Es gibt unendlich viele Vielfache einer Zahl!

Präsentation zum Thema: "Es gibt unendlich viele Vielfache einer Zahl!"—  Präsentation transkript:

1 Es gibt unendlich viele Vielfache einer Zahl!
Karte 1 Vielfache einer Zahl Jede Zahl kannst du mit jeder natürlichen Zahl multiplizieren. Wenn du z.B. die Vielfachen von 5 herausfinden willst, musst du nur die Zahl 5 mit jeder natürlichen Zahl multiplizieren: Die Zahl 5 hat unendlich viele Vielfache, da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt. Man schreibt das so: V5 = {5, 10, 15, 20, 25, …} 1  5 = 5 2  5 = 10 3  5 = 15 4  5 = 20 5  5 = 25 … Die Vielfachenmenge einer natürlichen Zahl erhält man, indem man diese Zahl der Reihe nach mit allen natürlichen Zahlen multipliziert. Es gibt unendlich viele Vielfache einer Zahl!

2 Karte 2 Teiler einer Zahl
Eine Tafel Schokolade mit 24 Stücken wird gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt: Rechnung: 24 : 4 : 6 Jedes Kind erhält nun 6 Stücke Schokolade. Die Zahl 6 ist also ein Teiler von 24. Man schreibt: 6 | 24 Will man nun die 24 Stücke Schokolade auf 5 Kinder verteilen, geht das nicht auf. 24 : 5 = 4 R4 Die Zahl 5 ist kein Teiler von 24. Man schreibt: 5 | 24 Ist eine Zahl ohne Rest durch eine natürliche Zahl teilbar, so ist diese Zahl ein Teiler.

3 Karte 1 Aufgaben Schreibe den Merktext in dein Heft und rahme ihn rot ein. Bestimme die ersten fünf Vielfachen der Zahlen und schreibe sie in Mengenschreibweise auf: a) V9 b) V25 c) V19 d) V60 e) V100 3. Ergänze die fehlenden Vielfachen: a) V___ = {___, ___, 27, ___, ___, …} b) V___ = { ___, ___, ___, 48, ___, ___, …} c) V11 = { ___, ___, ___, ___, ___, …} d) V___ = {__, 200, ___, ___, ___, …} e) V___ = {___, ___, ___, ___, ___, ___, 91, ___, 117, ___, …}

4 Karte 2 Aufgaben Schreibe den Merktext in dein Heft und rahme ihn rot ein. 2. Schreibe in dein Heft und setze | oder | ein: a) 4 ___ 16 b) 5 ___ 36 c) 4 ___ 68 d) 8 ___ 62 e) 20 ___ 400 f) 2 ___ 17 g) 10 ___ 901 h) 3 ___ 51 3. Begründe mit einer Rechenaufgabe. Beispiel: 7 | 35, weil 5  7 = 35 a) 8 | 104 b) 4 | 216 c) 17 | 51 d) 9 | 108 4. Rechne schriftlich: a) Ist 7 ein Teiler von ? b) Ist durch 11 teilbar?

5 Die Teiler in der Mengenschreibweise:
Karte 3 Teilermengen Die Teiler einer natürlichen Zahl kannst du durch Teilbarkeitsmengen darstellen. Beispiel: Die Teilermenge von 24. Um die Teiler zu finden kannst du dir eine Tabelle anlegen und die Zahl 24 solange durch natürliche Zahlen von 1 bis 24 teilen, bis sich eine Zahl wiederholt. Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24 teilen die Zahl 24. Man schreibt die Zahlen in der Reihenfolge von klein nach groß auf: T24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} geteilt durch 1 2 3 4 6 Ergebnis 24 12 8 Die Teiler in der Mengenschreibweise: Teiler von 24: T24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

6 Gemischtes Karte 4 Bearbeite folgende Aufgaben in deinem Heft:
Paul verspricht seinen Eltern: „Immer wenn es Taschengeld gibt, stecke ich genau 6 Euro in mein Sparschwein.“ Aber die Mutter traut Paul nicht und eines Tages zerschlagen sie gemeinsam das Sparschwein und finden darin 172€. Hat sich Paul an sein Versprechen gehalten? Begründe mathematisch. Der Eintritt in den Zirkus kostet 13€. An Kasse 1 wurde 1.365€ eingenommen und an Kasse 2 wurde 1.420€ eingenommen. Können die Tageseinnahmen an den Kassen stimmen? Sind folgende Aussagen wahr oder falsch? Begründe mathematisch! Es gibt Zahlen, die nur zwei Vielfache haben. Jede Zahl ist Teiler von sich selbst.

7 Karte 3 Aufgaben Schreibe den Merktext in den Heft und rahme in rot ein. Bestimme die Teiler der folgenden Zahlen und schreibe sie von klein nach groß als Teilermenge: a) T30 b) T20 c) T11 d) T36 d) T100 e) T160 Ergänze die Teilermengen: a) T6 = {1, 2, 3, ___} b) T___ = {1, 5, 25} c) T___ = {___, 3, 7, ___} d) T___ = {1, 2, ___, ___, ___, 8, 9, ___, ___, ___, 36, ___} e) T___ = {___, 3, ___} f) T___ = {___, 2, 3, 4, ___, ___, 12, 18, ___}

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9 Karte 5 Quersummenregel
Du hast heute deine Mathelehrerin genervt und sollst nun als „Nachdenkaufgabe“ überprüfen, ob man die Zahlen und durch 3 und durch 9 teilen kann. „So ein Blödsinn“, denkst du, „da muss es doch einen Trick geben?“. So einen Trick gibt es tatsächlich: Du musst nur die Quersumme der beiden Zahlen bilden und gucken, ob diese durch 3 oder durch 9 teilbar ist. Dann ist auch die Zahl durch 3 oder 9 teilbar. : = 30 geht durch 3 und 9 : = 39 geht durch 3, nicht durch 9 Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

10 Karte 6 Teilbarkeit durch 2, 5 und 10
Du bekommst die Aufgabe bei einigen Zahlen zu überprüfen, ob sie durch 2, 5 oder 10 teilbar sind. Die Zahlen sind oder oder Nun hast du aber keine Lust die ganzen schriftlichen Rechnungen durchzuführen. Wie immer in der Mathematik gibt es auch hier einen Trick: Man braucht sich nur die letzte Ziffer der Zahl anzuschauen! Die letzte Ziffer ist eine 5 => Die Zahl ist durch 5 teilbar. Die letzte Ziffer ist eine 0 => Die Zahl ist durch 2 und 5 und 10 teilbar. Die letzte Ziffer ist eine 8 => Die Zahl ist durch 2 teilbar. Eine Zahl ist ohne Rest durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0, 2,4, 6 oder 8 ist. Eine Zahl ist ohne Rest durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist. Eine Zahl ist ohne Rest durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.

11 Karte 5 Aufgaben Schreibe den Merktext in dein Heft und rahme ihn rot ein. Welche Zahlen sind durch 3 teilbar, welche auch durch 9? Prüfe nach. a) b) c) d) e) f) g) h) Warum ist eine Zahl, die durch 9 teilbar ist, immer auch durch 3 teilbar? Setze in die Lücke der Zahlen, die fehlende Ziffer ein, so dass eine durch 3 teilbare Zahl entsteht. Nenne alle Möglichkeiten. a) 8.65_ b) 2.0_1 c) 73_ d) _56 e) 10.00_ f) _1 g) 234.1_1 h) _44

12 Karte 6 Aufgaben Schreibe den Merktext in dein Heft und rahme ihn rot ein. Übertrage die Tabelle in dein Heft und kreuze an. 3. Warum sind Zahlen, die durch 2 und durch 5 teilbar sind, auch immer durch 10 teilbar? Setze in die Lücke die Endziffer so ein, dass die Zahl durch 2, aber nicht durch 5 teilbar ist. Gib alle Möglichkeiten an. a) 52_ b) 45_ c) d) 790_ Teiler 234 450 1.345 10.200 25.555 34.120 6.666 2.343 950 2 5 10

13 Karte 7 Teilbarkeit durch 4 und 100
Du bekommst die Aufgabe bei einigen Zahlen zu überprüfen, ob sie durch 4 oder 100 teilbar sind. Die Zahlen sind oder oder Nun hast du aber keine Lust die ganzen schriftlichen Rechnungen durchzuführen. Wie immer in der Mathematik gibt es auch hier einen Trick: Man braucht sich nur die letzten beiden Ziffern der Zahl anzuschauen! Die letzten beiden Ziffern sind 68 => 68 geht durch 4 => teilbar Die letzten beiden Ziffern sind 00 => geht durch 100 und 4 Die letzten beiden Ziffern sind 16 => 16 geht durch 4 => teilbar Eine Zahl ist ohne Rest durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind. Eine Zahl ist ohne Rest durch 100 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern 00 sind.

14 Gemischtes Karte 8 Bearbeite folgende Aufgaben im Heft:
Welche Zahl liegt zwischen 50 und 60 und ist durch 2 und 3 teilbar? Welche Zahl liegt zwischen 40 und 50 uns ist durch 3 und 5 teilbar? Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Warum ist das so? Wann ist eine Zahl ohne Rest durch 25 teilbar? Schreibe einen Merksatz auf. Welche Zahl liegt zwischen 120 und 140 und ist durch 2, 3 und 9 teilbar? Wie heißt die kleinste Zahl, die durch 2, 4 und 5 teilbar ist? Wie heißt die kleinste Zahl, die durch 2, 3 und 9 teilbar ist?

15 Karte 7 Aufgaben Schreibe den Merktext in dein Heft und rahme ihn rot ein. Übertrage die Tabelle in dein Heft und kreuze an. Schaltjahre sind Jahre, in denen es einen zusätzlichen Tag gibt (29. Februar). Ein Jahr ist ein Schaltjahr, wenn seine Jahreszahl durch 4 teilbar ist. Ausgenommen sind aber alle vollen Jahrhunderte, deren Jahreszahl nicht durch 400 teilbar sind. a) Welches Jahre sind Schaltjahre? 1648; ; ; ; ; ; ; b) Nenne die nächsten fünf Schaltjahre. Teiler 84 3.400 12.576 344 8.000 152 4 100

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17 Primzahlen Karte 9 Der griechische Mathematiker Eratosthenes
hat vor ca. 200 Jahren ein Verfahren gefunden, wie man die Primzahlen ohne zu rechnen finden kann. Zuerst hat er alle Vielfachen von 2 gestrichen. Dann hat er alle Vielfachen von 3 gestrichen, die dann noch übrig waren. Die Vielfachen von 4 musste er nicht streichen, da diese ja schon von der 2 gestrichen waren. Nun strich er alle Vielfachen der 5, die noch übrig sind. Die Vielfachen der 6 sind schon durch 2 und 3 gestrichen worden. Die Vielfachen der 7 strich er danach. Die Vielfachen der 8, 9 und 10 sind schon weg. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Eine Zahl, die nur zwei verschiedene Teiler hat, nennt man Primzahl. Sie ist nur durch 1 und sich selbst teilbar.

18 kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)
Karte 10 kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) Ute und Peter spielen mit ihren Modellautos. Sie starten gemeinsam am Startpunkt. Utes Auto braucht für eine Runde 12 Sekunden und Peters Auto braucht 10 Sekunden. Nach wie vielen Runden kommen beide Autos gleichzeitig ins Ziel? Dies kannst du ganz einfach ausrechnen. Du musst dazu nur die Vielfachenmengen der Zahlen 12 und 10 aufzuschreiben und zu gucken, wann die Mengen ein gemeinsames Vielfaches hat. V12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, …} V10 = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, …} Die Zahlen 10 und 12 haben die gemeinsamen Vielfachen 60, 120, usw. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 60. Nach 60 Sekunden kommen die Autos wieder gemeinsam ins Ziel. Man schreibt: kgV (10, 12) = 60 Unter den gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen gibt es eine kleinste Zahl, das sogenannte kleinste gemeinsame Vielfache (kgV).

19 Aufgaben Karte 9 Schreibe den Merktext ab und rahme ihn rot ein.
Schreibe alle übrig gebliebenen Zahlen von klein nach groß auf. Warum ist die Zahl 1 keine Primzahl? Warum sind folgende Zahlen keine Primzahlen? Die Teilbarkeitsregeln helfen dir dabei. a) 12 b) 777 c) 205 d) 102 e) 591 f) 249 g) 123 5. Warum können gerade Zahlen (außer die Zahl 2) keine Primzahlen sein? 6. Übertrage die Zahlen ins Heft und kreise jeweils die Primzahlen ein. a) 11, 21, 31, 41 b) 13, 23, 33, 43 c) 17, 27, 37, 47

20 Karte 10 Aufgaben Schreibe den Merktext in dein Heft und rahme ihn rot ein. Bestimme das kgV der zwei Zahlen, indem du zuerst die Vielfachenmengen aufschreibst. a) kgV (15, 20) b) kgV (18, 24) c) kgV (25, 35) d) kgV (24, 36) 3. Lies noch einmal die Geschichte auf der Vorderseite. Nach 60 Sekunden sind die Autos von Ute und Peter wieder gemeinsam am Ziel Wie viele Runden ist Utes Auto gefahren? Wie viele Runden ist Peters Auto gefahren? 4. Kann es auch ein größtes gemeinsames Vielfaches geben? Begründe deine Meinung. Drei Geschäftsreisende treffenden sich regelmäßig in einem ICE nach Hamburg. Frau Berg fährt alle 15 Tage, Herr Meier alle 18 Tage und Herr Schulte alle 30 Tage. Nach wie vielen Tagen treffen sich alle drei wieder? Wie oft sind bis dahin Frau Berg, Herr Müller und Herr Schulte gefahren?

21 ggT (größter gemeinsamer Teiler)
Karte 11 ggT (größter gemeinsamer Teiler) In der Mensa einer Schule gibt es täglich zwei Menüs. Das eine Menü kostet 6€ und das andere Menü kostet 4€. Nun möchte die Mensa nicht mehr mit Geld hantieren, sondern Wertbons einführen mit denen man beide Menüs bezahlen kann. Diesen Geldbetrag kannst du ganz einfach ausrechnen. Du musst dazu nur die Teilermengen der Zahlen 6 und 4 aufzuschreiben und dann gucken, ob die Mengen einen gemeinsamen Teiler haben. T6 = {1, 2, 3, 6} T4 = {1, 2, 4} Die Zahlen 6 und 4 haben die gemeinsamen Teiler 1 und 2. Der größte gemeinsame Teiler ist 2. Mit einem Wertbon von 2€ kann man in der Mensa beide Menüs bezahlen.. Man schreibt: ggT (4, 6) = 2 Unter den gemeinsamen Teilern zweier Zahlen gibt es eine größte Zahl, der sogenannte größte gemeinsame Teiler (ggT).

22 Karte 12 Gemischtes Wie viele Karten muss ein Kartenspiel mindestens haben, damit die Karten gleichmäßig an drei, an vier, an fünf und auch an sechs Kinder verteilt werden können? In einer Schulklasse befinden sich 12 Mädchen und 18 Jungen. Im Sportunterricht sollen gleich große Gruppen gebildet werden, die jeweils nur Jungen und Mädchen enthalten. Wie groß sind die Gruppen? Wie viele Jungengruppen und wie viele Mädchengruppen gibt es dann? Zwei Baumstämme von 18m und 24m Länge sollen ohne Abfall in gleich große Stücke geschnitten werden. Wie lang sind die Holzstücke? Wie viele Stücke erhält man?

23 Karte 11 Aufgaben Schreibe den Merktext in dein Heft und rahme ihn rot ein. Bestimme den ggT zweier Zahlen, indem du zuerst die Teilermengen aufschreibst. a) ggT (6, 15) b) ggT (15, 24) c) ggT (36, 42) d) ggT (15, 18) Haben zwei Zahlen nur den gemeinsamen Teiler 1, so nennt man sie teilerfremd. Sind folgende Zahlen zueinander teilerfremd? a) 10 und 27 b) 15 und 25 c) 17 und 31 d) 7 und 35 Lies noch einmal die Geschichte auf der Vorderseite. Die Mensa kann Wertbons von 2€ verkaufen. Wie viel Wertbons braucht man für Menü 1 und wie viel Wertbons braucht man für Menü 2? 5. Warum ist der ggT von zwei Primzahlen immer 1? Du kannst als Hilfe die Teilermengen zweier Primzahlen aufschreiben.

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25 Karte 13 Teilbarkeitsregeln Ankreuzaufgaben
Eine Zahl ist ohne Rest durch 2 teilbar, wenn sie auf 2, 4, 6, 8 und 0 endet. Eine Zahl ist ohne Rest durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist ohne Rest durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind. Eine Zahl ist ohne Rest durch 5 teilbar, wenn sie auf 5 oder 0 endet. Eine Zahl ist ohne Rest durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 5 teilbar ist. Eine Zahl ist ohne Rest durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Eine Zahl ist ohne Rest durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet. Eine Zahl ist ohne Rest durch 100 teilbar, wenn sie auf 00 endet.

26 Karte 14 Teilbarkeitsregeln Sachaufgaben Regeln für Sachaufgaben:
Eine Zahl ist ohne Rest durch 2 teilbar, wenn sie auf 2, 4, 6, 8 und 0 endet. Eine Zahl ist ohne Rest durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist ohne Rest durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind. Eine Zahl ist ohne Rest durch 5 teilbar, wenn sie auf 5 oder 0 endet. Eine Zahl ist ohne Rest durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 5 teilbar ist. Eine Zahl ist ohne Rest durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Eine Zahl ist ohne Rest durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet. Eine Zahl ist ohne Rest durch 100 teilbar, wenn sie auf 00 endet. Regeln für Sachaufgaben: Lies den Text sehr gut durch. Gehe die Aufgabe in Gedanken noch einmal „in eignen Worten“ durch. Notiere alle wichtigen Angaben. Mache dich an die Lösung der Aufgabe.

27 Ankreuzaufgaben Karte 13 Übertrage in dein Heft und kreuze an.
Übertrage in dein Heft und finde eine Zahl, für die folgende Teilbarkeit liefern. 2 3 4 5 6 9 10 100 7.500 2.345 2.224 31.860 51.231 2 3 4 5 6 9 10 100 ????? x  ???  x

28 Sachaufgaben Karte 14 Übertrage und und vervollständige die Sätze.
a) Eine Zahl ist ohne Rest durch 50 teilbar, wenn … b) Eine Zahl ist ohne Rest durch 200 teilbar, wenn … 2. Begründe ohne zu rechnen, dass nicht durch 15 teilbar ist. 3. In einem Spaßbad kostet der Eintritt werktags 4€ und an den Wochenenden 6€. An welchen Tagen stimmt der Kassenbestand nicht? 4. Im Park am „Oberen Schloss“ sollen neue Blumen gepflanzt werden. Eine Gärtnerei hat 135 Tulpen, die in Reihen eingepflanzt werden sollen. In den Beeten ist Platz für 2, 3, 4 oder 5 Tulpen. Wie viele Reihen kann die Gärtnerei pflanzen? Mo Di Mi Do Fr Sa So 924€ 616€ 765 € 10.052€ 973 € € 24.600€

29 kgV und ggT (Sachaufgaben)
Karte 15 kgV und ggT (Sachaufgaben) kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches): Um dieses kleinste gemeinsame Vielfache herauszufinden, musst du die Vielfachenmengen der Zahlen aufschreiben. Anschließend markierst du dann die gemeinsamen Vielfachen und hebst das Kleinste davon besonders hervor. ggT (größter gemeinsamer Teiler): Um diesen größten gemeinsamen Teiler herauszufinden, musst du die Teilermengen der Zahlen aufschreiben. Anschließend markierst du dann die gemeinsamen Teiler und hebst den Größten davon besonders hervor. Unter den gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen gibt es eine kleinste Zahl, das sogenannte kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Unter den gemeinsamen Teilern zweier Zahlen gibt es eine größte Zahl, der sogenannte größte gemeinsame Teiler (ggT).

30 kgV und ggT Karte 15 (formale Aufgaben)
kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches): Um dieses kleinste gemeinsame Vielfache herauszufinden, musst du die Vielfachenmengen der Zahlen aufschreiben. Anschließend markierst du dann die gemeinsamen Vielfachen und hebst das Kleinste davon besonders hervor. ggT (größter gemeinsamer Teiler): Um diesen größten gemeinsamen Teiler herauszufinden, musst du die Teilermengen der Zahlen aufschreiben. Anschließend markierst du dann die gemeinsamen Teiler und hebst den Größten davon besonders hervor. Unter den gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen gibt es eine kleinste Zahl, das sogenannte kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Unter den gemeinsamen Teilern zweier Zahlen gibt es eine größte Zahl, der sogenannte größte gemeinsame Teiler (ggT).

31 Karte 15 Sachaufgaben Wie groß ist das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Primzahlen? Zwei Zahnräder mit einmal 16 Zähnen und einmal 24 Zähnen sind in einem Getriebe eingebaut. Wie viele Umdrehungen muss das kleine und wie viele Umdrehungen muss das große Zahnrad machen, damit sie wieder genauso aufeinandertreffen? Ein Fabrikhallenboden hat eine Länge 12m und 9m. Er wird mit quadratischen Platten belegt. a) Wie groß dürfen die Platten höchstens sein, damit keine zerteilt werden muss? b) Wie viele Platten werden dann benötigt? 16 24

32 Formale Aufgaben Karte 16 1. Zahl 2. Zahl ggT kgV ggT · kgV
a) Übertrage die Tabelle sauber und ordentlich in dein Heft und fülle sie aus. b) Was fällt dir auf, wenn du jeweils die Multiplikationen ausführst? 1. Zahl 4 8 2 15 12 2. Zahl 6 9 16 14 25 20 ggT kgV ggT · kgV 1. Zahl · 2. Zahl