmerksamkeit