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und Veranschaulichung
CD-ROM zum Buch Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrich Gabbert Dr.-Ing. Ingo Raecke Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Institut für Mechanik Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Ulrich Gabbert Ingo Raecke 3 Dynamik Startseite Eine PowerPoint Präsentation mit Animationen in Text und Bild zur Vermittlung und Veranschaulichung der Grundkenntnisse in der Technischen Mechanik ? Ende

Alle auf der beiliegenden CD-ROM enthaltenen Programme, Verfahren und Bilder wurden nach bestem Wissen erstellt und mit Sorgfalt getestet. Dennoch sind Fehler nicht ganz auszuschließen. Aus diesem Grunde ist das vorliegende Programm-Material mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Autoren und Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung oder Garantie und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag © 2003 Carl Hanser Verlag München Wien 3 Dynamik Schutzrechte ? Ende

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3 Dynamik Hilfe Beachte: Beim erstmaligen Aufruf einer Seite (über das Inhaltsverzeichnis bzw. bei gesetzten Sprüngen oder der gezielten An-wahl einer Seite mit: PowerPoint Foliennummer <n> und Eingabetaste) erscheint nur der von den Autoren vorgesehene Start-inhalt der Seite. Es kann somit das angewählte Kapitel oder das Ziel eines gesetzten Sprungs erst weiter unten auf der Seite nach einigen Animationen erscheinen. Weitere nützliche Funktionen: Im Inhaltsverzeichnis kann man durch Positionierung des Mauszeigers auf eine Kapitelzeile und einem Klick (linke Taste) direkt zu der Seite mit dem angewählten Kapitel gelangen (gesetzter Sprung). Das aktuelle Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) und die aktuelle Seite (bis auf die Statik nicht identisch mit der Foliennummer) erscheint immer unten rechts. Bestimmte Verweise auf Kapitel, Formeln usw. sind rot umrandet. Mit einem Mausklick (linke Taste) in den rot umrandeten Be-reich wird ein gesetzter Sprung zu dem Ziel ausgeführt. Zurück kommt man innerhalb eines Hauptkapitels schnell mit Beachte: Bei Präsentationen mit dem PowerPoint-Viewer erfolgt ein gesetzter Sprung in ein anderes Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) programmbedingt immer nur auf die Startseite des Hauptkapitels. Über das Inhaltsverzeich-nis bzw. die Foliennummer (in der Form: S <n>, F <n>, D <n> angegeben) gelangt man dann schnell an die gewünschte Stelle. Hinweis: Die Nummerierungen der Kapitel, Gleichungen und Bilder sind mit den Nummerierungen im Buch identisch. Zusätzliche Bilder in dieser Präsentation sind nicht nummeriert. Die Seitenzahlen sind nicht identisch mit denen des Buches. zurück zur letzten angesehenen Seite zum Inhaltver- zeichnisses eine Seite vor Aufruf dieser Hilfe ein Kapitel zurück. zurück ein Kapitel vor Präsentation beenden Ende ? Zum vereinfachten Navigieren ist auf jeder Seite eine Symbolleiste mit folgenden Funktionen, die mit dem Mauszeiger durch Anklicken aktiviert werden, angeordnet: Hilfe (siehe auch Datei auf der CD-ROM: Hinweise.doc) Animationsschritt vorwärts: Eingabetaste (), Leertaste, linke Maustaste, Nach-Rechts-, Nach-Unten-, Bild-Nach-Unten-Taste und „N“ Animationsschritt zurück: Nach-Links-, Nach-Oben-, Bild-Nach-Oben-Taste und „P“ Seitenwechsel: erfolgen bei der fortlaufenden Animation automatisch Eine Seite anwählen: PowerPoint Foliennummer <n> und Eingabetaste (z. B. im gelben Feld des Inhaltsverzeichnisses angegeben) Präsentation beenden: Esc Die PowerPoint-Präsentation kann mit den Funktionen, die das Programm PowerPoint bzw. PowerPoint-Viewer bietet, vorgenom-men werden (siehe auch die Hilfefunktion zu PowerPoint, die während der Präsentation z. B. über das Menü der rechten Maus-taste erreichbar ist). Für Nutzer von PowerPoint-Viewer (hier steht die Hilfe nicht zur Verfügung) sind die wichtigsten Funktionen nachfolgend aufgeführt: ? Ende

3 Dynamik Einführung Die CD-ROM enthält den kompletten1 Buchinhalt in Form einer PowerPoint-Präsentation, die so aufbereitet wurde, dass sich die Lehrinhalte – wie bei einer Vorlesung – Schritt für Schritt auf dem Bildschirm entwickeln, wobei Sie selbst das Tempo bestimmen können. Vor- und Rücksprünge zu Kapiteln, Gleichungen und Bildern, auf die bei der Ableitung eines Zusammenhangs oder beim Lösen von Beispielen Bezug genommen wird sowie ein einfaches Navigieren auf der CD-ROM unter Nutzung des Inhaltsverzeichnisses und der auf jeder Seite vorhandenen Symbolleiste (siehe unten), erleichtern die Arbeit mit der PowerPoint-Präsentation. Zeichnungen, Bilder, zusätzliche Fotos und Animationen in Farbe begleiten die Entwicklung eines Gedanken-ganges, lassen den Lösungsweg einer Aufgabe klarer hervortreten und unterstützen so den nicht immer ein-fachen Lernprozess und das Verstehen der Zusammenhänge. Allerdings können Sie weder das Buch noch die CD-ROM von der Notwendigkeit entbinden, sich den Stoff mit Bleistift und Papier zu erarbeiten und selbständig möglichst viele Beispiele zu rechnen. Die Mechanik erschließt sich nicht einfach nur durch das Lesen eines Buches oder das Abspielen einer CD-ROM, sondern erfordert die Bereitschaft und die Mühe, das Gehörte und Gelesene zu verstehen und das Verständnis an Hand von Beispielen zu überprüfen. Wir hoffen aber, dass das vorliegende Buch und die beigefügte CD-ROM das Lernen, das Verstehen und das Anwenden der vermittelten Lehrinhalte erleichtern und wirkungsvoll unterstützen. 1 Die Textpassagen sind auf der CD-ROM gegenüber dem Buch etwas umgestellt und um die Teile gekürzt, die nicht unmittelbar zur Herleitung eines Gedankenganges benötigt werden. Das war unserer Meinung nach deshalb notwendig, um zusammen-hängende Ableitungen möglichst auf eine PowerPoint Seite bringen zu können und um unnötige Rücksprünge zu vermeiden. ? Ende

identisch mit Seite PowerPoint Folien-Nr. Inhaltsverzeichnis (Datei: TM-Wi-stat.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit S <n> ) Seite 1 STATIK 12 S 12 1.1 Grundlagen 15 S 15 1.1.1 Starrer Körper 15 S 15 1.1.2 Kraft 16 S 16 1.1.3 Wechselwirkungsprinzip 19 1.1.4 Schnittprinzip 20 1.1.5 Reaktionskräfte und eingeprägte Kräfte 21 1.1.6 Gleichgewicht 21 1.1.7 Äquivalenz von Kräften 23 1.2 Zentrales ebenes Kraftsystem 24 1.2.1 Resultierende 24 1.2.2 Gleichgewicht von Kräften 31 1.2.3 Lagerungsbedingungen 32 1.3 Allgemeines ebenes Kraftsystem 36 1.3.1 Ermittlung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte 36 1.3.2 Moment 38 1.3.3 Versetzungsmoment 40 1.3.4 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (Lösungskonzept) 42 1.3.5 Gleichgewicht von Kräften und Momenten 44 1.3.6 Bindungen, Freiheitsgrad und statische Bestimmtheit einer starren Scheibe 46 S 46 ? Ende 3 Dynamik Inhalt Seite: 5

? 1.4 Ebene Tragwerke 49 S 49 1.4.1 Grundbegriffe 49
identisch mit Seite 1.4 Ebene Tragwerke 49 S 49 1.4.1 Grundbegriffe 49 1.4.2 Lagerung starrer Scheiben 50 1.4.3 Streckenlasten 55 Definition von Streckenlasten 55 Ermittlung der Resultierenden einer Streckenlast 57 1.4.4 Beispiele 59 1.5 Scheibenverbindungen 62 1.5.1 Ermittlung der statischen Bestimmtheit 62 1.5.2 Dreigelenkträger 67 1.5.3 Gerberträger 72 1.5.4 Ebene Fachwerke 75 Überprüfung der statischen Bestimmtheit von Fachwerken 80 Arten von Fachwerken 81 Berechnungsmethoden für Fachwerke 83 1.6 Schnittgrößen in ebenen Trägern und Trägersystemen 88 1.6.1 Definition der Schnittgrößen 88 1.6.2 Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen 91 1.6.3 Differentielle Beziehungen 95 1.6.4 Anwendungen 98 1.7 Zentrales räumliches Kraftsystem 110 1.7.1 Ermittlung der Resultierenden 111 1.7.2 Gleichgewicht einer zentralen räumlichen Kräftegruppe 112 S 112 ? Ende 3 Dynamik Inhalt Seite: 6

? 1.8 Allgemeines räumliches Kraftsystem 114 S 114
identisch mit Seite 1.8.1 Zusammensetzung von Kräften und Momenten 117 1.8.2 Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente 118 1.8.3 Räumlich gestützter Körper 119 1.8.4 Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken 123 1.9 Schwerpunkt 127 1.9.1 Massenschwerpunkt 127 1.9.2 Volumenschwerpunkt 129 1.9.3 Flächenschwerpunkt ebener Flächen 129 1.9.4 Linienschwerpunkt ebener Linien 131 1.9.5 Schwerpunkt zusammengesetzter Gebilde 132 1.9.6 Anmerkungen zur Berechnung von Schwerpunkten 133 1.10 Flächenträgheitsmomente 134 Definition der Flächenträgheitsmomente 134 Satz von STEINER 137 Flächenträgheitsmomente einfacher Querschnittsflächen 140 Hauptträgheitsmomente 141 Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Flächen 146 1.11 Haftung und Gleitreibung 148 Haftung (Zustand der Ruhe) 149 Gleitreibung (Zustand der Bewegung) 154 Seilhaftung und Seilreibung 156 Seilhaftung 156 Seilreibung 160 S 160 ? Ende 3 Dynamik Inhalt Seite: 7

2 Festigkeitslehre 161 F 12 (Datei: TM-Wi-fest.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit F <n> ) 2.1 Grundlagen der Festigkeitslehre 162 F 13 2.1.1 Einleitung 162 F 13 2.1.2 Spannungszustand 168 F 19 2.1.3 Deformationszustand 171 F 22 2.1.4 Elastizitätsgesetze (Materialgesetze) 174 F 25 Elastizitätsgesetz für die Dehnung 175 F 26 Elastizitätsgesetz für die Gleitungen 181 F 32 Verallgemeinertes HOOKEsches Gesetz 182 F 33 2.2 Zug und Druck 184 F 35 2.2.1 Spannungen und Verformungen von Stabsystemen 184 F 35 Berechnung der Spannung 184 F 35 Berechnung der Verformungen 188 F 39 2.2.2 Flächenpressung 198 F 49 2.3 Biegung 203 F 54 2.3.1 Voraussetzungen und Annahmen 203 F 54 2.3.2 Spannungen bei gerader Biegung 205 F 56 2.3.3 Verformungen bei gerader Biegung 212 F 63 2.3.4 Schiefe Biegung 229 F 80 2.4 Querkraftschub 234 F 85 2.4.1 Schubspannungen infolge Querkraftbelastung 234 F 85 2.4.2 Abschätzung der Verformungen infolge Querkraftbelastung 238 F 89 ? Ende 3 Dynamik Inhalt Seite: 8

2.5 Torsion 242 F 93 (Datei: TM-Wi-dyn.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit D <n> ) 2.5.1 Torsion von Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten 243 F 94 Annahmen und Voraussetzungen 243 F 94 Berechnung der Torsionsspannung 244 F 95 Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel j) 247 F 98 2.5.2 Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte 254 F 105 2.6 Scherbeanspruchung 258 F 109 2.7 Zusammengesetzte Beanspruchung 263 F 114 2.7.1 Überlagerung gleichartiger Spannungen 264 F 115 2.7.2 Mehrachsige Spannungszustände 265 F 116 2.7.3 Spannungshypothesen 275 F 126 2.8 Stabilität 285 F 136 2.8.1 Einführung 285 F 136 2.8.2 Ein einfaches Stabilitätsproblem 290 F 141 2.8.3 EULER-Fälle 293 F 144 3 Dynamik 302 D 12 3.1 Kinematik des Punktes 304 D 14 3.1.1 Definitionen 304 D 14 3.1.2 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten 305 D 15 3.1.3 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten 307 D 17 3.1.4 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten 309 D 19 3.1.5 Bewegung auf einer Kreisbahn 311 D 21 3.1.6 Grundaufgaben der Kinematik 313 D 23 ? Ende 3 Dynamik Inhalt Seite: 9

? 3.2 Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers 318 D 28
3.2.1 Grundlagen 318 D 28 3.2.2 Momentanpol 319 D 29 3.2.3 Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starren Körpern 325 D 35 3.3 Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern 330 D 40 3.3.1 D’ALEMBERTsche Prinzip für Punktmassen 330 D 40 3.3.2 Ebene Bewegungen von starren Körpern 337 D 47 3.3.3 Aufstellung von Bewegungsgleichungen 349 D 59 3.4 Energiebetrachtungen 356 D 66 3.4.1 Arbeit, Energie, Leistung 356 D 66 Arbeit 356 D 66 Potentielle Energie 359 D 69 Energieerhaltungssatz 360 D 70 Leistung 368 D 78 Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers 371 D 81 3.4.2 Verallgemeinerung des Energiesatzes 376 D 86 3.4.3 LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen 2. Art 380 D 90 3.5 Schwingungen 389 D 99 3.5.1 Einführung 389 D 99 3.5.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 394 D 104 3.5.3 Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 407 D 117 3.5.4 Erzwungene Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 417 D 127 3.5.5 Systeme mit mehreren (n) Freiheitsgraden 424 D 134 ? Ende 3 Dynamik Inhalt Seite: 10

Einführung 424 D 134 Aufstellen der Bewegungsgleichungen 425 D 135 bis D 145 ? Ende 3 Dynamik Inhalt Seite: 11

3 Dynamik Ziel der Dynamik Dynamik ?
In den Kapiteln 1 Statik und 2 Festigkeitslehre wurden mechanische Systeme im Zustand der Ruhe behandelt. In der Dynamik werden bewegte Systeme untersucht. Zunächst befassen wir uns im Teilgebiet Kinematik mit den Bewegungen von Punkten und starren Körpern, ohne nach der Ursache der Bewegung zu fragen. Danach beziehen wir Kräfte als Ursache oder Wirkung von Bewegungen von Massen in die Betrachtung ein. Dieses zweite Teilgebiet der Dynamik wird als Kinetik bezeichnet. Die Unterteilung der Dynamik in Kinematik und Kinetik ist eine zweckmäßige und übliche Vorgehensweise in der Technischen Mechanik (Bild 3.1). Dynamik Kinematik Kinetik "Lehre vom Bewegungsablauf, ohne dass auf die Kräfte als Ursache oder Wirkung von Bewegungen eingegangen wird" "Lehre vom Zusammenspiel von Kräften und Bewegungen" Bild 3.1 Übliche Unterteilung der Dynamik ? Ende

Mit den folgenden Namen sind wichtige Beiträge zur Entwicklung der Dynamik verbunden:1
GALILEO GALILEI ( ) Fall- und Wurfgesetze JOHANNES KEPLER ( ) KEPLERsche Gesetze (Planetenbewegung) ISAAC NEWTON ( ) NEWTONsche Grundgesetze (Bewegungsgesetze) JEAN D‘ ALEMBERT ( ) D‘ ALEMBERTsches Prinzip JOSEPH LOUIS LAGRANGE ( ) LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen WILLIAM ROWAN HAMILTON ( ) HAMILTONsches Prinzip 1 Weitere Informationen zur historischen Entwicklung der Mechanik findet man z. B. in [6] ? Ende

3.1 Kinematik des Punktes 3.1.1 Definitionen ? x y z P Bahnkurve r(t)
 Der Bewegungszustand eines Punktes P auf einer Bahnkurve wird in der Kinematik durch seine Lage (Ort, Weg) auf der Bahnkurve, seine Geschwindigkeit und seine Beschleunigung bezogen auf ein Koordi-natensystem in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben (Bild 3.2). v(t)  Diese Größen sind nicht unabhängig voneinander. Ihre allgemeinen Definitionen und die Zusammenhänge unterein-ander werden im Folgenden angegeben. Bild 3.2 Lagebeschreibung eines Punktes auf einer Bahnkurve a) Die Lage (der Ort, der Weg) des Punktes P auf der Bahnkurve ist durch den Ortsvektor bestimmt (Bild 3.2). r(t)  Einheit: (3.1) b) Die Geschwindigkeit des Punktes P ist definiert als Betrag der Geschwindigkeit: Richtung der Geschwindigkeit: tangential zur Bahnkurve (3.2) Einheit: c) Die Beschleunigung des Punktes P ist definiert als Betrag der Beschleunigung: Richtung der Beschleunigung: keine allgemeine Aussage möglich ? Ende

Ein Bewegungsablauf kann völlig gleichwertig mit unterschiedlichen Koordinatensystemen darge-stellt werden. Die Wahl eines zweckmäßigen Koordinatensystems kann aber den Rechenweg deutlich vereinfachen und wesentliche Bewegungsvorgänge klarer erkennen lassen. Deshalb haben wir nachfolgend die gebräuchlichsten Koordinatendarstellungen aufgeführt. 3.1.2 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten x y z P(x,y,z) x(t) y(t) z(t) Bahnkurve Wir definieren (vgl. Bild 3.3): r(t)  et(t)  v(t)  - Einheitsvektoren in Richtung x, y, z ex  ey ez - Tangenteneinheitsvektor (zeitabhängige Richtung!) a) Lage von P Ortsvektor: Bild 3.3 Lagebeschreibung eines Punktes in kartesischen Koordinaten  Parameterdarstellung mit der Zeit t als Parameter Beachte: Sowohl der Betrag der Geschwin-digkeit als auch der Tangenteneinheits-vektor sind zeitlich veränderlich! b) Geschwindigkeit Betrag der Geschwindigkeit: (3.3) oder: ? Ende

c) Beschleunigung Betrag der Beschleunigung: (3.4) ? Ende

3.1.3 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten
a) Lage von P Ortsvektor: x y z P en  M et s(t) Bahnkurve r r(t)  b) Geschwindigkeit (3.5) mit der Bahngeschwindigkeit (3.6) s(t) - Bahnkoordinate M Hauptkrümmungsmittelpunkt Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.5)? r Hauptkrümmungsradius - Normaleneinheitsvektor (zeitabhängig!) en(t)  Aus Bild 3.5 folgt (3.7) Bild 3.4 Lagebeschreibung eines Punktes in Bahnkoordinaten Damit folgt aus (3.5) bis (3.7) die Geschwindigkeit von P zu x z P r  et·ds s r + dr ds y Bild 3.5 Differentielle Änderung des Ortsvektors Betrag der Geschwindigkeit: Hinweis: Das ist der Beweis, dass der Geschwindigkeitsvektor in Richtung der Bahntangente weist! ? Ende

? c) Beschleunigung P en M et s(t) r ds dj et+det a) (3.8)
 M et s(t) r ds dj et+det a) Bild 3.6 Differentielle Änderung des Tangenteneinheitsvektors (3.8) Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.8)? Wegen (vgl. Bild 3.6 a) mit wird (3.9) en  M et et+det det=c·en dj b) Weiter folgt für differentiell kleine Größen (vgl. Bild 3.6 b): (3.10) und Einsetzen von (3.10) in (3.9) liefert Damit ergibt sich für die Beschleunigung in Bahnkoordinaten aus (3.8) Betrag: (3.11) Tangentialbeschleunigung mit (3.12) Normalbeschleunigung (3.10) ? Ende

3.1.4 Polarkoordinaten Für beliebige Bewegungen in der Ebene sind häufig Polarkoordinaten (r, j) zweckmäßig! - Einheitsvektoren in Richtung r und „j“ (zeitabhängig!) Wir definieren (vgl. Bild 3.7): a) Lage von P Ortsvektor: P x y r(t)  j(t) dj ej er Bild 3.7 Lagebeschreibung eines Punktes in Polarkoordinaten b) Geschwindigkeit (3.14) Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.14)? (3.15) Aus Bild 3.8 liest man ab, dass in die Richtung von weist! der  ej Analog zur Herleitung von (3.10) erhält man ej  er der dej ej+ er+ dj Bild 3.8 Differentielle Änderung der Einheitsvektoren und aus (3.15) folgt Die Geschwindigkeit in ebenen Polarkoordinaten wird (3.16) Betrag: ? Ende

? c) Beschleunigung Die Zeitableitung der Geschwindigkeit liefert:
(3.17) Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.17)? (3.18) Aus Bild 3.8 folgt, dass entgegen weist! dej  er ej  er der dej ej+ er+ dj Bild 3.8 Differentielle Änderung der Einheitsvektoren Analog zur Herleitung der Gleichung (3.10) erhält man und aus (3.18) folgt Damit erhält man für die Beschleunigung in ebenen Polarkoordinaten nach (3.17) oder nach Zusammenfassen (3.19) Mit Winkelgeschwindigkeit [s-1] (3.20) wird (3.21) Betrag: ? Ende

3.1.5 Bewegung auf einer Kreisbahn
Die Bewegung auf einer Kreisbahn ist der Sonderfall der Bewegung in Bahnkoordinaten (r = R = konst.) bzw. in Polarkoordinaten (r(t)= R = konst.)! a) Lage von P: Kreisbahn mit Radius R P R j Bahnkurve s en =  -er et = ej a) Die Geschwindigkeit und die Beschleunigung ergeben sich aus (3.16) und (3.21), wenn man r(t) = R = konstant setzt. b) Geschwindigkeit: (3.22) Betrag: c) Beschleunigung: (3.23) Bild 3.9 Bewegung eines Punktes auf einer Kreisbahn b) R j at = Rw . v = Rw Normalbeschleunigung mit (3.24) an = Rw2 Tangentialbeschleunigung (3.25) Winkelbeschleunigung Einheit: [s-2] und (3.26) Betrag: ? Ende

? Ist die Winkelgeschwindigkeit w = konstant, dann gilt:
Zeit für einen Umlauf: [s] Anzahl der Umläufe in einer Sekunde (Frequenz f): [s–1 bzw. Hertz] Anzahl der Umläufe pro Zeiteinheit (Drehzahl n): Hinweis: Für technische Anwendungen wird die Drehzahl meistens in Anzahl der Umläufe pro Minute angegeben: mit w in s–1 ? Ende

Anleitung zur Ermittlung der übrigen Funktionen
3.1.6 Grundaufgaben der Kinematik Wenn die Bewegung auf einer bekannten Bahn erfolgt, lassen sich bei Kenntnis nur einer Bewegungsgleichung die jeweils fehlenden Gleichungen durch Differentiation oder Integration ermitteln. Tabelle 3.1 enthält dafür einige typische Beispiele. Gegeben Anleitung zur Ermittlung der übrigen Funktionen Tabelle 3.1 Grundaufgaben der Kinematik für die Anfangsbedingungen (AB): s(t = t0) = s0 und v(t = t0) = v0 ? Ende

Beispiel 3.1 Freier Fall (ohne Luftwiderstand)
Gesucht: Auftreffgeschwindigkeit vA und Zeit T bis zum Auftreffen auf den Boden. Bild Freier Fall einer Masse g h m Bahn der Masse v = 0, y (Bewegungs- koordinate) t = 0 t = T Was ist von der Bewegung bekannt? Bekannt ist die auf m wirkende Beschleunigung in y-Richtung (Bewegungskoordinate): Die Integration liefert: (1) (2) c1 und c2 sind noch unbekannte Integrationskonstanten. Sie lassen sich aus bekannten Bedin-gungen für bestimmte Bewegungsgrößen am Anfang der Bewegung (Anfangsbedingungen, oder kurz AB) ermitteln. Anfangsbedingungen (AB): mit (1) folgt: mit (2) folgt: Mit diesen Integrationskonstanten erhalten wir aus (1) und (2) die Bewegungsgesetze Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz dieser Bewegung Weg-Zeit-Gesetz dieser Bewegung ? Ende

Mit diesen beiden Gleichungen ergeben sich die gesuchten Größen aus den Endbedingungen der Bewegung.
Aus 3. folgt mit dem Weg-Zeit-Gesetz: Fallzeit Aus 4. folgt mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz: Auftreffgeschwindigkeit Beachte: Die Fallzeit T und die Auftreffgeschwindigkeit vA sind unabhängig von der Größe der Masse m und bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes (wie hier vorausgesetzt) auch unabhängig von der geometrischen Gestalt der Masse m! ? Ende

Beispiel 3.2 Flug einer Kanonenkugel (ohne Luftwiderstand)
Gegeben: m, v0, j, g Gesucht: Flugweite xw, Flugdauer T, Winkel jmax für maximale Flugweite v0 j xw m Bild Flug einer Kanonenkugel x y t = 0 t = T Flugbahn Was ist über die Bewegung der Kugel bekannt? Bekannt sind die während der Flugphase auf die Masse m wirkenden Beschleunigungen in x- und y-Richtung: j v0 v0·cosj v0·sinj und Die Integration der beiden Gleichungen liefert (1) (2) Die Konstanten c1 bis c4 lassen sich aus vier bekannten Anfangsbedingungen berechnen:  c2 = 0  c4 = 0  c1 = v0·cosj  c3 = v0·sinj Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze in x- und y-Richtung Damit aus (1) und (2): Weg-Zeit-Gesetze in x- und y-Richtung ? Ende

Die Flugweite und die Flugdauer folgen aus den Endbedingungen der Bewegung:
Mit dem Weg-Zeit-Gesetz für die y-Richtung folgt aus der Endbedingung 5.: Flugdauer Mit dem Weg-Zeit-Gesetz für die x-Richtung folgt aus der Endbedingung 6.: Flugweite Der Winkel für die maximale Flugweite ergibt sich aus der Extremwertaufgabe: Winkel für maximale Flugweite: Maximale Flugweite: ? Ende

3.2 Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers
Grundlagen Bisher haben wir nur die Bewegung von Massenpunkten behandelt! Im Folgenden wollen wir die allgemeine Bewegung von starren Körpern betrachten. Starrer Körper in der Ebene (2D-Fall): Die Lage, die Lageänderungen und die Bewe-gungen eines starren Körpers in der Ebene kön-nen durch 3 geeignete Koordinaten eindeutig beschrieben werden (Bild 3.12). x y A P starrer Körper Bild Lagebeschreibung eines starren Körpers in der Ebene A P yA xA P j yA xA A P A xA  Ein starrer Körper in der Ebene hat daher 3 Freiheitsgrade: • zwei Translationen (xA, yA) eines beliebigen Punktes A in x- und y-Richtung • eine Rotation (j) um diesen Punkt A Starrer Körper im Raum (3D-Fall): Ein starrer Körper im Raum hat 6 Freiheitsgrade (z. B. 3 Translationen in Richtung der drei Raumachsen x,y,z und 3 Rotationen um diese Achsen). Jede allgemeine Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus der Translation eines körperfesten Punktes (im Allgemeinen wählt man zweckmäßig den Schwerpunkt) und einer Rotation um diesen Punkt zusammensetzen (die Reihenfolge ist beliebig)! ? Ende

3.2.2 Der Momentanpol Satz: Bei der Bewegung eines starren Körpers gibt es stets einen Punkt, der sich für einen Moment in Ruhe (v = 0) befindet. Das ist der Momentanpol P der Geschwindigkeit. Frage: Wo liegt bei einer allgemeinen Bewegung der Momentanpol P. Wir betrachten den 2D-Fall in Bild 3.13. x y A xA yA rA  Bild Berechnung des Momentanpols P P xP yP rP  r·sinj r·cosj r  er = r j, j . Aus dem Bild folgt mit r = konst.: und Wir differenzieren und erhalten die Geschwindigkeiten des Punktes P (3.27) - Translationsgeschw. von A - Winkelgeschwindigkeit um A j . Wenn P der Momentanpol sein soll, muss gelten und man erhält aus (3.27) ein System mit zwei Gleichungen für r und j: (3.28) Aus dem Bild 3.13 liest man ab: und Einsetzen in (3.28) liefert: Koordinaten des Momentanpols (3.29) ? Ende

? Bedeutung des Momentanpols
Ist die Lage des Momentanpols P bekannt, so kann die allgemeine Bewegung eines starren Körpers im Moment als reine Rotation um diesen Momentanpol P (Bild 3.14) angesehen werden und es gelten die Gesetze der Kreisbewegung (siehe Kapitel 3.1.5). Nach Kapitel ergeben sich bei Betrachtung der allgemeinen Bewegung des starren Körpers in Bild als reine Rotation um den Momentanpol P für die Punkte A und Q die folgenden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen (siehe Gleichungen (3.22), (3.24) und (3.25)). Bild Rotation um den Momentanpol P (Momentanpol) j = w . starrer Körper atQ atA Punkt A: Geschwindigkeit: vA . . vQ Beschleunigung: rA A anA rQ Q anQ Punkt Q: Geschwindigkeit: Beschleunigung: Hinweis: Die Geschwindigkeit v des Momentanpols ist im betrachteten Moment Null, aber seine Beschleunigung ist im Allgemeinen ungleich Null! Das bedeutet, dass sich die Lage des Momentanpols in der Zeit ändern kann! ? Ende

Beispiel 3.3 Rollendes Rad
Ein Rad rollt ohne zu gleiten. Der Mittelpunkt S bewegt sich dabei mit der Geschwindigkeit vs und das Rad dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit w (Bild 3.15 a). Bild 3.15 Rollendes Rad S vS w R a) a K Gegeben: vs, R, a, a Gesucht: Geschwindigkeit vK eines beliebigen Punktes K Q S R P b) Rollbedingung (ohne zu gleiten): S x Q Der abrollende Bogen PQ und der vom Schwerpunktes S zurückgelegte Weg x (bzw. die Strecke PQ) müssen gleich groß sein, wenn kein Gleiten zwischen dem Rad und der Unterlage eintritt! b Nach Bild 3.15 b) folgt als Rollbedingung (3.30) 1. Lösungsvariante Lösungsstrategie: Die Lösung erfolgt durch Überlagerung der Translation des Schwerpunktes S mit der Rotation um den Schwerpunkt S. Der Punkt K hat die gleiche Translationsgeschwindigkeit vS wie der Schwerpunkt S. Zu dieser Geschwindigkeit addiert sich vektoriell die Rotationsgeschwindigkeit aw des Punktes K infolge der Drehung um den Schwerpunkt S (Bild 3.16, folgende Seite). ? Ende

Die Rotationsgeschwindigkeit steht senkrecht zum Radiusstrahl von S nach K (Bild 3.16).
Nach dem Kosinussatz (vgl. markiertes Dreieck in Bild 3.16) folgt: vK 180- a aw S vS w R K a Bild Überlagerung: Translation und Rotation vS Mit der Rollbedingung vS = R×w ergibt sich die Geschwindigkeit vK des Punktes K zu 2. Lösungsvariante Lösungsstrategie: Reine Rotation um den Momentanpol P. S vS w R K a Bild 3.17 Zunächst wird die Lage des Momentanpols P ermittelt. Dazu definieren wir ein Bezugssystem (x,y) im Auflagepunkt der Rolle (Bild 3.17). Wenn in Gleichung (3.29) der Punkt A der Schwerpunkt S ist, ergibt sich und (1) x y j Momentanpol P Mit und (Beachte positive Definition von j und ; vgl. auch Bild 3.13) folgt die Lage des Momentanpols P aus (1) zu: Momentanpol P ist der aktuelle Auflagepunkt! ? Ende

Für eine reine Rotation um den jetzt bekannten Momentanpol P wird die Geschwindigkeit des Punktes K (vgl. Bild 3.18) rK vK • vS w vK = rK·w (2) K a Der Abstand rK vom Momentanpol P zum Punkt K folgt aus dem Kosinussatz im markierten Dreieck des Bildes 3.18 zu R S P (Momentanpol) Bild 3.17 Damit erhält man aus (2) für die Geschwindigkeit des Punktes K erwartungsgemäß das gleiche Ergebnis wie nach der Variante 1. ? Ende

? Weitere Hinweise zur Bestimmung des Momentanpols:
Bei einem rollenden Rad (reines Rollen ohne Gleiten voraus-gesetzt) auf einer ruhenden Unterlage ist der Momentanpol P immer der Berührungspunkt (Bild 3.19 a). Bild Lage des Momentanpols P beim rollenden Rad und bei einer losen Rolle mit festem Seilende P a) P v b) Eine lose Rolle mit einem festen Seilende kann als ein an dem festen Seilende abrollendes Rad angesehen werden (z. B. ein Jo-Jo). Der Momentanpol P liegt somit immer dort, wo das feste Seilende die Rolle verlässt (Bild 3.19 b). Sind die Bewegungsrichtungen zweier Punkte A und B eines starren Körpers bekannt und nicht parallel, so kann der Momentanpol P als Schnittpunkt der Senkrechten auf die Geschwindigkeitsrichtungen in diesen zwei Punkten bestimmt werden (Bild 3.20 a). A B vB vA starrer Körper a) Bild Lage des Momentanpols bei Kenntnis der Geschwindigkeiten zweier Punkte A B b) S r rA rB w • P P • Sind die Bewegungsrichtungen zweier Punkte A und B parallel, so liegt der Momentanpol P auf der Verbindungslinie dieser zwei Punkte (Bild 3.20 b). Die Lage des Momentanpols auf dieser Linie kann bei bekannten Geschwindigkeiten aus der folgenden Grundbeziehung berechnet werden: vS Zum Beispiel: Lose Rolle mit zwei bewegten Seilenden mit bzw. Sonderfall: Bei parallelen, gleich gerichteten und gleich großen Geschwindigkeiten zweier Punkte (vA= -vB, das be-deutet Translation) liegt der Momentanpol im Unendlichen! ? Ende

3.2.3 Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starren Körpern
Im Folgenden wollen wir die Betrachtungen nur in der Ebene vornehmen. Wir hatten bereits erkannt (vgl. Kapitel 3.2.1), dass die Lage eines starren Körpers in der Ebene durch drei Koordinaten eindeutig beschrieben ist. Bild Lagebeschreibung eines Körpers x y Beispiel (Bild 3.21): Die drei Koordinaten, welche die Lage des starren Körpers eindeutig beschreiben sind j xS yS S x, y - Koordinaten eines Punktes (zweckmäßig der Schwerpunkt S) j - Winkelkoordinate Bei einem System aus Punktmassen und/oder starren Körpern können auch mehr Koordi-naten zur Lagebeschreibung zweckmäßig sein. Das hängt von der Anzahl der Punktmassen und starren Körper und der Art ihrer Kopplungen ab. Satz: Die Anzahl der zur eindeutigen Beschreibung der Lage eines Systems aus Punktmassen und starren Körpern notwendigen Koordinaten nennt man die Anzahl der Freiheitsgrade f. Das Bild 3.22 (siehe nächste Seite) zeigt einige Beispiele für Systeme aus Massen bzw. starren Körpern. Für jedes System sind die zur eindeutigen Lagebeschreibung notwendigen Koordina-ten (eine von mehreren Möglichkeiten) und der Freiheitsgrad f angegeben. ? Ende

x reines Rollen Seile dehnstarr, kein Schlupf j2 j1 x2 x1 Feder x starr f = 1 f = 2 f = 1 f = 2 Bild Freiheitsgrade von Systemen Häufig ist es zweckmäßig, mehr Koordinaten einzuführen, als das System Freiheitsgrade f hat. Dann bestehen zwischen den Koordinaten (bzw. zwischen den Ableitungen der Koordinaten nach der Zeit, den Geschwindigkeiten) bekannte Abhängigkeiten, die so genannten Zwangsbedingungen (ZB), f = n - z (3.31) und es muss folgende Bedingung erfüllt sein: mit n – Anzahl der eingeführten Koordinaten z – Anzahl der Zwangsbedingungen ? Ende

Beispiel 3.4 Rollendes Rad (Koordinaten, Freiheitsgrad, Zwangsbedingungen)
Die Bewegung eines rollenden Rades (ohne gleiten) wird zunächst durch zwei Bewegungskoordinaten x und j beschrieben (Bild 3.23). j x S R n = 2 Anzahl der eingeführten Koordinaten: Damit gilt: . j P Reines Rollen eines Rades: f = 1 Aus (3.31) folgt: z = n - f = = 1, Bild Rollendes Rad d. h. es muss eine Zwangsbedingung (ZB) geben. Die Zwangsbedingung kann aus der Rotation des Rades um den Momentanpol P, die mit der Winkelgeschwindigkeit erfolgt, gefunden werden (vgl. Kapitel 3.2.2). Für die Geschwindigkeit vS des Schwerpunktes S gilt ZB für die Geschwindigkeiten Daraus folgt durch Integration allgemeine ZB für die Koordinaten Die Integrationskonstante c folgt aus einer Anfangsbedingung (AB). Wir nehmen an, dass zur Zeit t = 0 sowohl die Koordinate x als auch der Winkel j Null sind. Die AB lauten dafür und damit ZB zwischen den Koordinaten für die angenommenen AB ? Ende

. . . . . Beispiel 3.5 System starrer Körper ? j1
Für das System nach Bild 3.24 mit den einge-tragenen Bewegungskoordinaten (x1, j1, j2, x2) werden die ZB zwischen den Koordinaten ge-sucht. Reines Rollen und ein dehnstarres Seil ohne Schlupf werden vorausgesetzt. S R1 r1 r2 P1 P2 j2 x1 n = 4 Anzahl der eingeführten Koordinaten: Es gilt: x2 Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1 Bild System aus starren Körpern Aus (3.31) folgt: z = n - f = = 3, d. h. es muss drei Zwangsbedingungen (ZB) geben. x1 . x Bild Geschwindigkeiten am rollenden Rad und an der Umlenkrolle R1+r1 S R1 P1 r2 P2 x . Für die Ermittlung der ZB betrachten wir die Rotation des rollenden Rades mit der Winkelge-schwindigkeit um den Momentanpol P1 (vgl. Bild 3.25, bzw. auch Beispiel 3.4) und die Rota-tion der Umlenkrolle mit der Winkelgeschwindig-keit um den Momentanpol P2. . j2 . j1 x2 . Es folgt: (Rollbedingung; vgl. Beispiel 3.3 und Beispiel 3.4) (Seilgeschwindigkeit am rollenden Rad) ( = Seilgeschwindigkeit, = Tangentialgeschwindigkeit der Umlenkrolle; da kein Schlupf und ein dehnstarres Seil angenommen wird, gilt ) ? Ende

Die Integration dieser ZB für die Geschwindigkeiten liefert die allgemeinen ZB für die Bewegungs-koordinaten, die noch unbekannte Integrationskonstanten enthalten. x1(t=0)=0, j1(t=0)=0, j2(t=0)=0, x2(t=0)=0 Mit den Anfangsbedingungen werden die Integrationskonstanten c1 bis c3 in den Zwangsbedingungen Null (vgl. Beispiel 3.4) und wir erhalten: x1 = R1·j1 x2 = (R1+r1)·j1 x2 = r2·j2 ? Ende

3.3 Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern
Im Allgemeinen reicht eine kinematische Betrachtungsweise nicht aus, um die Bewegungen von Körpern zu beschreiben, da im Allgemeinen auch Kräfte auf die Körper einwirken. Im Teilgebiet Kinetik werden die Zusammenhänge zwischen den kinematischen Größen (Weg, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung) und den während der Bewegung auftretenden Kräften untersucht. 3.3.1 D’ALEMBERTsches Prinzip für Punktmassen Die bisher in der Statik angenommenen Axiome werden um ein weiteres Axiom, das so genannte NEWTONsche Grundgesetz der Dynamik (1687), ergänzt: und für m = konst. (3.32) Das NEWTONsche Grundgesetz in seiner ursprünglichen Form gilt nur für freie Punktmassen (keine Bindungen z. B. durch eine Führung der Massen) und setzt Folgendes voraus: Die Masse m ist zeitlich unveränderlich. Die Geschwindigkeit v ist sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Das Bezugssystem wird als beschleunigungsfrei angenommen (Inertialsystem). ? Ende

Häufig sind die Systeme durch Lager und Führungen (oft mit Reibung) mit der Umgebung ver-bunden. Zur Behandlung solcher gebundener Systeme dient das D’ALEMBERTsche Prinzip, das wir nachfolgend einführen wollen. Die auf eine Masse wirkenden Kräfte lassen sich wie folgt einteilen: Äußere eingeprägte Kräfte Reaktionskräfte Trägheitskräfte (Massenträgheitskräfte) Bei gebundenen (z. B. gelagerten) Systemen gehen durch die Bindungen Kräfte verloren, die somit nicht für die Beschleunigung des Systems zur Verfügung stehen. Es gibt also noch die so genannten „verlorenen Kräfte“ Für eine freie Masse sind die Kräfte im NEWTONschen Grundgesetz (3.32) gleich den ein-geprägten Kräften Bei gebundenen Systemen vermindern sich die für die Beschleunigung wirksamen Kräfte um die verlorenen Kräfte. Für gilt dann Setzt man diese Kräfte in (3.32) ein, so folgen daraus die „verlorenen Kräfte“ „verlorenen Kräfte“ (1) Die „verlorenen Kräfte“ stehen mit den Reaktionskräften (z. B. Lagerkräften) im Gleichgewicht, d. h. es gilt  mit (1) und mit folgt (3.33) ? Ende

(3.33) Die Gleichung (3.33) ist das NEWTONsche Grundgesetz in der D’ALEMBERTschen Form. Damit wird folgende prinzipielle Aussage beschrieben: Das kinetische Problem wird formal auf ein statisches Problem zurückgeführt, indem zu den eingeprägten Kräften und den Reaktionskräften die Massenträgheitskräfte (auch DÁLEMBERTsche Kräfte genannt) hinzugefügt werden! Vorgehensweise bei der Anwendung des D’ALEMBERTsche Prinzips: Einführung von Bewegungskoordinaten (gegebenenfalls Zwangsbedingungen zwischen den Koordinaten ermitteln) Freischneiden der bewegten Massenpunkte in einer allgemeinen Lage Antragen aller eingeprägten Kräfte und aller Reaktionskräfte Antragen aller Massenträgheitskräfte (DÁLEMBERTsche Kräfte) Beachte: Die Massenträgheitskräfte (DÁLEMBERTsche Kräfte) sind wegen des negativen Vorzeichens in der Gleichung (3.33) immer entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen ( positive Beschleunigungsrichtungen) anzutragen! Aufschreiben der Gleichgewichtsbedingungen wie in der Statik Berechnung der gesuchten Größen (Beschleunigungen, Bewegungsgesetze, Kräfte usw.) aus den Gleichgewichtsbedingungen und Zwangsbedingungen ? Ende

Beispiel 3.6 Masse auf schiefer Ebene
v = 0, t = 0  l m S Bild Masse auf schiefer Ebene a) Gegeben: m = 20 kg, l = 0,6 m, a = 45° Haftreibzahl m0 = 0,15, Reibzahl  = 0,1 x Gesucht: Wie lange braucht die Masse, um aus der Ruhelage den Weg l zurückzulegen? a) Definition der Bewegungskoordinate x (Bild 3.26 a), Freischneiden in einer allgemeinen Lage (Bild 3.26 b) und Antragen aller Kräfte (eingeprägte Kräfte, Reaktionskräfte und D’ALEMBERTsche Kräfte) S x b) FR FN mg b) Kräftegleichgewicht mg·sina a mg·cosa : mx .. : (1) Mit der Normalkraft FN und dem COULOMBschen Gleitreibungsgesetz (vgl. Kapitel , S 154) Beachte: Der Richtungs-sinn von FR gilt nur für die Abwärtsbewegung! folgt aus (1) (2) Die Gleichung (2) ist die Beschleunigung der Masse für die Abwärtsbewegung (oder was gleichbedeutend ist für ). ? Ende

c) Damit eine Abwärtsbewegung der Masse aus der Ruhe heraus überhaupt eintreten kann, muss am Beginn der Bewegung die Bedingung erfüllt sein. Aus (2) folgt damit (Beachte: Für m ist m0 einzusetzen, da die Masse noch ruht!) und mit den gegebenen Werten: ,15 < tan 45° = 1  Bedingung erfüllt! Da m < m0 gilt, ist eine Abwärtsbewegung mit positiver Beschleunigung gesichert und damit garantiert, dass die Masse nicht vor dem Zurücklegen des Weges l zur Ruhe kommt. d) Berechnung der Zeit t = T für den Weg l Aus der Beschleunigung (2) erhalten wir durch Integration die Geschwindigkeit und den Weg in Abhängigkeit von der Zeit: Die noch unbekannten Integrationskonstanten c1 und c2 sowie die Zeit T erhalten wir aus den Anfangsbedingungen und der Endbedingung der Bewegung. Anfangsbedingungen: Endbedingung: Mit der Beschleunigung a nach (2) folgt für die gesuchte Zeit T zahlenmäßig: ? Ende

Beispiel 3.7 Zwei-Massen-System mit Umlenkrolle
Gegeben: M, m1=2M, m2=M, R j R j A Bild Freigeschnittenes System x1 x2 R m1 m2 masselos, dehnstarr Rolle masselos, kein Seil-schlupf! S1 S2 Gesucht: Beschleunigung der Masse m1 FS1 FS2 FAV FAH A a) Definition der Bewegungs-koordinate (Bild 3.27), Freischneiden in einer allgemeinen Lage (Bild 3.28), FS2 m2g m2x2 .. und alle Kräfte antragen (einge-prägte Kräfte, Reaktionskräfte und D’ALEMBERTsche Kräfte) FS1 m1g m1x1 .. x1 x2 b) Gleichgewichtsbedingungen: Rolle: Bild 3.27 (1) Masse m1: (2) Masse m2: (3) c) Zwangsbedingungen n = 3 Anzahl der eingeführten Koordinaten: Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1 Aus f = n -z folgt z = 2, d. h. es gibt noch zwei Zwangsbedingungen. ? Ende

Da das Seil als dehnstarr angenommen werden kann und kein Seilschlupf auftreten soll, er-geben sich zunächst zwei ZB für die Geschwindigkeiten, aus denen die ZB für die Beschleu-nigungen durch Differentiation und für die Koordinaten durch Integration ermittelt werden können (zum Zeitpunkt t = 0 sollen alle Koordinaten Null sein Þ alle Integrationskonstanten werden Null). bzw. (4) bzw. (5) In den Gleichungen (1) bis (5) sind genau fünf Unbekannte (FS1, FS2, , , ) enthalten. Damit kann durch entsprechendes Auflösen jede Unbekannte berechnet werden. Wir suchen hier nur die Beschleunigung der Masse m1. d) Berechnung der Beschleunigung der Masse m1 Einsetzen von (2) und (3) in (1) liefert: Aus den Zwangsbedingungen (4) und (5) folgt und es kann damit eliminiert werden. Es folgt Für die gegebenen Werte m1 = 2M; m2 = M ergibt sich ? Ende

3.3.2 Ebene Bewegungen von starren Körpern
Zur Beschreibung der ebenen Bewegung eines starren Körpers führen wir ein körperfestes Koordinatensystem ein, dessen Ursprung stets im Schwerpunkt S des Körpers liegen soll. Wir wollen jetzt die Gesamtheit der Massenbeschleunigungskräfte, die auf ein differentielles Massenelement dm wirken, zu äquivalenten Größen zusammenfassen und auf den Schwer-punkt S der Masse m reduzieren (Bild 3.29). dm·r·j .. dm·r·j2 . Wir fassen die Bewegung als Überlagerung von Translation des Schwerpunktes und Rota-tion um den Schwerpunkt S auf. dm·yS .. x y Masse m S Bild Reduktion der Massenkräfte auf den Schwerpunkt a) x y Masse m S b) j dm·xS .. x = r·cosj y = r·sinj r y x j dm FDy FDx MDS Die Massenbeschleunigungs-kräfte des Massenelements dm in Bild 3.29 müssen nach dem D’ALEMBERTschen Prinzip wie folgt angetragen werden: für die Translation in x-Richtung: entgegen der positiven Beschleunigung für die Translation in y-Richtung: entgegen der positiven Beschleunigung für die Rotation um S: entgegen der positiven Normalbeschleunigung bzw. der positiven Tangentialbeschleunigung (vgl. Kapitel 3.1.5, Bild 3.9 b) Mit den nachfolgenden Äquivalenzbedingungen reduzieren wir alle Massenbeschleunigungen auf den Schwerpunkt S (Bild 3.29 b). ? Ende

x y Masse m S b) j Bild Reduktion der Massenkräfte auf den Schwerpunkt a) dm·yS .. dm·xS x=r·cosj y=r·sinj r dm dm·r·j dm·r·j2 . FDy FDx MDS Äquivalenzbedingungen zwischen den auf den Schwerpunkt S bezogenen Größen (Bild 3.29 b) und den auf das Massenelement dm wirkenden und über die gesamte Masse m integrierten Massenkräfte (Bild 3.29 a) liefern: (3.34) (3.35) (3.36) ? Ende

Für die Integrale in (3. 34) bis (3
Für die Integrale in (3.34) bis (3.36) führen wir folgende Abkürzungen ein: Masse (3.37) Statische Momente (3.38) Beachte: Statische Momente für Achsen durch den Schwer-punkt sind stets Null (vgl. Kapitel 1.9.3, S 129). Massenträgheitsmoment (3.39) JS ist auf die senkrecht zur Zeichenebene liegende Rotations-achse durch den Schwerpunkt S bezogen. Deshalb wird es mitunter auch axiales Massenträgheitsmoment bezeichnet. Mit der Abkürzung (3.39) und Sx = Sy = 0 für Schwerpunktachsen folgt aus (3.34) bis (3.36) (3.40) ? Ende

? Die Gleichungen (3.40) lassen sich wie folgt interpretieren: (3.40)
Die Gesamtheit der Massenbeschleunigungskräfte der ebenen Bewegung eines starren Körpers kann durch drei auf den Schwerpunkt S bezogenen Trägheitsgrößen , und ersetzt werden. Diese Trägheitsgrößen sind bei positiven Beschleunigungen entgegengesetzt zu den positiven Koordinaten x, y und j gerichtet (vgl. Bild 3.29 b). Mit diesen Trägheitsgrößen kann das D’ALEMBERTsche Prinzip für Punktmassen (Kapitel 3.3.1) auf starre Körper erweitert werden, indem als dritte Trägheitsgröße hinzugefügt wird. D’ALEMBERTsches Prinzip für die ebene Bewegung starre Körper Schnittprinzip und Gleichgewichtsbedingungen können wie in der Statik benutzt werden, wenn man im Schwerpunkt S des starren Körpers D´ALEMBERTsche Kräfte die Kräfte sowie das Moment D´ALEMBERTsches Moment entgegengesetzt zu den positiven Beschleunigungsrichtungen (bzw. was gleichbedeutend ist, entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen) hinzugefügt! ? Ende

Hinweis zur Ermittlung des Massenträgheitsmomentes JS:
JS ist das (axiale) Massenträgheitsmoment für eine Bezugsachse senkrecht zur Zeichenebene durch den Punkt S. Es gilt allgemein (vgl. Gleichung (3.39) und Bild 3.30) r m, V, r dm S Bild Berechnung von JS und mit dm = rdV folgt (3.41) Falls r = konst. ist, wird (3.42) Beispiel 3.8 Dünner homogener Stab (Querschnittsabmessungen << Stablänge) S l/2 r, m, A Bild Dünner homogener Stab r - Dichte m - Gesamtmasse l - Gesamtlänge A - Querschnittsfläche Es sei (vgl. Bild 3.31): r dr dV=A·dr Damit folgt aus Gleichung (3.42) (3.43) ? Ende

Beispiel 3.9 Homogene Kreisscheibe (bzw. Vollzylinder)
r - Dichte m - Gesamtmasse h - Scheibendicke R - Scheibenradius Es sei: S R r, m, h Bild Homogene Kreisscheibe dj r dr dV=rdjdrh Mit Bild 3.32 folgt aus Gleichung (3.42) (3.44) ? Ende

? Der STEINERsche Satz für Massenträgheitsmomente
Ziel: Berechnung eines Zusammenhangs zwischen den Massenträgheitsmomenten für parallele Achsen (senkrecht zur Zeichenebene) durch A und den Schwerpunkt S (Bild 3.33). m Bild Definition der Bezugssysteme für den STEINERschen Satz S A r y dm x x y y x xS yS rS Voraussetzung: • x und y sind Achsen durch den Schwerpunkt S • x und y sind parallele Achsen zu x und y durch A Für das Massenträgheitsmoment bezogen auf die Achse durch A folgt nach Gleichung (3.39) und Bild 3.33: Hinweis: Die beiden letzten Integrale werden Null, da es sich um statische Momente bezogen auf Schwerpunkt-achsen handelt (siehe Kapitel 1.9.3, S 129). Mit (siehe Bild 3.33) und wird das Massenträgheitsmoment JA STEINERsche Satz (3.45) ? Ende

STEINERsche Satz (3.45) Beachte: S muss der Schwerpunkt des Körpers sein! A ist ein beliebiger Punkt. Die beiden Achsen durch S und A, auf die sich JS und JA beziehen, müssen parallel zueinander sein und haben den Abstand rS. Die große Ähnlichkeit der Definitionsformel (3.39) für das Massenträgheitsmoment JS mit denen der Flächenträgheitsmomenten Ixx, Iyy und der für sie geltenden STEINERschen Sätze erlaubt die analoge Übertragung der allgemeinen Aussagen zu den Flächenträgheitsmomenten (vgl. Kapitel 1.10, S 134) auf die Massenträgheitsmomente. Für die Berechnung von Massenträgheitsmomenten zusammengesetzter Körper gilt der folgen-de Satz (vgl. Kapitel , S 146): Satz: Massenträgheitsmomente können addiert werden, wenn sie auf gleiche Achsen bezogen sind. Sind sie nicht auf gleiche Achsen, aber ansonsten parallele Achsen, bezogen, so lassen sie sich mit Hilfe des STEINERschen Satzes (3.45) auf eine der parallelen Achsen umrechnen. ? Ende

Beispiel 3.10 Dünner homogener Stab (vgl. Beispiel 3.8)
Gesucht: Massenträgheitsmoment bezogen auf eine Achse durch A A l/2 r, m (Gesamtmasse) S Bild Dünner homogener Stab; Massenträgheitsmoment für parallele Achsen Mit dem STEINERschen Satz und (vgl. Bild 3.34) (siehe Beispiel 3.8, Gleichung (3.43)) folgt (3.46) ? Ende

Beispiel 3.11 Homogene Kreisscheibe mit exzentrischem Kreisloch
Geometrische Voraussetzung: e  R und r  R - e S1 R r, Dicke h r A e a Bild Kreisscheibe mit Kreisloch S2 Gesucht: Massenträgheitsmoment bezogen auf die Achsen durch S1 und durch A Lösungshinweis: Die Massenträgheitsmomente werden durch Subtraktion des Massenträgheitsmomentes des „Lochs“ von dem der Vollscheibe berechnet, wobei beide auf die Achse durch S1 bzw. A bezogen sein müssen! Massenträgheitsmoment bezogen auf Achse durch S1: Mit dem Massenträgheitsmoment für eine Vollscheibe (3.44) und dem STEINERSchen Satz (3.45) folgt (3.47) Massenträgheitsmoment bezogen auf Achse durch A: (3.48) mit ? Ende

Aus den Ergebnissen für die Kreisscheibe mit Loch folgen weitere Sonderfälle:
Homogene Kreisringscheibe (Hohlzylinder) Für eine homogene Kreisringscheibe (Bild 3.36) folgt aus (3.47) mit e = 0 und (Masse der Kreisringscheibe) r, Dicke h r S R A Bild Kreisringscheibe (3.49) Aus (3.48) folgt mit e = 0, a = R (3.50) Hinweis: Das Massenträgheitsmoment JA kann für die Kreisringscheibe (e = 0, a = R) auch aus JS mit dem STEINERschen Satz berechnet werden: ? Ende

? Homogene Kreisscheibe (Vollzylinder):
Die Ergebnisse für die Kreisringscheibe enthalten für r = 0 den Sonderfall der homogenen Kreisscheibe (bzw. für den Vollzylinder). Das Massenträgheitsmoment JS für die Schwerpunktachse wurde bereit im Beispiel 3.9 berechnet. Aus Gleichung (3.49) erhalten wir natürlich das gleiche Ergebnis: m, Dicke h S R A Bild Homogene Kreisscheibe Die Gleichung (3.50) liefert das auf A bezogene Massenträgheitsmoment (Bild 3.37): (3.51) ? Ende

3.3.3 Aufstellung von Bewegungsgleichungen
Eine Grundaufgabe der Kinetik ist das Aufstellen von Bewegungsgleichungen. In den Beispielen 3.6 und 3.7 hatten wir bereits mit Hilfe des D’ALEMBERTschen Prinzips Bewegungsgleichungen für Punktmassen aufgestellt. Hier soll der typische Ablauf bei der Anwendung des D’ALEMBERTschen Prinzips für Systeme aus Punktmassen und starren Körpern gezeigt werden. Berechnungsablauf: Definition von n Bewegungskoordinaten für eine allgemeine ausgelenkte Lage des Systems. Es können mehr Koordinaten eingeführt werden, als das System Freiheitsgrade hat. Bestimmung der Anzahl der Freiheitsgrade f. Gegebenenfalls Ermittlung der Zwangsbedingungen zwischen den Koordinaten, wobei sich die erforderliche Anzahl der Zwangsbedingungen z aus z = n - f ergibt. Freischneiden der Massenpunkte und der Körper in einer ausgelenkten Lage und Antragen  der eingeprägte Kräfte und Momente sowie der Reaktionskräfte,  der Reibungskräfte und -momente entgegen der wirklichen Bewegungsrichtung,  der D´ALEMBERTschen Kräfte und Momente entgegengesetzt zu den positiven Beschleunigungsrichtungen (bzw. Koordinatenrichtungen). Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen. Einarbeiten der Zwangsbedingungen. Auflösen der Gleichgewichtsbedingungen nach den unbekannten Beschleunigungen, Kräften und Momenten. Integration der Bewegungsgleichungen (wenn erforderlich). Hinweis: Die Anzahl der unabhängigen Bewegungsgleichungen eines Systems stimmt mit der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems überein. ? Ende

Beispiel 3.12 Reines Rollen einer homogenen Kreisscheibe
a m m0 Gegeben: m, R, a, g, m0, JS = ½ mR2 Gesucht: a) Bewegungsgleichung für reines Rollen b) Bedingung für reines Rollen (kein Gleiten an der Kontaktstelle P) j P x 1. Bewegungskoordinaten: a) Bewegungsgleichung (Berechnungsablauf vgl. oben) Bild Rollen einer Kreisscheibe x - beschreibt Lage des Schwerpunktes S  n = 2 j - beschreibt Drehwinkel der Scheibe 2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1 3. Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = = 1 x = R·j Zwangsbedingung für eine rollende Kreisscheibe (vgl. dazu Beispiel 3.4): 4. Freischneiden, Kräfte und Momente antragen (siehe Bild 3.39 nächste Seite) ? Ende

? 5. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen mg·cosa mg·sina a j mg
x P FH (Haftkraft) FN mx .. JSj mg (1) 6. Einarbeiten der Zwangsbedingungen Wir wollen die Bewegungsgleichung für die Koordinate x aufstellen. Deshalb eliminieren wir die Koordinate j und deren Ableitungen mit Hilfe der Zwangsbedingung x = R·j aus den Gleichgewichtsbedingungen. bzw. Bild Freigeschnittene Kreisscheibe (allgemeine Lage) mit eingeprägter Kraft (mg), Reaktionskräften (FN , FH ) und D’ALEMBERTschen Trägheitsgrößen Es folgt aus (1) mit JS = ½ mR2 : (2) 7. Auflösen von (2) nach x liefert die Bewegungsgleichung für die Beschleunigung des Schwerpunktes der Kreisscheibe: .. Bewegungsgleichung ? Ende

.. . Hinweis: Durch Integration kann man aus der Beschleunigung x die Geschwindigkeit x(t) und den Weg x(t) gewinnen. Mit der Zwangsbedingung lässt sich damit auch die Winkelbeschleunigung j, die Winkelgeschwindigkeit j(t) und der Winkel j(t) berechnen. .. . Damit reines Rollen (kein Gleiten an der Kontaktstelle) stattfindet, muss die während der Bewegung auftretende Haftkraft FH stets kleiner oder gleich der maximal möglichen Haftkraft sein. b) Bedingung für reines Rollen Das bedeutet Mit FH und FN sowie der Beschleunigung x (siehe vorherige Seite) folgt daraus (die Betrag-striche dürfen wir weglassen, da FH und FN in unserem Fall größer Null sind): .. Bedingung für reines Rollen ? Ende

Beispiel 3.13 System aus drei Massen
x2 S R2 R1 JS, m m1 m2 m j Gegeben: m1 = 1000 kg, m2 = 40 kg R1 = 0,2 m, R2 = 0,4 m Js = 1 kg m2, m = 0,2 Gesucht: Bewegungsgleichung von m1 (Abwärtsbewegung) und von m2 1. Bewegungskoordinaten: x1, x2, j  n = 3 x1 2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1 3. Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = = 2 Die zwei benötigten Zwangsbedingungen lassen sich zweckmäßig an der Umlenkrolle ableiten (vgl. Bild 3.41 und Kapitel 3.2.3, Beispiel 3.4 und Beispiel 3.5). Bild System aus drei Massen x2  (1) Bild Zwangsbedingungen an der Umlenkrolle S R1 R2 x1 = R1·j x1 x1 j x2 = R2·j  (2) ? Ende

4. (bis 7. ) Freischneiden (Bild 3
4. (bis 7.) Freischneiden (Bild 3.42) / Gleichgewichtsbedingungen / Einarbeiten der Zwangs- bedingungen / Auflösen nach x1: .. x2 x1 S R2 R1 j FS2 m2x2 .. FR FN m2g FS1 FSH FSV JSj .. FS2 mg Kräftegleichgewicht an der Masse m2:  FN = m2g Mit dem COULOMBschen Reibgesetz und der Zwangsbedingung (2) wird die Seilkraft FS2 (3) m1g m1x1 .. FS1 Das Momentengleichgewicht um den Lagerpunkt S der Umlenkrolle liefert: Mit der Zwangsbedingung (1) und FS2 (3) folgt (4) Bild Freigeschnittenes Massensystem (allgemeine Lage) mit eingeprägten Kräften, Reaktionskräften und D’ALEMBERTschen Trägheitsgrößen Kräftegleichgewicht an der Masse m1: (5) ? Ende

Aus (4) und (5) folgt schließlich die Bewegungsgleichung für die Masse m1
(6) Mit den gegebenen Zahlenwerten wird die Beschleunigung der Masse m1 Die Beschleunigung der Masse m2 folgt mit (6) aus der Zwangsbedingung (2) zu und mit den gegebenen Zahlenwerten ? Ende

3.4 Energiebetrachtungen
Das D’ALEMBERTsche Prinzip zur Ermittlung von Bewegungsgleichungen ist in der Regel für alle praktischen Aufgaben der Technischen Mechanik anwendbar und liefert neben den Bewegungs-gesetzen auch die dabei auftretenden Kräfte und Momente. Bei bestimmten Problemstellungen kann aber die Anwendung von Energiemethoden zweckmäßiger sein und zu einer wesentlichen Verkürzung des Rechenganges führen. Deshalb sollen im Folgenden dafür die Grundlagen vermittelt werden. 3.4.1 Arbeit, Energie, Leistung Arbeit m x y Bild Definition der Arbeit r2  r1 (1) (2) dr  a r F Wir betrachten zunächst einen Massenpunkt auf einer bekannten Bahnkurve (Bild 3.43). Die differentielle Arbeit dW, die von der Kraft auf dem Weg verrichtet wird, ist Beachte: Die Arbeit ist eine skalare Größe! Die zwischen den zwei Bahnpunkten (1) und (2) von der Kraft geleistete Arbeit ergibt sich aus der Integration über den Weg von (1) nach (2) und ist somit (3.52) ? Ende

Wir setzen jetzt in der Gleichung (3
Wir setzen jetzt in der Gleichung (3.52) für das NEWTONsche Grundgesetz (3.32) ein und erhalten Für m = konstant und mit erhalten wir Wir definieren die so genannte kinetische Energie als (3.53) und erhalten damit für die Arbeit der Kraft von (1) nach (2) Diese Gleichung ist der so genannte Arbeitssatz, der wie folgt interpretiert werden kann (siehe nächste Seite). ? Ende

Arbeitssatz: Die längs einer Bahn zwischen zwei Bahnpunkten (1) und (2) geleistete Arbeit der Kraft ist gleich der Änderung der kinetischen Energie zwischen den beiden Punkten: (3.54) Einheit der Arbeit: N m, J (Joule) [1 J = 1 N m] Hinweis: Da die Zwangskräfte (Bindungs- und Führungskräfte) bei Systemen mit starren Bindungen keine Arbeit leisten, gilt der Arbeitssatz auch für Systeme aus Massenpunkten! In kartesischen Koordinaten x, y und z kann man den Arbeitssatz auch wie folgt aufschreiben: (3.55) wobei Fx, Fy und Fz die Projektion von auf die Koordinatenachsen x, y und z sind. Ein Sonderfall liegt vor, wenn die Arbeit W unabhängig vom Integrationsweg zwischen den Punkten (1) und (2) ist. Der Integrationsweg ist in diesem Fall beliebig und das Ergebnis nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. Diesen wichtigen Sonderfall wollen wir nachfolgend näher betrachten. ? Ende

3.4.1.2 Potentielle Energie ? Das Integral in Gleichung (3.55) (3.56)
ist nur dann wegunabhängig (vgl. Sonderfall oben), wenn der Integrand ein vollständiges Differential ist! Das Integral in Gleichung (3.55) (3.56) Wir wollen dieses Differential mit -dU bezeichnen, wobei das Minuszeichen aus Zweckmäßigkeits-gründen eingeführt wurde. (3.57) Dann gilt Ein vollständiges Differential kann folgendermaßen geschrieben werden (3.58) Aus dem Vergleich von (3.57) mit (3.58) folgt (3.59) Ob eine Kraft wirklich eine Potentialkraft ist, kann man durch Differentiation von (3.59) über-prüfen, was zu folgenden Bedingungsgleichungen führt: (3.60) Typische Potentialkräfte sind zum Beispiel: Schwerkräfte, Federkräfte, Magnetkräfte usw. ? Ende

3.4.1.3 Energieerhaltungssatz
Setzen wir Gleichung (3.57) in (3.56) ein, so erhalten wir für Potentialkräfte (3.61) Die Funktion U bezeichnet man als Potential bzw. als potentielle Energie. Die Gleichung (3.61) drückt aus, dass bei Potentialkräften nur dann Arbeit frei wird, wenn eine Änderung des Potentials, d.h. eine Lageänderung stattfindet. Energieerhaltungssatz Für Potentialkräfte folgt aus den Gleichungen (3.55) und (3.61) : U1 - U2 = T2 - T1 bzw. U1 + T1 = U2 + T2 = konst. (3.62) Energiesatz: Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie ist konstant! Mit Hilfe des Energiesatzes lassen sich häufig bei speziellen Aufgabenklassen und Frage-stellungen einfache Lösungen ermitteln (siehe die weiter unten aufgeführten Beispiele). Achtung: Der Energiesatz in dieser Form gilt nur für konservative Systeme (d.h. Systeme, bei denen alle Kräfte Potentialkräfte sind!). Sind im System Kräfte zu berücksichtigen, die kein Potential haben (z. B. Reibkräfte, Antriebs-kräfte usw.), so muss der Energiesatz noch ergänzt werden (siehe hierzu Kapitel 3.4.2). ? Ende

Beispiel 3.14 Potential der Schwerkraft
Beispiele für das Potential (potentielle Energie) von Potentialkräften Beispiel Potential der Schwerkraft Die Schwerkraft einer Masse m kann in dem (x,y,z)-Bezugssystem wie folgt dargestellt werden (vgl. Bild 3.44) x y . z m Bild Potential der Schwerkraft g F = mg  durch Vergleich mit Gleichung (3.59) U = 0 Die y-Komponente von gestattet die Berechnung des Potentials U, indem über y integriert wird. Da die x- und die z-Komponenten der Schwerkraft bei dieser Wahl des Bezugssystems Null sind, wird U unabhängig von x und z und die partielle Differentiation geht in eine gewöhnliche über. Es gilt und nach der Integration (3.63) Die potentielle Energie ist also bis auf eine Konstante C bestimmbar. Durch Festlegung einer horizontalen Bezugslinie – dem Nullpotential – mit U(y = 0) = 0 ergibt sich C = 0, und das Potential der Schwerkraft wird (3.63) (3.64) Hinweis: Die Ergebnisse, die mit Hilfe des Potentials gewonnen wurden, sind natürlich von der willkürlichen Lage des Nullpotentials unabhängig! ? Ende

Beispiel 3.15 Potential einer Feder
m = 0 x c Annahme: Die Feder ist bei x = 0 entspannt! m = 0 c Die Federkraft wird für das so definierte Bezugssystem x y . z F = cx  durch Vergleich mit Gleichung (3.59) Daraus folgt analog zu dem vorhergehenden Beispiel 3.14 und nach der Integration ergibt sich Bild Definition der Federkraft Wegen der Annahme, dass die Feder bei x = 0 entspannt ist, gilt U (x = 0) = 0 und C = 0. Das Potential der Feder wird damit (3.65) Hinweis: Die potentielle Energie der Feder ist mit der Formänderungsarbeit identisch! ? Ende

Beispiel 3.16 Masse auf schiefer Ebene mit Pufferfeder
Beispiele für den Energieerhaltungssatz Beispiel Masse auf schiefer Ebene mit Pufferfeder Gegeben: m, h, c, g, a, m = 0 Anfangsgeschwindigkeit v = 0 c a v = 0 m 1 Gesucht: a) Geschwindigkeit vA der Masse beim Auftreffen auf die Feder v = vA 2 h v = 0 f 3 hf U = 0 y b) Maximale Zusammendrückung f der Feder Energiesatz (3.62): U1 + T1 = U2 + T2 = U3 + T3 Wahl des Nullpotentials: U = 0 in der Lage (2) Bild Masse auf schiefer Ebene mit Pufferfeder Mit (3.53), (3.64) und (3.65) folgt: a) Geschwindigkeit vA b) Maximale Zusammendrückung f der Feder U1 = mgh , T1 = 0 (Masse ruht) U3 = -mghf + ½·cf2 = -mg·fsina + ½·cf2, T3 = 0 U2 = 0 , T2 = ½·mvA2 Aus U1 + T1 = U3 + T3 Aus U1 + T1 = U2 + T2 folgt Hinweis: Das negative Vorzeichen ist mechanisch nicht sinnvoll (f negativ). ? Ende

Beispiel 3.17 Fall einer Masse auf einen elastischen Balken
Gegeben: m, h, g, E, a, b, l m h l b a Hinweis: Beim Auftreffen soll die Masse auf dem Balken liegen bleiben, wobei kein Energie-verlust eintritt. f Gesucht: a) Maximale Verschiebung f b) Betrag der maximalen Normalspannung im Balken Bild Fall einer Masse auf einen Balken a) Maximale Verschiebung des Balkens Die Lösung kann analog zum Beispiel 3.16 erfolgen, wenn die Federsteifigkeit des Balkens bekannt ist! Ermittlung der Federsteifigkeit des Balkens: l EI f F Bild Kragbalken Die Verschiebung eines Kragbalkens (Bild 3.48) mit einer Kraft F am freien Ende wird an der Lastangriff-stelle (vgl. Kapitel 2.3.3, Hinweis zum Beispiel 2.9, F 75) mit Aus F = cers·f folgt Der Energiesatz kann jetzt auf das Ersatzsystem nach Bild 3.49 angewandt werden (siehe nächste Seite). ? Ende

? Energiesatz (vgl. Bild 3.49):
Mit T1 = 0 und T2 = 0 (die Masse befindet sich in der Ausgangslage (1) und im Moment der maximalen Auslenkung (2) in Ruhe) folgt m h f cers 1 2 U=0 y Bild Ersatzsystem für Kragbalken Bild 3.47 Hinweis: Das negative Vorzeichen ist mechanisch nicht sinnvoll (f negativ). Spezialfall: h = 0 Mit der Verschiebung für eine „statische“ Belastung durch F = mg: wird Schlussfolgerung: Eine aus der Höhe h = 0 plötzlich losgelassene Masse verursacht im Vergleich zu einer „unendlich langsam“ auf den Balken abgesetzten Masse eine doppelt so große Verformung. ? Ende

? b) Betrag der maximalen Normalspannung
Aus dem Federgesetz ergibt sich die am Balkenende wirkende maximale Kraft zu Die maximalen Normalspannung tritt an der Stelle des maximalen Biegemomentes (Einspann-stelle des Balkens) auf. Mit dem Betrag des maximalen Biegemomentes Mbmax = Fmax×l wird der Betrag der maximalen Spannung an der Einspannstelle mit (für den Rechteckquerschnitt) Mit Fmax = cersf folgt daraus In diese Gleichung kann für f sowohl das allgemeine Ergebnis, als auch das Ergebnis für den Spezialfall h = 0 eingesetzt werden. Es ist offensichtlich, dass für die maximale Normalspannung im Spezialfall h = 0 ein analoger Zusammenhang wie für die Verschiebung gilt: ? Ende

? Worin liegt der Vorteil bei der Anwendung des Energiesatzes?
Die Anwendung ist immer dann vorteilhaft, wenn eine Geschwindigkeit oder ein Weg für eine von zwei ausgezeichneten Lagen einer Bewegung gesucht wird und alle anderen Größen in diesen beiden Lagen bekannt sind oder wenn alle Geschwindigkeiten und Wege für zwei ausgezeichneten Lagen einer Bewegung bekannt sind und eine Größe in den Energieausdrücken (z. B. Masse, Federzahl, Winkel usw.) gesucht wird. ? Ende

Leistung Wir haben gesehen, dass der Arbeitsbegriff keine Angabe über die Zeit enthält, in der eine Arbeit verrichtet wird. Oft braucht man jedoch diese Angabe. Wir führen dazu die Leistung als die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit ein: Leistung (3.66) Mit (siehe Kapitel ) folgt daraus und mit kann die Leistung auch in folgender Form angegeben werden Leistung (3.67) Die Einheit der Leistung ist das Watt: Häufig findet man noch Leistungsangaben in PS. Diese Leistungsangabe ist veraltet und entspricht nicht den verbindlichen SI-Einheiten. Für die Umrechnung gilt: ? Ende

Beispiel 3.18 Berechnung des Fahrwiderstandes eines PKW’s
Ein PKW erreicht bei der Leistung von 150 PS eine maximale Geschwindigkeit von 200 km/h. Wie groß ist die am Auto angreifende Widerstandskraft FW? Die in der Aufgabenstellung veraltete Angabe der Leistung rechnen wir zunächst in eine Leistung mit der verbindlichen SI-Einheit Watt um. P = 150 PS = ,5 W = 100, W = 100,3 kW Für die Leistung gilt nach Gleichung (3.67) P = FWvmax und daraus folgt ? Ende

Beispiel 3.19 Leistung eines Pumpspeicherwerkes
Welche Leistung hat ein Pumpspeicherwerk, wenn zwischen Uhr und Uhr ein Wasservolumen von VW = m³ in den Rohren nach unten fließt und dabei einen Höhenunterschied von h =120 m überwindet? Der Wirkungsgrad der Anlage beträgt  = 0,86. Die Gleichung (3.66) liefert: mit tges = 3,5 h Die Arbeit Wges ermitteln wir mit Hilfe des Energiesatzes. Im Ausgangszustand (1) befindet sich die gesamte Wassermasse mW im Oberbecken mit der Geschwindigkeit Null. Über 3,5 h ergießt sich die Wassermasse in den Endzustand (2) ins Unterbecken, wobei insgesamt die kinetische Energie T2 zur Verfügung steht (vgl. Bild 3.50). Bild 3.50 mW h 1 2 U = 0 y v1=0 U1 + T1 = U2 + T2 Nach dem Energiesatz gilt  mWgh + 0 = 0 + T2  T2 = mWgh Die kinetische Energie T2 ist gleich der gesamten vom Wasser geleisteten Arbeit Wges Wges = T2 = mWgh Die Leistung bei Berücksichtigung des Wirkungsgrades wird ? Ende

3.4.1.5 Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers
Wir betrachten (wie bereits im Kapitel 3.2) auf einem ebenen starren Körper einen fest mit dem Körper verbundenen differentiellen Massepunkt dm. Die Geschwindigkeit von dm kann zusammengesetzt werden aus (vgl. Bild 3.51) yS . xS den Translationsgeschwindigkeiten: xS, yS (wie der Schwerpunkt S) und . r·j . j x y Masse m S Bild Ebene Bewegung eines Körpers r·j sinj . r·j cosj der Rotationssgeschwindigkeit: rj (um den Schwerpunkt S) . r y x j dm Die resultierende Geschwindigkeit von dm folgt aus der Überlagerung der Geschwindigkeitskomponenten in x- und in y-Richtung und anschließender geometrischer Addition dieser Komponenten. Wir erhalten (vgl. Bild 3.51): Die kinetische Energie des starren Körper erhalten wir aus der kinetischen Energie des Massen-punktes dm durch Integration über die gesamte Masse m. ? Ende

? Mit vS - resultierenden Geschwindigkeit des Schwerpunktes S
[siehe (3.37)] = 0 [siehe Kapitel 1.9.3, S 129] = 1 = JS [siehe (3.39)] Mit vS - resultierenden Geschwindigkeit des Schwerpunktes S Winkelgeschwindigkeit wird die kinetische Energie eines starren Körpers (3.68) Man bezeichnet die zwei Anteile auch als Translationsenergie Beachte: Die kinetische Energie eines starren Körpers, der eine allgemeine Bewegung in der Ebene ausführt, kann in dieser Form nur aufge-schrieben werden, wenn als Bezugspunkt für die Translation und die Rotation der Schwer-punkt S gewählt wird. Rotationsenergie ? Ende

Beispiel 3.20 Rollendes Rad
Gegeben: m, R, v0 (Annahme:Das Rad soll als eine homogene Scheibe angesehen werden) S v0 R m Bild Rollendes Rad Gesucht: Kinetische Energie des rollenden Rades bei der Geschwindigkeit v0 des Schwerpunktes P j = w . Zwangsbedingung (siehe Beispiel 3.4): Massenträgheitsmoment des Rades (siehe Beispiel 3.9): Damit wird die kinetische Energie nach Gleichung (3.68) ? Ende

Beispiel 3.21 Homogenes Stabpendel
Gegeben: m, l, Gesucht: Kinetische Energie Bild Stabpendel j = w . A S l m 2 Für die Lösung dieses Beispiels wollen wir zwei Lösungsmöglichkeiten betrachten. vS 1. Lösungsmöglichkeit: Die Bewegung des Pendels wird als Überlagerung von Translation des Schwerpunktes mit und Rotation um den Schwerpunktes mit aufgefasst. (dünner homogener Stab; siehe Beispiel 3.8) Mit wird die kinetische Energie nach Gleichung (3.68) ? Ende

2. Lösungsmöglichkeit: Bild Stabpendel j = w . A S l m 2 Die Bewegung des Pendels wird jetzt als reine Drehung eines starren Körpers um den Punkt A (der auch der Momentanpol ist) aufgefasst. Das Massenträgheitsmoment muss dann auf den Punkt A bezogen werden. Mit dem STEINERschen Satz (Kapitel 3.3.2, Gleichung (3.45)) wird die kinetische Energie nach Gleichung (3.68) Beachte: Der Punkt A ist in Ruhe, so dass die Translationsenergie des Punktes A Null ist. Wie erwartet liefert die 2. Lösungsmöglichkeit das gleiche Ergebnis. Hinweis: Diese 2. Lösungsmöglichkeit könnte auch auf das Beispiel 3.20 Rollendes Rad an-gewandt werden, indem die Bewegung als reine Rotation um den Momentanpol P ange-sehen wird. Für JA ist dann das Massenträgheitsmoment bezogen auf den Momentanpol (Gleichung (3.51)) einzusetzen. ? Ende

3.4.2 Verallgemeinerung des Energiesatzes
Der in Kapitel angegebene Energieerhaltungssatz U1 + T1 = U2 + T2 = konst. gilt nur, wenn sich alle Kräfte aus einem Potential herleiten lassen. Die Potentialkräfte wollen wir mit bezeichnen. Es können natürlich in einem System auch Kräfte auftreten, die keine Potentialkräfte sind (z. B. Reibkräfte, Antriebskräfte usw.). Diese sollen mit bezeichnet werden. Mit der verallgemeinerten Kraft und dem Arbeitssatz (siehe (3.54)) folgt für die verrichtete Arbeit der verallgemeinerten Kraft (1) Mit (aus Gleichung (3.56) und (3.61)) Arbeit der Kräfte, die kein Potential haben! (3.69) und folgt aus (1) bzw. etwas umgestellt (siehe nächste Seite) ? Ende

(3.70) Mit dieser Verallgemeinerung des Energiesatzes durch die Erweiterung mit der Arbeit der Kräfte, die kein Potential haben, sind wir in der Lage, Systeme zu berechnen, bei denen z. B. so typische Nichtpotentialkräfte wie Reibkräfte und Antriebskräfte auftreten. Hinweis: Treten z. B. Antriebs- oder Reibmomenten auf, die ebenfalls kein Potential besitzen, so muss W* um die Arbeit dieser Momente ergänzt werden. Arbeit der Momente, die kein Potential haben! Im Folgenden werden zwei Beispiele behandelt, bei denen Kräfte (Reibkraft bzw. Antriebskraft) auftreten, die kein Potential besitzen. ? Ende

Beispiel 3.22 Gleitende Masse mit Reibung
Gegeben: m, v0, g, m Gesucht: Nach welcher Strecke l kommt die Masse zur Ruhe? m l v0 v = 0 1 2 U = 0 Beachte: Von den während der Bewegung auf m wirkenden Kräften sind FN und FR keine Potentialkräfte. Da die Führungskraft FN senkrecht zur Bewegungsrichtung x steht, verrichtet sie keine Arbeit. Die Arbeit der Reib-kraft FR fließt über W* in den Energiesatz ein! x FR = mmg FN = mg mg Mit der Arbeit der Reibkraft FR nach Gleichung (3.69) Bild Gleitende Masse mit Reibung und folgt aus dem Energiesatz (3.70) ? Ende

Beispiel 3.23 Bewegung eines Handwagens aus der Ruhe heraus
Gegeben: mW, mR, F, R, hw, a, v(x=0) = 0, (das Rad sei eine homogene Scheibe) Gesucht: v(x) = v Es gilt der Energiesatz in der Form U1 + T1 + W * = U2 + T2 2 1 U = 0 j v = 0 x v(x) = v R F a mW mR SR hW SW Die Kraft F hat kein Potential. Ihre Arbeit (3.69) wird: Mit Bild Bewegung eines Handwagens sowie der Zwangsbedingung für reines Rollen und mit JR (siehe oben) wird Durch Einsetzen in den Energiesatz folgt Hinweis: Es wäre auch möglich gewesen, für jede Masse ein eigenes Nullpotential (z. B. durch SW und SR) zu definieren. Damit vereinfacht sich die Rechnung, da dann U1v= U2 = 0 gilt. ? Ende

3.4.3 LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen 2. Art
Feststellung: Für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen kann immer das D’ALEMBERTsche Prinzip benutzt werden. Dieses erfordert Schnittbetrachtungen, das Aufschreiben der Gleichge-wichtsbedingungen und die Elimination der Schnittreaktionen (diese sind oft für die Beurteilung nicht erforderlich), um die Bewegungsgleichungen zu erhalten. Bei der Anwendung des Energiesatzes kamen wir bereits ohne Schnittführungen aus. Für Systeme mit mehreren Freiheitsgraden ist er jedoch nicht uneingeschränkt anwendbar. Für Systeme mit beliebig vielen Freiheitsgraden führt die Anwendung der LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 2. Art, ebenfalls ohne Schnittführung, nur unter Verwendung von Energieausdrücken T und U (die oft leicht anzugeben sind) und gegebenenfalls einer „generalisierten Kraft“, auf die Bewegungsgleichungen. Ohne Herleitung lauten die LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 2. Art: mit k = 1, 2,... f (3.71) L = T - U LAGRANGEsche Funktion Es bedeuten: f Anzahl der Freiheitsgrade qk generalisierte (verallgemeinerte) Koordinaten, k = 1, 2,... f (f voneinander unabhängige Längen- oder Winkelkoordinaten) generalisierte (verallgemeinerte) Kräfte aus eingeprägten, nichtkonservativen Kräften (Kräfte, die kein Potential haben) ? Ende

Die generalisierte Kraft in Gleichung (3
Die generalisierte Kraft in Gleichung (3.71) ist eine neue Größe, deren Berechnung hier ohne Herleitung nur angegeben werden soll. Ermittlung der generalisierten Kraft : Die Ermittlung von führt über die virtuellen Arbeit aller eingeprägten, nichtkonservativen Kräfte und Momente auf die allgemeine Berechnungsvorschrift (3.72) Vorgehensweise bei der Anwendung der LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen Beschreibung einer allgemeinen ausgelenkten Lage des Systems durch die Definition von n Koordinaten (n  f). Ermittlung der Anzahl der Freiheitsgrade f des Systems; bei n > f müssen z = n - f Zwangsbedingungen aufgestellt werden. Festlegung der generalisierten Koordinaten qk und Ersetzen aller anderen Koordinaten durch diese mit Hilfe der Zwangsbedingungen. Aufschreiben von U und T und Elimination der überzähligen Koordinaten, so daß nur noch die generalisierten Koordinaten qk (mit k = 1, 2,... f) bzw. deren Ableitungen nach der Zeit in U und T verbleiben. Aufschreiben der LAGRANGEschen Funktion L = T - U. Sind nichtkonservative eingeprägte Kräfte vorhanden, so können aus (3.72) die generalisierten Kräfte bestimmt werden. Aufschreiben der LAGRANGEschen Gleichungen (3.71) für k = 1, ... f. ? Ende

4. Aufschreiben von U und T:
Beispiel System aus drei Massen (vgl. Beispiel 3.13) Gegeben: m1, m2, R1, R2, Js, m, m Gesucht: Bewegungsgleichung für m1 (Abwärtsbewegung) x2 S R2 R1 JS, m m1 m2 m j U = 0 1. Bewegungskoordinaten: x1, x2, j  n = 3 2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1 Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = 2 x1 = R1·j x2 = R2·j Zwangsbedingungen (vgl. Beispiel 3.13): (1) (2) x1 Bild System aus drei Massen 3. Festlegung der generalisierten Koordinaten qk: Wegen f = 1 gibt es nur eine generalisierte Koordinate! Von den drei eingeführten Koordinaten wählen wir als generalisierte Koordinate q1  x1 4. Aufschreiben von U und T: Mit dem Nullpotential für U durch den Schwerpunkt der Massen, wenn die Koordinaten Null sind (vgl. Bild 3.56), folgt für die dargestellte allgemeine Lage: ? Ende

? Die kinetische Energie vereinfachen wir zu (3)
5. Damit wird die LAGRANGEsche Funktion 6. Von den während der Bewegung auf die Masse m2 wirkenden nicht-konservativen Kontaktkräften FN und FR leistet nur FR eine Arbeit. Bild 3.57 Kontaktkräfte an m2 FR=mm2g FN m2g x2= x1 R2 R1 Wir müssen nach (3.72) (wegen f = 1 ist k = 1) berechnen: (4) 7. Aufschreiben der LAGRANGEschen Gleichung (3.71) für k = 1: Aus mit (vgl. (3)) folgt mit aus (4) (vgl. Ergebnis Beispiel 3.13, Seite 355)  m siehe oben ? Ende

4. Aufschreiben von U und T:
Beispiel Zwei-Massen-Schwinger (ohne Reibung) x1 x2 Gegeben: m1, m2, c1, c2, c3 Gesucht: Bewegungsgleichungen c2 m2 m = 0 m1 c1 c3 U = 0 1. Bewegungskoordinaten: x1, x2  n = 2 2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 2 Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = 0 Bild Zwei-Massen-Schwinger (ohne Reibung) 3. Wegen f = 2 und z = 0 sind die generalisierten Koordinaten: q1  x1 q2  x2 4. Aufschreiben von U und T: Annahme: Für x1 = x2 = 0 sind alle Federn entspannt. Das Nullpotential für U geht durch den Schwerpunkt der Massen (vgl. Bild 3.58). Damit folgt für die dargestellte allgemeine Lage 5. Lagrangesche Funktion: (1) Beachte: Keine Reibung, keine Antriebskräfte,...  Qk* = 0 6. Generalisierte Kräfte: ? Ende

? 7. Aufschreiben der LAGRANGEschen Gleichungen (3.71): für k = 1, 2
(2) mit (1) Für k = 1 und q1  x1: (3) Einsetzen in (2) liefert die erste Bewegungsgleichung Für k = 2 und q1  x1: (4) Einsetzen in (2) liefert die zweite Bewegungsgleichung Die Gleichungen (3) und (4) lassen sich übersichtlich in Matrizenschreibweise angeben: M - Massenmatrix K - Steifigkeitsmatrix x - Vektor der Bewegungskoordinaten x - Vektor der Beschleunigungen .. bzw. in verkürzter Form: Die Bewegungsgleichungen (3) und (4) bzw. ihre verkürzte Form sind ein homogenes System gewöhnlicher Differentialgleichungen, deren Lösung in der Schwingungslehre (Kapitel 3.5.5) behandelt wird. ? Ende

Beispiel 3.26 Elastisch gebundene Masse mit mathematischem Pendel
Gegeben: m1, m2, c, l Gesucht: Bewegungsgleichungen x m1 c m = 0 m2 l v1 = x . 1. Bewegungskoordinaten: x, j  n = 2 U = 0 2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 2 j Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = 0 l·jcosj . l·jsinj 3. Wegen f = 2 und z = 0 gibt es zwei generalisierten Koordinaten: q1  x und q2  j l·j . j 4. Aufschreiben von U und T (siehe dazu auch Bild 3.59): v1 = x . Die potentielle Energie wird Die kinetische Energie wird mit der Geschwindigkeit der Masse m1: Bild Elastisch gebundene Masse mit Pendel und der Geschwindigkeit der Masse m2: 5. Lagrangesche Funktion: (1) ? Ende

? Beachte: Keine Reibung, keine Antriebskräfte,...  Qk* = 0
6. Generalisierte Kräfte: 7. Aufschreiben der LAGRANGEschen Gleichungen (3.71): (2) für k = 1, 2 mit (1) Für k = 1 und q1  x: (3) Einsetzen in (2) liefert Für k = 2 und q1  j: (4) Einsetzen in (2) liefert Hinweis: Die beiden Ergebnisse (3) und (4) sind gekoppelte nichtlineare Differentialgleichungen. Die Lösung kann auf numerischem Wege erfolgen (z. B. durch Integration mit dem RUNGE-KUTTA-Verfahren). ? Ende

Die Bewegung der elastisch gebundenen Masse mit mathematischem Pendel, die durch die beiden gekop-pelten nichtlinearen Differentialgleichungen (3) und (4) beschrieben ist, wird in der nachfolgenden Animation für folgende Zahlenwerte dargestellt: x m1 c m = 0 m2 l j m1 = m2 = 1 kg, c = 50 N/m, l = 1 m Anfangsbedingungen: x1(t=0) = 0, x1(t=0) = 0 j(t=0) = 45, j(t=0) = 0 . Zeitdarstellung: 0  t  30 s Animation: Zur Ansicht der Animationen auf das Bild klicken oder die Datei schwinger-1.avi mit geeignetem Media-Player öffnen. Ein weiterer Klick auf die Animation stoppt diese bzw. setzt die Wiedergabe fort oder beginnt sie erneut. ? Ende

3.5 Schwingungen 3.5.1 Einführung ?
Vorgänge, bei denen eine Zustandsgröße (Weg, Geschwindigkeit, elektrische Spannung, Druck, Lichtstärke usw.) zeitlichen Schwankungen unterliegt, nennt man Schwingungen. Diese zeitlichen Schwankungen der Zustandsgröße (wir wollen sie allgemein durch eine Funktion q(t) beschreiben) können entsprechend ihrer charakteristischen Eigenschaften näher klassifiziert werden. Zwei typische Schwingungen werden nachfolgend angegeben. Periodische Schwingung: Der Verlauf einer Größe q(t) wiederholt sich nach einer Zeit T (Bild 3.60) q(t+T) = q(t) q(t+2T) = q(t) q(t+kT) = q(t) k = 1,2,... , d.h. es gilt q(t) t Bild Periodische Schwingung T – die Zeit für eine Periode der Schwingung  Schwingungsdauer Wir bezeichnen mit T – die Frequenz der Schwingung Einheit: s-1 bzw. Hertz ? Ende

? Harmonische Schwingung:
Die harmonische Schwingung ist der Sonderfall einer periodischen Schwingung, bei der sich die Zustandsgrößen nach sin- und/oder cos-Funktionen ändern. q(t) = C1·cos(wt) + C2·sin(wt) = A·sin(wt+j) Es gilt allgemein (3.73) mit den Zusammenhängen (siehe auch Kapitel 3.5.2) (3.74) Wir bezeichnen mit (vgl. Bild 3.61) Bild Harmonische Schwingung q(t) t A – die Amplitude der Schwingung w – die Eigenreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit) A Beachte: Analogie zur Winkelge-schwindigkeit w = 2pn, wobei n die Drehzahl ist (vgl. Kapitel 3.1.5) j w T j – den Nullphasenwinkel ? Ende

? Weitere Charakterisierungen von Schwingungen nach:
der Art der Schwingung (ungedämpfte, gedämpfte oder angefachte) der Anzahl der Freiheitsgrade der Schwinger dem Typ der Schwinger (lineare oder nichtlineare) der Entstehung der Schwingung (freie oder erzwungene) Im Folgenden sollen dazu einige typische Beispiele angegeben werden. Ungedämpfte- , gedämpfte-, angefachte Schwingung ungedämpfte Schwingung, Bild 3.62 a) q(t) t a)  Amplitude bleibt konstant (kein Energieverlust) q(t) t b) gedämpfte Schwingung, Bild 3.62 b)  Amplitude verkleinert sich (Energieverlust) q(t) t c) angefachte Schwingung, Bild 3.62 c)  Amplitude vergrößert sich (Energiezufuhr) Bild 3.62 ? Ende

? Anzahl der Freiheitsgrade der Schwinger
m x(t) Schwinger mit einem Freiheitsgrad c m x(t) Bild Schwinger mit einem Freiheitsgrad Schwinger mit 2, 3, ..., n - Freiheitsgraden c1 m1 x1(t) m2 c2 x2(t) 2 Freiheitsgrade 3 Freiheitsgrade x3(t) c3 m3 x2(t) c2 m2 x1(t) c1 m1 Bild Schwinger mit 3 Freiheitsgraden (oben) und mit 2 Freiheitsgraden (rechts) Schwinger mit unendlich vielen Freiheitsgraden E, G, n, A x v(x,t) Bild Schwinger mit unendlich vielen Freiheitsgraden Hinweis: Bei kontinuierlich angenommener Masseverteilung (Kontinua) gibt es unendlich viele differentielle Massenelemente, d.h. es gibt unendlich viele Schwingformen (Biege-, Torsions-, Längsschwingungen usw.). ? Ende

? Lineare- / nichtlineare Schwinger
Die Differentialgleichung, die den Schwingungsvorgang beschreibt, kann linear oder nichtlinear sein! Ob sie linear oder nichtlinear wird, hängt häufig von der Größe der Bewegungskoor-dinaten (Bild 3.66) ab und/oder ob vorhandene elastische Elemente (Federn) des Schwingers für die Schwingungsausschläge lineares Verhalten zeigen oder nicht. j(t) l m Bild Pendel Linearer Schwinger für kleine Winkel j (d.h. sinj  j) Differentialgleichung wird linear!  Nichtlinearer Schwinger für große Winkel j Differentialgleichung ist nichtlinear!  Entstehung der Schwingung Freie Schwingung (Eigenschwingung) Es wirken keine äußeren Erregerkräfte auf das System ein (Bild 3.67 a). c m x(t) a) F(t) c m x(t) b) Erzwungene Schwingungen Das System steht unter der Wirkung von äußeren zeitabhängigen Belastungen (Bild 3.67 b). Bild Federschwinger a) freie -, b) erzwungene Schwingung Wir wollen uns nachfolgend zunächst mit freien, ungedämpften Systemen mit einem Freiheits-grad befassen. ? Ende

3.5.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad
Wir wollen die Lösung an Hand von Beispielen kennen lernen. Beispiel Feder-Masse-Schwinger (reibungsfrei auf horizontaler Unterlage) c m m = 0 Bild Feder-Masse-Schwinger Gegeben: m, c, x0, v0 (für x = 0 sei die Feder entspannt!) Anfangsbedingungen: x(t=0) = x0, x(t=0) = v0 . x(t) x0 v0 t = 0 Gesucht: Bewegungsgleichung x(t) und x(t) . Aufstellen der Bewegungsdifferentialgleichung: Das Aufstellen der Bewegungsgleichung soll nach zwei Möglichkeiten gezeigt werden. 1. Lösungsmöglichkeit: Prinzip von D’ALEMBERT Kräftegleichgewicht an der freigeschnittenen Masse (Bild 3.69) liefert x cx mg mx .. FN Bild Freischnitt mit der Abkürzung Das ist eine homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die gesuchte Bewegungsgleichung x(t). Der Lösung dieser Differentialgleichung (DGL) wenden wir uns zu, wenn die 2. Lösungsmöglichkeit besprochen wurde. ? Ende

? 2. Möglichkeit: LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen Aus (3.71)
mit k = 1,2,..., f folgt mit f = 1, q1 = x, Qk* = 0, dem Nullpotential im Massenschwerpunkt und mit mit Das ist die gleiche Lösung für die Bewegungsdifferentialgleichung wie nach dem Prinzip von D’ALEMBERT (1. Lösungsmöglichkeit). ? Ende

? Lösung der Bewegungsdifferentialgleichung: Die Differentialgleichung
(3.75) hat die allgemeine Lösung Gleichung (3.73) (vgl. Herleitung der Lösung (3.90) für D = 0) (3.76) Kontrolle für Richtigkeit der Lösung: Wir bilden von (3.76): und Einsetzen in die DGL (3.75) liefert  Lösung (3.76) erfüllt die DGL (3.75)! Die allgemeine Lösung (3.76) enthält noch die Integrationskonstanten C1 und C2. Diese müssen so bestimmt werden, dass die Anfangsbedingungen des konkreten Problems erfüllt werden. ? Ende

? Die Anfangsbedingungen lauten in unserem Beispiel: Anfangsauslenkung
Anfangsgeschwindigkeit Mit der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung (3.76) und deren erster Ableitung nach der Zeit folgt aus der 1. Anfangsbedingung: und aus der 2. Anfangsbedingung: Einsetzen von C1 und C2 in (3.76) und in die erste Ableitung liefert die Bewegungsgleichungen mit (3.77) (3.78) Wir nehmen jetzt für die gegebenen Größen folgende Werte an: m = 1 kg, c = 0,05 N/mm x0 = 1 mm, v0 = 10 mm/s Die typischen Systemparameter werden damit: Winkelgeschwindigkeit (3.77): Frequenz (siehe Seite 390): Schwingungsdauer (siehe Seite 389): ? Ende

Der Verlauf der beiden Bewegungsgleichungen (3. 77) und (3
Der Verlauf der beiden Bewegungsgleichungen (3.77) und (3.78) ist für diese Werte im Bild 3.70 grafisch dargestellt. x0 t/s x(t) / mm v0 T x(t) · s/mm x0 t/s x(t) / mm v0 T x(t) · s/mm (3.77) mit x0 = 1 mm, v0 = 10 mm/s, w = 0,7071 s-1, T = 0,889 s (3.78) Bild Bewegungsgleichungen x(t) und Hinweis: Wegen des allgemeinen Zusammenhangs, dass die Geschwindigkeit die erste Ableitung des Weges nach der Zeit ist, gilt immer (vgl. die beiden Diagramme im Bild 3.70): Nullstelle der Wegfunktion x(t) Þ Extremwert in der Geschwindigkeitsfunktion Extremwert der Wegfunktion x(t) Þ Nullstelle in der Geschwindigkeitsfunktion ? Ende

? Hinweis zur Lösung der Differentialgleichung
Folgende Lösungen der Bewegungsdifferentialgleichung (3.75) sind gleichwertig (vgl. auch Kapitel 3.5.1, Gleichungen (3.73) und (3.74)): x(t) = C1·cos(wt) +C2·sin(wt) x(t) = A·sin(wt+j) (3.79)  gleichwertig  A – Amplitude der Schwingung j – Nullphasenwinkel C1 C2 mit Integrationskonstanten Beweis der Gleichwertigkeit der beiden Lösungen Umformung mit Hilfe des Additionstheorems für die sin-Funktion liefert: (3.80) bzw. mit t/s x(t) / mm A j w =0,087 s Bild Funktion x(t) = A·sin(wt+j) x(t) = A·sin(wt+j) Mit den Zahlenwerten für den Schwinger von Beispiel 3.27 folgt aus der Lösung (3.77) die gleichwertige Lösung mit den Konstanten A und j, die sich nach (3.80) wie folgt ergeben w = 7,071 s-1, C1 = x0 = 1 mm C2 = v0/w = 1,414 mm A = 1,732 mm j = 0,615 ? Ende

? Beispiel 3.28 Feder-Masse-Schwinger (Masse hängt an der Feder)
Durch die Gewichtskraft FG = mg erfährt die Feder eine statische Auslenkung um xst. Danach befindet sich das System in der statischen Ruhelage (Bild 3.72 b). Bild Feder-Masse-Schwinger (Masse hängt an der Feder) a) c m xSt b) Die Größe der statischen Auslenkung folgt aus dem Kräftegleichgewicht an der in der statischen Ruhelage freigeschnittenen Masse (Bild 3.72 c): Feder entspannt cxSt FG=mg c) mg c(xSt+x) mx .. d) statische Ruhelage x Die Koordinate x legen wir mit ihrem Ursprung in die statische Ruhelage. Wir lenken das System weiter aus und lassen es schwingen. Das D’ALEMBERTsche Prinzip liefert mit dem Kräftegleichgewicht an der in einer allgemeinen Lage freigeschnittenen Masse (Bild 3.72 d) die folgende Bewegungsdifferentialgleichung. (siehe oben) Beachte: Der Feder-Masse-Schwinger mit hängender Masse hat die gleiche Eigen-kreisfrequenz w wie der reibungsfreie Feder-Masse-Schwinger auf horizontaler Unterlage (siehe Beispiel 3.27) mit ? Ende

? Aus dem Beispiel 3.28 lässt sich die folgende Feststellung ableiten.
Das Gewicht FG = mg der Masse und die dadurch hervorgerufene statische Vorspannung c×xst der Feder haben keinen Einfluss auf die Schwingung dieses Feder-Masse-Systems und brauchen daher bei solchen Systemen nicht berücksichtigt zu werden, wenn die Bewegungskoordinate von der statischen Ruhelage aus eingeführt wird! Das Gewicht bestimmt lediglich die statische Ruhelage, um die dann die Schwingung erfolgt. Diese Feststellung gilt auch für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen mit Hilfe von Energiemethoden! Beachte: Das gilt nur, wenn in der statischen Ruhelage alle elastischen Glieder des Schwingers bereits durch die Gewichtskräfte vorgespannt sind (Gegenbeispiel: Schwinger in Bild 3.73). m c g statische Ruhelage Bild 3.73 Das gilt nur, wenn das System ein linearer Schwinger ist. Das gilt nicht, wenn die Gewichtskraft die alleinige Rückstellkraft ist (z. B. Schwinger Bild 3.73 ohne Feder). Das gilt nicht, wenn durch die Gewichtskraft in der Bewegungsdifferentialgleichung nicht-konstante Anteile entstehen (z. B. bei einer schrägen Lage des Schwingers im Bild 3.73). ? Ende

Hinweis:. Wenn man für das obige Beispiel 3
Hinweis: Wenn man für das obige Beispiel die Eigenkreisfrequenz w experimentell bestimmen möchte, folgt aus dass man die Masse „m“ und die Federsteifigkeit „c“ messen müsste. Die experimentelle Bestimmung von w ist aber auch ohne die Ermittlung von c und m möglich. Man muss lediglich die statische Auslenkung xst messen, und erhält aus In den beiden Beispielen 3.27 und 3.28 wurde jeweils eine Feder mit der Federmasse Null angenommen. Im Folgenden wollen wir noch die Fragen untersuchen: Hat die Federmasse einen Einfluss auf die Eigenkreisfrequenz des Schwingers? Wie kann man die Masse der Feder berücksichtigen? Wie berücksichtigt man spezielle Anordnungen von Federn (Parallel- und Reihenschaltung von Federn)? ? Ende

Näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse (für kleine Ausschläge):
Durch die Federmasse wird die schwingende Masse größer. Es ist deshalb zu erwarten, dass die Eigenkreisfrequenz sinkt! m= mF l c, mF, x m Bild Berücksichtigung der Federmasse . v(xF)= x xF l v(l)=x dmF=m·dxF und nehme an, dass sich die Geschwindigkeit längs der Feder linear verändert (Bild 3.74). Wir betrachten Schwingungen um die neue statische Ruhe-lage (infolge der zusätzlichen Federmasse mF) Hinweis: Ermittelt man die Bewegungsgleichung mit den LAGRANGE-schen Gleichungen und wählt x von der statischen Ruhelage aus, so können die Massenkräfte sowie die durch diese in der Feder gespei-cherte potentielle Energie weggelassen werden (siehe Beispiel 3.28). Die Federmasse mF geht nur noch in die kinetische Energie T ein! Die kinetische Energie wird Die kinetische Energie des Feder-Masse-Schwingers mit Berücksichtigung der Federmasse erhalten wir also, indem zur Einzelmasse m noch 1/3 der Federmasse mF hinzugefügt wird. Mit dieser Ersatzmasse M (M > m) wird die Eigenkreisfrequenz, wie bereits vermutet, kleiner. ? Ende

Ermittlung von Ersatzfederzahlen für Parallel- und Reihenschaltung von Feder:
Federn können in vielfältiger Weise untereinander und mit einem Körper verbunden sein. Sie lassen sich unter der Voraussetzung eines linearen Federgesetzes (Fc = c·x, vgl. Bild 3.75) zu einer Ersatzfeder mit einer Ersatzfederzahl cers zusammenfassen. entspannt Feder c Bild Federgesetz entspannt Feder c Fc = c·x x Die Ersatzfederzahl cers wird so bestimmt, dass bei gleichen Belastungen die Ersatzfeder den gleichen Federweg aufweist wie das Ausgangssystem. Parallelschaltung von Federn (Federwege aller Federn sind gleich groß) Ausgangssystem mit n Federn (Bild 3.76, links): cn c1 . . . c2 c3 FG x cers FG  gleichwertig  (1) Ersatzsystem mit einer Feder (Bild 3.76, rechts): (2) Gleichsetzen von (1) und (2) liefert (3.81) FG Fcn=cnx Fc1 Fc2 Fc3 . . . cersx FG Bild Parallelschaltung von Federn (Ausgangssystem links und Ersatzsystem rechts) ? Ende

Reihenschaltung von Federn (Federkräfte aller Federn sind gleich groß)
x c2 cn c1 FG Für jede Feder ci des Ausgangssystems kann aus dem Kräftegleichgewicht (Bild 3.77, Schnittbild links) und dem Federgesetz die Federverlängerung xi der i-ten Feder berechnet werden. Ausgangssystem mit n Federn (Bild 3.77, links): cers FG  gleichwertig  Der Federweg am Ende der Federkette wird (1) Ersatzsystem mit einer Feder (Bild 3.77, rechts): ci FG FG = cixi li + xi (li - Länge der unbelaste-ten Feder) (2) cersx FG Gleichsetzen von (1) und (2) liefert (3.82) Bild Reihenschaltung von Federn (Ausgangssystem links und Ersatzsystem rechts) ? Ende

Hinweis: Mit den Beziehungen für die Parallelschaltung Gleichung (3.81) und für die Reihenschaltung Gleichung (3.82) von Federn kann auch für kompliziertere Federsysteme, die Kombinationen beider Arten enthalten, durch schrittweise Bildung von Ersatzfedern eine einzige Ersatzfeder für das gesamte System ermittelt werden. ? Ende

3.5.3 Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad
q(t) t ungedämpft Bild Freie gedämpfte Schwingung Aus der Erfahrung wissen wir, dass freie Schwingungen mit einer konstanten Amplitude (ungedämpfte Schwingungen) nicht auftreten. Die Amplituden werden mit zunehmender Zeit kleiner (gedämpft) und werden irgendwann Null (Bild 3.78). gedämpft Ursache für die Dämpfung ist z. B. der durch Dissipation9 eintretende Energieverlust im schwingenden System infolge Umwandlung von Bewegungsenergie in Wärme (z. B. infolge Reibung) Umwandlung von Bewegungsenergie in bleibende Verformung Umwandlung von Bewegungsenergie in Luft- oder Flüssigkeitsbewegung usw. Hinweis: Ideale (ungedämpfte) Systeme – so genannte konservative Systeme – gibt es in der Realität nicht. Trotzdem lassen sich auch unter der Voraussetzung idealer (ungedämpfter) Systeme viele brauchbare Aussagen (oft sehr einfach) gewinnen. Dabei ist immer zu prüfen, ob die getroffenen Annahmen zulässig sind! Um uns mit wichtigen Grundlagen vertraut zu machen, wollen wir als Modellbeispiel einen geschwindigkeitsproportional gedämpften Feder-Masse-Schwinger betrachten. 9 Dissipation (Energiedissipation), irreversibler physikalischer Prozessen beim Übergang einer Energieform in eine andere Energieform ? Ende

? Geschwindigkeitsproportional gedämpfter Feder-Masse-Schwinger
x(t) Ein geschwindigkeitsproportionaler Dämpfer mit der Dämpfungskonstanten b bewirkt eine der Geschwindig-keit v entgegengesetzt gerichtete Kraft der Größe FW = b·v c m m=0 b Symbol für einen Dämpfer: b Das Symbol ist einem Fahrzeugstoßdämpfer nachempfunden! cx mg mx .. FN x(t) bx . Maßeinheit der Dämpfungskonstanten b: [N·s·m-1 = kg·s-1] Bei Anwendung des D’ALEMBERTschen Prinzips für den Feder-Masse-Schwinger in Bild 3.79 erhält man aus dem Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung an der freigeschnittenen Masse m Bild Geschwindigkeitsproportional gedämpfter Feder-Masse-Schwinger (3.83) Das ist die typische Bewegungsdifferentialgleichung eines proportional zur Geschwindigkeit gedämpften Systems. Häufig wird diese Form der Differentialgleichung noch mit den folgenden Abkürzungen umgeformt (siehe folgende Seite). ? Ende

(3.83) Abkürzungen: (384) Kennkreisfrequenz (  Kreisfrequenz des ungedämpften Schwingers) Abklingkonstante (385) LEHRsches Dämpfungsmaß (oder Dämpfungsgrad) (386) Einsetzen der Abkürzungen in die Differentialgleichung (3.83) liefert bzw. (3.87) Das ist, wie auch die Differentialgleichung für den ungedämpften Schwinger (3.75), eine lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Lösung der beiden Differentialgleichungen (3.87) beschreibt in Abhängigkeit von den Systemparametern (speziell in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad D) sehr unterschiedliche Bewegungen. Diese wollen wir im Folgenden untersuchen. ? Ende

? Zur Lösung der Differentialgleichung (3.87)
wird folgender Lösungsansatz gemacht: (3.88) Differenzieren dieses Ansatzes liefert: Einsetzen des Ansatzes (3.88) und dessen Ableitungen in Gleichung (3.87) liefert Wegen muß zur Erfüllung dieser Gleichung der Klammerausdruck Null werden: Das ist die so genannte charakteristische Gleichung. Die Lösung der charakteristischen Gleichung (quadratische Gleichung für l) wird: (3.89) In Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad zeigt die Lösung unterschiedliches Verhalten! Wir betrachten jetzt unterschiedliche Größenordnungen des Dämpfungsgrades D. ? Ende

? D = 0: Ungedämpftes System
Aus der Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung folgen für D = 0 die zwei Lösungen Einsetzen dieser beiden Lösungen in den Lösungsansatz (3.88) liefert Mit der EULERschen Formel folgt: oder (3.90) Diese Lösung für ungedämpfte Systeme haben wir bereits im Kapitel (Gleichung (3.76) bzw. (3.79)) ohne Herleitung kennen gelernt. x(t) t Bild Ungedämpfte Schwingung (D = 0) Der Verlauf der Schwingung nach Gleichung (3.90) für D = 0 (ungedämpft) ist in Bild 3.80 dargestellt. ? Ende

? D < 1: Schwach gedämpftes System
In der Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung wird für D < 1 der Wurzelradikand negativ. Deshalb formen wir sie wie folgt um: Mit nach Gleichung (3.86) und einer neuen Abkürzung: (3.91) folgt für die umgeformte Lösungen der charakteristischen Gleichung Einsetzen der beiden Lösungen in den Lösungsansatz (3.88) liefert Auf den Klammerausdruck wenden wir nun wieder die EULERsche Formel an, und erhalten und daraus (vgl. vorherige Seite) ? Ende

? (3.92) oder mit Gleichung (3.79) (3.93)
Bild Schwach gedämpfte Schwingung (D < 1) t T = 2p w oder mit Gleichung (3.79) (3.93) A Der typischen Verlauf dieser schwach gedämpften Schwingung (D < 1) nach Gleichung (3.92) bzw. (3.93) ist in Bild 3.81 dargestellt. Aus den Lösungen (3.92) bzw. (3.93) kann man typische Eigenschaften für den schwach gedämpften Schwinger ableiten (siehe dazu auch Bild 3.81). Es gilt allgemein: Die Amplitude A der Schwingung nimmt mit Zeit t um den Faktor ab. Die Abkürzung w (Gleichung (3.91)) ist die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung. (3.94) Beachte: w0 ist die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Schwingers Die Eigenkreisfrequenz w der gedämpften Schwingung ist konstant. Sie ist kleiner als die Eigenkreisfrequenz w0 des ungedämpften Schwingers. Die Schwingdauer T ist Die Frequenz f wird ? Ende

Die das Dämpfungsverhalten eines Schwingers bestimmenden Parameter sind nicht immer bekannt oder können nicht immer einfach experimentell ermittelt werden. Mit den Gleichungen (3.84) bis (3.86) ist man aber in der Lage, bei der Kenntnis eines typischen Dämpfungsparameters (b, d oder D), die jeweils benötigten anderen Parameter zu berechnen. Für eine experimentelle Bestimmung von Dämpfungsparametern soll im Folgenden die recht einfache Bestimmung des LEHRschen Dämpfungsmaßes D gezeigt werden. Experimentelle Bestimmung des LEHRschen Dämpfungsmaßes D Wir betrachten zwei aufeinanderfolgende Ausschläge des Schwingers im Abstand einer Periode T (siehe Bild 3.81) und bilden das Verhältnis dieser Ausschläge Hinweis: Wegen der Periodizität der sin-Funktion gilt sin(w[t+T]+j) = sin(w t+j). Logarithmieren beide Seiten liefert  = logarithmisches Dekrement Mit aus (3.86) und nach (3.94) ergibt sich und nach D umgestellt mit (3.95) Das LEHRsche Dämpfungsmaßes kann also aus zwei experimentell ermittelten aufeinander-folgenden Ausschlägen im Abstand T (zweckmäßig die maximalen Ausschläge, da sich diese am genauesten messen lassen) über das logarithmische Dekrement L berechnet werden. ? Ende

Beispiel 3.29 Ermittlung des LEHRschen Dämpfungsmaßes D
Um uns eine Vorstellung von der Größe des LEHRschen Dämpfungsmaßes machen zu können, betrachten wir nachfolgend eine Schwingung, bei der sich die Amplitude nach jeder Periode T um die Hälfte verringert. Das logarithmische Dekrement  wird dafür nach Gleichung (3.95) Damit ergibt sich für das LEHRsche Dämpfungsmaß aus Gleichung (3.95) Dieses Dämpfungsmaß ist relativ groß, da bereits nach wenigen Schwingungsperioden die Schwingung als praktisch abgeklungen angesehen sein wird. Frage: Wie groß ist in diesem Fall der relativ großen Dämpfung mit D = 0,1097 die Eigenkreis-frequenz der gedämpften Schwingung? Nach Gleichung (3.94) gilt: Schlußfolgerung: Auch bei relativ stark gedämpften Systemen ist die Eigenkreisfrequenz w0 des ungedämpften Systems eine gute Näherung für die Eigenkreisfrequenz w des gedämpften Systems. ? Ende

? D > 1: Stark gedämpftes System
Die Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung hat für D > 0 zwei reelle Wurzeln. Einsetzen dieser beiden Lösungen in den Lösungsansatz (3.88) liefert (3.96) Die Funktion (3.96) beschreibt keinen typischen Schwingungsvorgang mehr, sondern einen so genannten Kriechvorgang (vgl. Bild 3.82). Bild Kriechvorgang (D > 1) t/s x(t) / mm 10 5 -5 -10 ,2 0,4 0,6 0, Kriechvorgang (D = 1,2) aperiodischer Grenzfall (D = 1) D = 1: Aperiodischer Grenzfall Für den Sonderfall D = 1 ergibt sich aus der Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung die Doppellösung l1,2 = -w0 . Einsetzen dieser Doppellösung in den Lösungsansatz (3.88) liefert die Funktion (typischer Verlauf siehe Bild 3.82) (3.97) und aperiodischer Grenzfall (D = 1) Hinweis: Stark gedämpfte Systeme und der aperiodische Grenzfall sind technisch nur für wenige spezielle Anwendungen (z. B. Dämpfung von Zeigerinstrumenten) von Bedeutung. ? Ende

3.5.4 Erzwungene Schwingungen mit einem Freiheitsgrad
Unter erzwungenen Schwingungen versteht man Schwingungsvorgänge, bei denen dem Schwingungssystem durch zeitabhängige Kraft- oder Wegerregung Energie zugeführt wird. Wir betrachten zunächst den praktisch wichtigen Fall, bei dem ein Schwingungssystem durch eine harmonische äußere Kraft zu Schwingungen angeregt wird (Bild 3.83). (W = Erregerkreisfrequenz) x(t) m m=0 c F(t) b Bild 3.83 Krafterregter Schwinger Nach dem D’ALEMBERTschen Prinzip erhält man aus dem Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung an der freige-schnittenen Masse m (Bild 3.83) cx mg mx .. FN x(t) F(t) bx . Mit (3.84) bis (3.86) und mit folgt daraus (3.98) Im Unterschied zur Bewegungsgleichung des freien gedämpften Schwingers (3.87) haben wir es jetzt mit einer inhomogenen Differentialgleichung zu tun, deren Lösung als Summe aus der homogenen Lösung xh und einer partikulären Lösung xp aufgeschrieben werden kann: (3.99) Die homogene Lösung ist mit Gleichung (3.92) bzw. (3.93) bereits bekannt: bzw. (3.100) ? Ende

? Für die partikuläre Lösung machen wir einen Lösungsansatz der Form
(3.101) Dieser Lösungsansatz muß die vollständige Differentialgleichung (3.98) erfüllen. Mit und folgt nach dem Einsetzen in die vollständige Differentialgleichung (3.98) Mit den Additionstheoremen der Winkelfunktionen folgt daraus Hinweis: Diese Gleichung ist für jede beliebige Zeit t dann Null, wenn jeder Klammerausdruck für sich Null wird! Nullsetzen der ersten Klammer liefert  - Nacheilwinkel, Phasenverschiebung (3.102) Abstimmungsverhältnis (3.103) mit ? Ende

Nullsetzen der zweiten Klammer liefert mit der Lösung für tany (Umwandeln der sin- und
cos-Funktion in die tan-Funktion) nach kurzer Rechnung die Konstante K Die vollständige Lösung der Differentialgleichung (3.98) folgt aus Gleichung (3.99) durch Ein-setzen der Gleichungen (3.100) und (3.101) mit der jetzt bekannten Konstanten K zu (3.104) Die Integrationskonstanten A und j müssen aus den jeweils aktuellen Anfangsbedingungen des konkreten Problems bestimmt werden. Bild Erzwungene Schwingung t x(t) Ein typischer Verlauf einer erregten Schwingung ist in Bild 3.84 dargestellt. stationärer Zustand Der zweite Term in (3.104) be-schreibt den so genannten stationären Zustand (siehe Bild 3.84 und folgende Seite). Hinweis: in Gleichung (3.104) ist die Auslenkung der Masse bei statischer (ruhender) Belastung des Feder-Masse-Systems mit der Kraft . für  > 1 ? Ende

Wie bereits auf der vorherigen Seite kurz angedeutet, beschreibt in der allgemeinen Lösung (3.104) der partikuläre Lösungsanteil (zweiter Term) den so genannten stationären Zustand (stationäre Schwingung) xstationär, da der homogene Lösungsanteil (erster Term) infolge der immer vorhandenen Dämpfung mit der Zeit abklingt (vgl. Bild 3.84). V1(h) (3.105) Für den stationären Zustand gilt: der stationäre Zustand ist eine harmonische Schwingung mit einer Eigenkreisfrequenz, die gleich der Erregerkreisfrequenz W ist die Amplitude K der stationären Schwingung ist konstant die stationäre Schwingung hat gegenüber der Erregung eine Phasenver-schiebung um den Winkel y Wir erkennen an Gleichung (3.105), dass die Amplitude der stationären Schwingung wesentlich vom Abstimmverhältnis h bestimmt wird. Das Verhältnis der Amplitude K der stationären Lösung (3.105) zur statischen Auslenkung , die so genannte Vergrößerungsfunktion V1(h), gestattet das typische Verhalten der Schwingungsamplitude zu diskutieren (siehe Bild 3.85). Dabei ist besonders die nähere Umgebung von h = 1 zu beachten, da dort bei geringen Dämpfungen recht große Amplituden auftreten können. Der Zustand h = 1 (W = w0) wird als Resonanz bezeichnet. ? Ende

? V1(h) folgt aus Gleichung (3.105) zu
D=0,1 D=0,25 D=0,5 D=0 D=2 V1 Max(V1) D=0,707 Bild Vergrößerungsfunktion V1 V1(h) ist in Bild 3.85 für unterschiedliche Dämpfungsmaße D dargestellt. der stationären Lösung nach Gleichung (3.102) gegenüber der Erregerfunktion F(t) ist in Bild 3.86 für unterschiedliche Dämpfungsmaße D dargestellt. Die Phasenverschiebung Bild Phasenverschiebung y Phasenverschiebung   p 2 h 1 3 D=0 D=0,1 D=0,25 D=0,5 D=0,707 D=2 Wir unterscheiden in Abhängigkeit von h zwischen: h < 1 unterkritische Erregung (W < w0) h = 1 Resonanzfall (W = w0) h > 1 überkritische Erregung (W > w0) ? Ende

In der nachfolgenden realistischen Animation ist der Schwingungsvorgang für diese erzwungene gedämpfte Schwingung mit Krafterregung an der Masse für die Gesamtlösung (3.104) und für folgende Größen dargestellt: m m = 0 c F(t) b x(t) m = 5 kg, c = 50 N/m, b = 4 N s/m Anfangsbedingungen: x (t=0) = 0,3 m; x (t=0) = 0 . Zeitdarstellung: 0  t  30 s Animation: (Der Dämpfer ist in der Animation nicht dargestellt) Zur Ansicht der Animation auf das Bild klicken oder die Datei schwinger-2.avi mit geeignetem Media-Player öffnen. Ein weiterer Klick auf die Animation stoppt diese bzw. setzt die Wiedergabe fort oder beginnt sie erneut. ? Ende

Neben der hier behandelten Krafterregung F(t) treten häufig Stützenerregungen und Unwucht-erregungen auf. Die Behandlung dieser erregten Systeme erfolgt analog zur Krafterregung. Als Ergebnis lassen sich neben der vollständigen Lösung wieder für den stationären Schwingungs-zustand Vergrößerungsfunktion und Phasenverschiebung ermitteln. • Stützenerregung (Erregung über Feder, über Dämpfer oder über Feder und Dämpfer) xS(t) = x·sinWt ˆ m m = 0 c b x(t) Bild Stützenerregung über Feder und Dämpfer • Unwuchterregung m m = 0 c b x(t) r Bild Erregung durch die horizontale Kraftkomponente F(t) = murW2sinWt der Fliehkraft murW2 Wt murW2 mu (Unwuchtmasse) murW2 Wt murW2sinWt ? Ende

3.5.5 Systeme mit mehreren (n) Freiheitsgraden
Einführung Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen für ein Schwingungssystem mit n Freiheitsgraden kann analog zum Schwinger mit einem Freiheitsgrad, z. B. mit dem D’ALEMBERTschen Prinzip (Kapitel bis 3.3.3) bzw. den LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 2. Art (Kapitel 3.4.3), vorgenommen werden. Neu ist jetzt: Bei einem linearen Schwingungssystem mit n-Freiheitsgraden erhält man ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem aus n Gleichungen, d. h. die mathe-matische Behandlung wird aufwendiger. Ein lineares Schwingungssystem mit n Freiheitsgraden besitzt n Eigenkreis-frequenzen wi (i = 1, ..., n). Viele Erkenntnisse vom Schwinger mit einem Freiheitsgrad lassen sich übertragen, z. B.: Die Eigenkreisfrequenzen eines schwach gedämpften Systems unterscheiden sich nur un-wesentlich von denen des ungedämpften Systems (vgl. Kapitel Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad). Deshalb reicht es häufig aus, ungedämpfte Systeme zu untersuchen. Bei erregten Systemen reicht im Allgemeinen die Untersuchung des stationären Schwin-gungszustandes aus. Nur für die Untersuchung des Verhaltens eines Systems in der Anlaufphase bzw. Auslaufphase ist die vollständige Lösung (mit Berücksichtigung der Dämpfung) erforderlich. Eine Erregung in der Nähe der Eigenkreisfrequenzen wi führt ebenfalls zu großen Schwin-gungsausschlägen. Bei jeder Eigenkreisfrequenz liegt eine Resonanzstelle. ? Ende

3.5.5.2 Aufstellen der Bewegungsgleichungen
Am Beispiel eines Zwei-Massen-Schwingers mit Dämpfung und Krafterregung (Bild 3.89) soll das Aufstellen der Bewegungsgleichungen exemplarisch gezeigt werden. Gegeben: m1, m2, c1, c2, b1, b2, Gesucht: Bewegungsgleichungen für m1 und m2 x1(t) x2(t) m=0 c1 m1 b1 c2 m2 b2 F1(t) Bild 3.89 Zwei-Massen-Schwinger mit Dämpfung und Erregung Im Beispiel 3.25 wurden Bewegungsgleichungen für einen Zwei-Massen-Schwinger (dort ohne Dämpfung und Krafterregung) mit den LAGRANGEschen Bewe-gungsgleichungen aufgestellt. Hier wollen wir mit Hilfe des D’ALEMBERTschen Prinzips die zweite typische Methode anwenden. FN2 m2g m2x2 .. x2(t) x1(t) m1g FN1 c1·x1 m1x1 c2·(x2-x1) b1x1 . b2(x2-x1) F1(t) Das Kräftegleichgewicht an den beiden Massen liefert Nach Umsortierung folgt (3.106) Es bedeuten in (3.107): M - Massenmatrix D - Dämpfungsmatrix K - Steifigkeitsmatrix x - Koordinatenvektor F - Lastvektor bzw. in Matrizenschreibweise (3.107) oder kurz ? Ende

Die Bewegungsgleichungen (3. 106) bzw. (3
Die Bewegungsgleichungen (3.106) bzw. (3.107) stellen ein gekoppeltes lineares Differential-gleichungssystem dar. Die Matrizenschreibweise (3.107) gilt in dieser allgemeinen Form auch für Schwinger mit mehr als zwei Freiheitsgraden, wobei die Matrizen und Vektoren in (3.107) dann ein Format annehmen, das der Freiheitsgradanzahl des Systems entspricht. Aus den Bewegungsgleichungen (3.107) lassen sich schnell die folgenden Sonderfälle ableiten: (3.108) System mit Dämpfung und Erregung (3.109) System ohne Dämpfung und mit Erregung (3.110) System mit Dämpfung und ohne Erregung (3.111) System ohne Dämpfung und ohne Erregung (freie Schwingung) Die Lösung der Differentialgleichungssysteme (3.108) und (3.109) kann als Summe einer homogenen und einer partikulären Lösung aufgeschrieben werden (bei (3.110) und (3.111) entfällt die partikuläre Lösung) x = xh + xp Zur Bestimmung der homogenen Lösung macht man zweckmäßig den Ansatz (vgl. auch Kapitel 3.5.3, Gleichung (3.88)) xh = C·elt und zur Bestimmung der partikulären Lösung führt ein an F angepasster Störgliedansatz in der Regel zum Ziel. Für das obiges Beispiel mit Dämpfung und mit z. B.: Einsetzen in Gleichung (3.107) und Koeffizientenvergleich liefert ein Gleichungssystem zur Berechnung von A und B. ? Ende

Beispiel 3.30 Zwei-Massen-Schwinger mit Krafterregung an einer Masse
Gegeben: m1 = m2 = m, c1 =c2 = c, Gesucht: Bewegungsgleichungen für m1 und m2 x1(t) x2(t) m=0 c1 m1 c2 m2 F1(t) Bild Zwei-Massen-Schwinger mit Krafterregung Es gelten die Bewegungsgleichungen (3.106) bzw. (3.107), wenn in diesen die Dämpfung Null gesetzt wird (d. h. b1 = b2 = 0 bzw. D = 0) (3.112) oder kurz (3.113) Ermittlung der homogene Lösung: Der Ansatz oder xh = C·elt in (3.112) eingesetzt liefert das so genannte allgemeine Eigenwertproblem (3.114) Das allgemeine Eigenwertproblem (3.114) stellt ein homogenes Gleichungssystem für die Ampli-tuden C des Ansatzes dar. Es hat nur dann nichttriviale Lösungen für C, wenn die Determinante der Matrix (l2M + K) Null wird. (3.115) ? Ende

(3.115) Die Gleichung (3.115) wird als charakteristische Gleichung bezeichnet. Für das konkrete Beispiel wird die charakteristische Gleichung mit (3.112) Die charakteristische Gleichung (biquadratische Gleichung für l) hat die Lösungen Hinweis: Die Lösungen für l21,2 sind kleiner Null. Deshalb führen wir die Substitution w21,2 = -l21,2 durch. Damit ist w21,2 reell und positiv. Mit (3.116) erhält man die Lösungen der charakteristischen Gleichung in der Form bzw. daraus die vier Teillösungen (3.117) mit und aus Gleichung (3.116) für die gegebenen Werte ? Ende

Einsetzen in den Lösungsansatz für xh und Überlagerung aller Teillösungen mit je zwei Integra-tionskonstanten liefert Mit der EULERschen Formel (vgl. auch Kapitel 3.5.3) folgt nach kurzer Umformung und Umbenennung der Konstanten (3.118) Aus dem homogenen Gleichungssystem (3.114) liest man ab, dass es zwischen den Konstanten von C einen Zusammengang geben muss. Mit l2 = -w2 nach (3.117) folgt aus (3.114) und die erste Gleichung liefert einen allgemeinen Zusammenhang zwischen C1 und C2 der für w = w1 und für w = w2 erfüllt sein muß. Zwischen den Konstanten in (3.118) muss damit folgender Zusammenhang gelten mit den Auslenkungsverhältnissen m1 = +1,618 und m2 = -0,618 für die gegebenen Werte. ? Ende

Die homogene Lösung (3.118) geht damit in die folgende endgültige Form über
(3.119) Hinweis: C11, C12, j1 und j2 sind die vier Integrationskonstanten des homogenen Ausgang-systems (3.112). Diskussion der homogenen Lösung: Die Integrationskonstanten C11, C12, j1 und j2 werden aus Anfangsbedingungen bestimmt. Beachte: Die Anfangsbedingungen müssen bei einem erregten System für die Gesamtlösung aus homogener und partikulärer Lösung aufgeschrieben werden! Die homogene Lösung ist im Allgemeinen Fall die Überlagerung zweier Schwingungen mit den Eigenkreisfrequenzen w1 und w2. Sie klingt infolge immer vorhandener Dämpfung (hier nicht berücksichtigt) mit der Zeit ab (vgl. Kapitel 3.5.3). Es gibt aber immer bestimmte Anfangsbedingungen, für die in (3.119) entweder C12 oder C11 Null wird. In diesen Fällen schwingen beide Massen mit der gleichen Eigenkreisfrequenz, entweder mit w1 (Bild 3.91, folgende Seite) oder mit w2 (Bild 3.92, folgende Seite). Die dazu gehörenden Schwingformen bezeichnen wir als Eigenschwingformen (vgl. Gegenüberstellung für dieses Beispiel auf der folgenden Seite). Das Auslenkungsverhältnis m der Massen ist ein charakteristischer Wert, der die Schwingform qualitativ beschreibt. ? Ende

? Eigenschwingform für w1 (1. Eigenschwingform)
Bild Gleichsinnige Schwingung mit w1 Eigenschwingform für w1 (1. Eigenschwingform) Bild Gegensinnige Schwingung mit w2 Eigenschwingform für w2 (2. Eigenschwingform) C12 = 0 C11 = 0 Auslenkungsverhältnis Auslenkungsverhältnis Schwingform: gleichsinnig x2h x1h m1 m2 m2 x1h m1 -x2h Schwingform: gegensinnig ? Ende

? Ermittlung der partikulären Lösung:
Für die partikuläre Lösung wird ein an die Erregerfunktion angepasster Ansatz gewählt: bzw. Einsetzen des Ansatzes in die vollständige Gleichung von (3.112) liefert mit das Gleichungssystem Das ist ein lineares inhomogenes Gleichungssystem für A1 und A2. Die Auflösung, z. B. mit der CRAMERschen Regel, liefert und Die Determinante det(G) hat genau für W = ±w1 und W = ±w2 Nullstellen, da sie analog zur charakteristischen Gleichung (3.115) aufgebaut ist! Mit der Produktdarstellung des aus det(G) folgenden Polynoms 4. Grades mit Hilfe der bekannten Nullstellen können die Konstanten des Ansatzes dann wie folgt aufgeschrieben werden (siehe folgende Seite) ? Ende

? (3.120) Damit wird die partikuläre Lösung (3.121)
Die Gesamtlösung x = xh + xp kann jetzt mit der homogenen Lösung (3.119) und der partikulären Lösung (3.121) aufgeschrieben werden. Wir wollen jedoch an dieser Stelle darauf verzichten und statt dessen, wie bei der homogenen Lösung, die partikuläre Lösung kurz diskutieren. Diskussion der partikulären Lösung: Nachdem die homogene Lösung infolge der immer vorhandenen Dämpfung abgeklungen ist, schwingt das System mit der partikulären Lösung im so genannten stationären Zustand (vgl. auch Kapitel 3.5.4, Bild 3.84). ? Ende

Die Amplituden A1 und A2 der stationären Schwingung sind neben den Systemkenngrößen (Massen, Federzahlen, Eigenkreisfrequenzen w1 und w2) wesentlich von der Erregung und hier speziell von der Erregerkreisfrequenz W abhängig (siehe Gleichung (3.120)). Die folgenden Darstellungen der Amplituden in Abhängigkeit von der Erregerkreisfrequenz W für das hier behandelte Beispiel mit zwei Massen ohne Dämpfung verdeutlichen dies. Bei W = w1 und bei W = w2 werden die Amplituden A1 und A2 theoretisch unendlich groß (für Systeme ohne Dämpfung; aber bei der praktisch immer vorhandenen Dämpfung bleiben die Amplituden endlich). Diese Stellen bezeichnen wir als Resonanzstellen. A1 W w1 w2 A2 Bild Amplituden der stationären Schwingung Bei der 1. Resonanzstellen (W = w1) schwingen die Massen gleichsinnig mit der 1. Eigen-schwingform und bei der 2. Resonanzstellen (W = w2) schwingen die Massen gegensinnig mit der 2. Eigenschwingform (vgl. Bild 3.91 und 3.92). Bei W = wT ist A1 = 0, d. h. die Masse m1 bleibt in Ruhe, obwohl dort die Erregerkraft F(t) angreift! Diesen Effekt nennt man Schwingungstilgung (hier der Masse m1). Die Masse m2 schwingt dabei weiter. Schwingungstilgung wird in der Praxis bewusst zur Unterdrückung von Schwingungen einzelner Massen eingesetzt. ? Ende

In der nachfolgenden realistischen Animation ist der Schwingungsvorgang für diesen Zwei-Massen-Schwinger mit Krafterregung an m1 für die Gesamtlösung x = xh + xp und für folgende Größen dargestellt: m1 = m2 = 5 kg, c1 = c2 = 50 N/m, Anfangsbedingungen: x1(t=0) = 0, x1(t=0) = 0 x2(t=0) = 0,3 m, x2(t=0) = 0 . Zeitdarstellung: 0  t  30 s x1(t) x2(t) m = 0 c1 m1 b1 c2 m2 b2 F1(t) gedämpft: (b1 = b2 = 4 N s/m) (Dämpfer in der Animation nicht dargestellt) m = 0 c1 m1 c2 m2 F1(t) x1(t) x2(t) ungedämpft: Animation: Animation: Zur Ansicht der Animation auf das jeweilige Bild klicken oder die Datei schwinger-3-u.avi (ungedämpft) bzw. schwinger-3-g.avi (ge-dämpft) mit geeignetem Player öffnen. Ein weiterer Klick auf die Animation stoppt diese bzw. setzt sie fort oder beginnt sie erneut. ? Ende

Ende der Dynamik ? Ende

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