1.) Der erweiterte Sinussatz

Präsentation zum Thema: "1.) Der erweiterte Sinussatz"—  Präsentation transkript:

1

2 1.) Der erweiterte Sinussatz

3 Beh.: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R gilt:

4 Beh.: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R gilt:

5 Zum Beweis betrachten wir zunächst dieses Dreieck ABC

6 Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC

7 Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC
Nach dem Satz des Thales beträgt in diesem Dreieck der Winkel in B 90°

8 Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC
Nach dem Satz des Thales beträgt in diesem Dreieck der Winkel in B 90° Die Winkel in A und in J liegen auf dem selben Kreisbogen.

9 Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC
Nach dem Satz des Thales beträgt in diesem Dreieck der Winkel in B 90° Die Winkel in A und in J liegen auf dem selben Kreisbogen. Daher gilt:

10 Das Dreieck ABC kann in A einen spitzen Winkel haben (wie I.)

11 Das Dreieck ABC kann in A einen spitzen Winkel haben (wie I
Das Dreieck ABC kann in A einen spitzen Winkel haben (wie I.) oder einen stumpfen Winkel (wie II.) I. II.

12 Und dann gibt es natürlich noch rechtwinklige Dreiecke
Die sind aber eher langweilig, weil hier die Behauptung sowieso gilt

13 Betrachten wir jetzt also den zweiten Fall
II.

14 Wie bei I. erhalten wir durch Ziehen des Durchmessers CJ ein zweites Dreieck BJC
Der Winkel in B beträgt wiederum 90° II.

15 Wie bei I. erhalten wir durch Ziehen des Durchmessers CJ ein zweites Dreieck BJC
Der Winkel in B beträgt wiederum 90° In einem eingeschriebenen Viereck ergänzen sich die gegenüberliegenden Winkel zu 180° II.

16 Wie bei I. erhalten wir durch Ziehen des Durchmessers CJ ein zweites Dreieck BJC
Der Winkel in B beträgt wiederum 90° Daher gilt: II.

17 Wir wissen also bisher:

18 Wir wissen also bisher:
Für I.:

19 Wir wissen also bisher:
Für I.: Für II.:

20 Wir wissen also bisher:
Für I.: Für II.: Für I. und II.: da

21 Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ?

22 Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ?

23 Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ?

24 Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ?
Da sinJ = sinA gilt auch:

25 Analog zu A gilt natürlich auch:

26 Analog zu A gilt natürlich auch:
und

27 Einfaches Umformen liefert aus

28 Einfaches Umformen liefert aus

29 Einfaches Umformen liefert aus

30 Einfaches Umformen liefert aus

31 Es gilt also: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R

32 Es gilt also: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R

33 Es gilt also: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R
Und das wollten wir ja beweisen.

34 2.) Beh.:

35 Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:

36 Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:

37 Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:

38 Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:

39 Außerdem wissen wir:

40 Außerdem wissen wir:

41 Außerdem wissen wir: und setzen dies ein in

42 Und erhalten so

43 Und erhalten so Und das können wir schreiben als

44 Und erhalten so Und das können wir schreiben als Toll, was?

45 3.) Der Satz von Ceva

46 Der italienische Mathematiker Giovanni Ceva fand 1678 folgendes heraus:
Schneiden sich drei Ecktransversalen AX, BY, CZ eines Dreiecks in einem Punkt, dann gilt:

47 Um dies zu beweisen, benutzen wir, dass für Dreiecke mit gleicher Höhe

48 Um dies zu beweisen, benutzen wir, dass für Dreiecke mit gleicher Höhe

49 Um dies zu beweisen, benutzen wir, dass für Dreiecke mit gleicher Höhe
und damit

50 Betrachten wir nun folgendes Dreieck

51 Betrachten wir nun folgendes Dreieck
Und fügen eine Ecktransversale AX ein

52 Dann erhalten wir: einmal das Dreieck ABX mit

53 Und gleichzeitig das Dreieck AXC mit

54 Wir wissen, dass und daher

55 Wir wissen, dass und daher

56 Wir wissen, dass und daher
beziehungsweise

57 Fügen wir nun noch einen Punkt P ein

58 Fügen wir nun noch einen Punkt P ein

59 Dann erhalten wir

60 Dann erhalten wir das Dreieck BXP mit dem Flächeninhalt B1

61 Dann erhalten wir das Dreieck BXP mit dem Flächeninhalt B1
das Dreieck XCP mit dem Flächeninhalt B2

62 Dann erhalten wir das Dreieck BXP mit dem Flächeninhalt B1
das Dreieck XCP mit dem Flächeninhalt B2 das Dreieck ABP mit dem Flächeninhalt C1

63 Dann erhalten wir das Dreieck BXP mit dem Flächeninhalt B1
das Dreieck XCP mit dem Flächeninhalt B2 das Dreieck ABP mit dem Flächeninhalt C1 das Dreieck APC mit dem Flächeninhalt C2

64 Analog zu

65 Analog zu gilt nun

66 Durch Umformungen erhalten wir

67 Durch Umformungen erhalten wir
II.

68 Durch Umformungen erhalten wir
II. I. – II.

69 Durch Umformungen erhalten wir
II. I. – II.

70 Durch Umformungen erhalten wir
II. I. – II. wobei und

71 Es gilt also

72 Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden,
dann gilt für die Seiten b und c das gleiche wie für a

73 Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden,
also

74 Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden,
also

75 Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden,
also

76 Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden,
also

77 Zurück zur Behauptung

78 Zurück zur Behauptung setzen ein: , und

79 Zurück zur Behauptung setzen ein: , und und erhalten

80 Zurück zur Behauptung setzen ein: , und und erhalten w.z.b.w.

81 Das gilt natürlich nur für Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen

82 Es gilt aber auch der Umkehrschluss, nämlich

83 Es gilt aber auch der Umkehrschluss, nämlich:
Erfüllen drei Ecktransversalen die Gleichung so schneiden sie sich in einem Punkt

84 Beweis:

85 Beweis: Wir nehmen ein Dreieck mit zwei Ecktransversalen, die sich in P schneiden,

86 Beweis: Wir nehmen ein Dreieck mit zwei Ecktransversalen, die sich in P schneiden, dann gibt es nur eine Ecktransversale durch C, die ebenfalls durch P geht. Diese schneidet sich mit c in Z´

87 Beweis: Damit erfüllt Z´ die Bedingungen für die Gleichung

88 Beweis: Damit erfüllt Z´ die Bedingungen für die Gleichung Da aber unsere Voraussetzung ist, folgt daraus, dass Z und Z´ zusammenfallen. Daher schneidet CZ die anderen Ecktransversalen in P.

89 Beweis: Damit erfüllt Z´ die Bedingungen für die Gleichung Da aber unsere Voraussetzung ist, folgt daraus, dass Z und Z´ zusammenfallen. Daher schneidet CZ die anderen Ecktransversalen in P. Fertig!!!