Eine wissenschaftliche Miniatur

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1 Eine wissenschaftliche Miniatur
Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

2 Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

3 Was ist Papierfalten? Nach dem Auffalten haben wir einen Streifen mit einem Knick es ist ein Talknick oder Linksknick Linkskurve Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

4 Was ist Papierfalten? Das Falten des Papierstreifens wird iteriert, d.h. wiederholt ausgeführt Der einmal gefaltete Streifen wird ein zweites Mal gefaltet A Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

5 Was ist Papierfalten? Nach dem Auffalten haben wir einen Streifen mit drei Knicken Linksknick, Linksknick, Rechtsknick Linkskurve Rechtskurve Linkskurve Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

6 Protokoll der ersten fünf Streifen
LLR LLRLLRR LLRLLRRLLLRRLRR LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR Es drängen sich viele Fragen auf Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

7 Fragen Wie geht es mit den Buchstabenketten weiter?
L LLR LLRLLRR LLRLLRRLLLRRLRR LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR Wie geht es mit den Buchstabenketten weiter? Wie lang sind die Ketten? Wie viele Rs und Ls gibt es jeweils? Kommt es zu Wiederholungen? Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

8 Antworten Stufe 1 2 3 4 5 n Anzahl der Rs Anzahl der Ls
LLR LLRLLRR LLRLLRRLLLRRLRR LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR Stufe 1 2 3 4 5 n Anzahl der Rs Anzahl der Ls Anzahl aller Buchstaben 1 3 7 15 1 2 4 8 16 1 3 7 15 31 Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

9 Antworten Wie werden die Zeichenketten gebildet? R L L LLR L LRR
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10 Das Reflexionsgesetz Beim Papierfalten erhält man die nächste Knickfolge, indem man die letzte Knickfolge abschreibt ein L anhängt den ersten Teil an dem L „reflektiert“ Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

11 Das Reflexionsgesetz Beispiel: Von der 3. zur 4. Stufe
3. Stufe LLRLLRR abschreiben LLRLLRR L LLRRLRR L anhängen ersten Teil reflektieren Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

12 Erkenntnis Wenn man einen Streifen Papier „rechts über links“ fortlaufend faltet und die Knicke mit einer LR-Folge notiert, so gilt für diese LR-Folgen das Reflexionsgesetz. Ist dieses eine mathematisch befriedigende Aussage? Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

13 Erkenntnis Es entspricht eher der naturwissen-schaftlichen Arbeitsweise denn Wir können das Reflexionsgesetz nicht für alle Papierstreifen beweisen. alle Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

14 Naturwissenschaftliche, induktive Erkenntnisgewinnung
Gesetzmäßigkeit mit Allgemeinheitsanspruch Induktion Abstraktion Logik Vorhersage endlich viele Experimente weitere Experimente Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

15 Der mathematische Weg Definition 1
Es sei A = {L,R} ein Alphabet und A* die Menge aller Wörter über diesem Alphabet. Definition 2 Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

16 Der mathematische Weg Definition 3 Es sei  eine Funktion mit
 heißt Reflexionsoperator Definition 4 Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

17 Der mathematische Weg Die Wörter w1 = L w2 = (w1) = LLR w3 = (w2) = LLRLLRR, ... erfüllen alle mit Sicherheit das Reflexionsgesetz, denn sie wurden per Definition so konstruiert. Es ist aber kein Beweis des Reflexionsgesetzes möglich. Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

18 Mathematische, deduktive Erkenntnis
Gesetzmäßigkeit (per definitionem mit Allgemeinheitsanspruch) weitere Gesetzmäßigkeit (mit Allgemeinheits-anspruch per Beweis) Deduktion Idee Anwendung Anwendung weitere Beispiele in der realen Welt Beispiele in der realen Welt Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

19 Weitere Erkenntnisse Wo entstehen welche Knicke beim weiteren Falten?
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20 Weitere Erkenntnisse LLRLLRRLLLRRLRR L L R L L R R L L L R R L R R
L R L R L R L R L R L R L R L L LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRL Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

21 Das Inflationsgesetz Beim Papierfalten erhält man die nächste Knickfolge, indem man die letzte Knickfolge auseinander zieht vor, in die Lücken und hinter die Knickfolge abwechseln L und R einfügt Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

22 Zusammenhänge Reflexionsgesetz und Inflationsgesetz sind äquivalent
d.h. die Knickfolge, die nach dem Reflexionsgesetz gebildet wird, stimmt in allen Symbolen mit der Knickfolge, die nach dem Inflationsgesetz gebildet wird, überein Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

23 Zusammenhänge naturwissenschaftliche, realitätsbezogene Begründung: beide Gesetze sind nur verschiedene Betrachtungsweisen desselben Prozesses, nämlich Papierfalten Die Begründung ist vernünftig, aber nicht für alle Wörter wirklich geprüft Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

24 Zusammenhänge formal deduktiver Beweis:
die Wörter, die mit dem Reflexionsgesetz definiert werden und die Wörter, die mit dem Inflationsgesetz definiert werden sind an jeder Position im Wort gleich Der Beweis sichert diesen Zusammenhang für alle Wörter wn Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

25 Gesetzmäßigkeiten L LLR LLRLLRR LLRLLRRLLLRRLRR
LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR Welches Zeichen wird auf Position 92 stehen? Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

26 Gesetzmäßigkeiten L LLR LLRLLRR LLRLLRRLLLRRLRR
LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR Eigenschaft Positionen Position ungerade, Zeichen ist L Position gerade, Zeichen ist L Position ungerade, Zeichen ist R Position gerade, Zeichen ist R Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

27 Gesetzmäßigkeiten L LLR LLRLLRR LLRLLRRLLLRRLRR
LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR Eigenschaft Positionen Position ungerade, Zeichen ist L 1 5 9 13 17 21 25 Position gerade, Zeichen ist L 2 4 8 10 16 18 20 Position ungerade, Zeichen ist R 3 7 11 15 19 27 Position gerade, Zeichen ist R 6 12 14 22 24 28 30 Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

28 Gesetzmäßigkeiten Gesetz für die ungeraden Positionen:
Dividiere die Platznummer mit Rest durch 4. Ist der Rest 1, so steht dort ein L, ist der Rest 3, so steht dort ein R. Eigenschaft Positionen Position ungerade, Zeichen ist L 1 5 9 13 17 21 25 Position gerade, Zeichen ist L 2 4 8 10 16 18 20 Position ungerade, Zeichen ist R 3 7 11 15 19 27 Position gerade, Zeichen ist R 6 12 14 22 24 28 30 Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

29 Gesetzmäßigkeiten / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRRLLLRL… … /L/L/R/L/L/R/R/L/L/L/R/R/L/R/R/L/L/L 1 Nach dem Streichen der ungeraden Positionen und Neunummerierung der verbleibenden Symbole erhält man wieder die Papierfaltungsfolge. Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

30 Gesetzmäßigkeiten Gesetz für die geraden Positionen:
Dividiere die Platznummer durch 2 und wende auf die neue Platznummer die beiden Gesetze an. Beispiel: Eigenschaft Positionen Position ungerade, Zeichen ist L 1 5 9 13 17 21 25 Position gerade, Zeichen ist L 2 4 8 10 16 18 20 Position ungerade, Zeichen ist R 3 7 11 15 19 27 Position gerade, Zeichen ist R 6 12 14 22 24 28 30 Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

31 Geometrische Interpretation
Die gefalteten Streifen werden so weit aufgefaltet, dass die Abschnitte einen rechten Winkel formen. Die Figuren werden so ausgerichtet, dass der erste Streifenabschnitt nach oben und der zweite nach links weist. Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

32 1.Stufe 2.Stufe 3.Stufe 4.Stufe 5.Stufe
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33 Geometrische Interpretation
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34 Geometrische Interpretation
Weiterfalten Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

35 Geometrische Interpretation
Die Entfernung Anfang - Ende bleibt konstant Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

36 Geometrische Interpretation
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37 Geometrische Interpretation
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38 Forschungsaufgaben 1. Das Falten geschieht nicht nur mit „rechts über links“, sondern auch mit „rechts unter links“. Die Knickfolge muss natürlich protokolliert werden. A A Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

39 Forschungsaufgaben 2. Die Knickfolge wird nicht mit L (Linksknick) und R (Rechts-knick) protokolliert, sondern mit N (Nord), W (West), S (Süd), O (Ost) für die Abschnitte. Beispiel: (3. Stufe) NWSWSOSW Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen

40 Forschungsaufgaben 3. Der Streifen wird in Drittel geknickt. linkes Drittel über die Mitte, rechtes Drittel über die Mitte A 2. Stufe: LLRRRRLL A A 1. Stufe: RR Mathematisches Vorsemester 2006, , Uni Bremen