Kalender und die Gaußsche Osterformel – was steckt dahinter?

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2 Kalender und die Gaußsche Osterformel – was steckt dahinter?
Peter H. Richter Universität Bremen Vortrag auf der Jahresversammlung der Gauß-Gesellschaft Göttingen Freitag, 27. Oktober 2006 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

3 Kalender: eine Kunst der Kompromisse
Frühlingsanfang bis Frühlingsanfang: … Tage nicht 365 (Ägypten) oder (julianisch) oder (gregorianisch) Neumond bis Neumond: … Tage nicht 30 oder 29 oder gar 31 bzw. 28 Das Sonnenjahr hat … Monate nicht 12 (arabisch) oder 13 oder 235/19 = (metonisch) Sonntag bis Sonntag: 7 Tage Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

4 Forderungen an die Kalenderkunst
Der Sonnenlauf muss das Wirtschaftsleben regeln Jahreszeiten, Landwirtschaft Der Mond soll das Feiern regieren Passah; Ostern; Laternen- und Mondfest in China Einfache Verzahnung von Sonnen-, Mond- und Tageslauf möglichst einfache rationale Verhältnisse Präzise Vorhersage der Sonnen- und Mondpositionen Sonnenwenden, Äquinoktien, Neu- und Vollmonde Übereinstimmung von Rechnung und Beobachtung algorithmische oder astronomische Kalender? Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

5 Es wäre alles so einfach, wenn …
das Jahr 364 Tage und ein Monat 30 Tage + 8 Stunden hätte. Dann hätte das Jahr genau 52 Wochen und 12 Monate. Der Frühlingsvollmond fiele immer auf denselben Tag nach Frühlingsanfang, genauso wie der erste Sonntag danach. Kalender0 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

6 Aber schon im julianischen Kalender …
hat das Jahr Tage, und 19 Jahre sind 235 Monate. Der Mondlauf wird mit dieser Regel der Sonne angepasst. Dann ist alle 4 Jahre ein Schaltjahr einzuführen, und die Sonntage ändern ihr Datum von Jahr zu Jahr um 1 oder 2 Tage Der Vollmond wandert von Jahr zu Jahr um Tage zurück oder um Tage voran. Das wird durch einen bestimmten Takt von elf Schritten -11, einen Schritt -12 und sieben Schritte +19 realisiert. KJ 342 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

7 Der erste Sonntag nach dem julianischen 21. März
FSj = S mit S = (4∙Jahr + 2∙b + 6) mod 7, wobei b = Jahr mod 4 Jahr b S FSj Jahr b S FSj . Periode: 28 Jahre KJ 342 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

8 Der erste Vollmond im julianischen Frühling
OGj = d mit d = (19∙a ) mod 30, wobei a = Jahr mod 19 Jahr a d OGj Jahr a d OGj . Periode: 19 Jahre KJ342 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

9 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik
Aus Ostergrenze und den Sonntagsdaten berechnet man das julianische Ostern: JOsternj = OGj (S – d) mod 7 Jahr OGj S d (S - d) mod JOsternj Periode: 19 ∙ 28 = Jahre KJ342 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

10 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik
Aber … das Jahr hat in Wirklichkeit nicht , sondern … Tage, und 235 synodische Monate sind 2:05 Stunden mehr als 19 Jahre Das verursacht in 128 Jahren einen Fehler von 1 Tag im Sonnenlauf, in 218 Jahren einen Fehler von 1 Tag im Mondlauf relativ zur Sonne. In 1700 Jahren sind das etwa 13.3 Tage Fehler bei der Sonne und 7.8 Tage Fehler beim Mond. Es reicht offenbar, dies nur an Jahrhundertgrenzen zu korrigieren. Das ist der Grundgedanke des gregorianischen Kalenders von 1582. JK1987 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

11 Die gregorianische Korrektur …
… verbessert die Sonnenperiode um einen Faktor 30, indem in 400 Jahren 3 Schalttage ausfallen, nämlich bei solchen Jahrhunderten, die nicht durch 400 teilbar sind. Sei J ein gegebenes Jahr und k = int(J/100) das zugehörige Jahrhundert, dann ist die Zahl der seit k = 0 ausgefallenen Schalttage Sk = int ((3k + 3) / 4) = 0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, … . … verbessert die Anpassung des Mondlaufs an das Sonnenjahr, indem in 2500 Jahren netto 8 Schaltungen des Mondalters vorgenommen werden, und zwar in dem Takt Mk = int ((8k + 13) / 25) = 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, … . Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

12 Carl Friedrich Gauß fand 1800/1816,
dass der gregorianische erste Frühlingssonntag FS gegeben ist durch FS = 22 + S mit S = (4∙Jahr + 2∙b Sk) mod 7. Für k = 2 stimmt das mit dem julianischen Kalender überein, denn S2 = 2 und daher 4 + S2 = 6. dass der gregorianische Ostervollmond gegeben ist durch OG = 21 + d mit d = (19∙a Sk – Mk ) mod 30. Das stimmt mit dem julianischen Kalender überein, wenn (Sk – Mk) mod 30 = 0. Das wird zuerst für k = 67 der Fall sein, mit Sk = 51, Mk = 21, Sk – 2 = 49, also 7 Wochen Differenz der Kalender. Im Übrigen gilt weiter Ostern = OG (S – d) mod 7. GK Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

13 Was steckte noch dahinter?
Gauß wollte den Tag seiner Geburt wissen, von dem seine Mutter nur sagen konnte, dass es der Mittwoch vor Rogate 1777 war, also 31 Tage nach Ostern (Brendel, Maennchen). Für J = 1777 gilt k = int (J/100) = 17 Sk = int ((3k + 3) / 4) = Mk = int ((8k + 13) / 25) = Sk = Sk – Mk = 23 b = J mod 4 = S = (4J + 2b Sk) mod 7 = → FS = 22 + S = 23 a = J mod 19 = d = (19a Sk – Mk ) mod 7 = → OG = 21 + d = → Ostern = OG (S – d) mod 7 = 30. März Sein Geburtstag war deshalb der 30. April 1777. In folgenden Jahrhunderten stimmen die Daten von julianischem und gregorianischem Kalender überein: k = Sk = 51 Mk = Differenz in Wochen (Sk-2)/7 = 7 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

14 Was steckte nicht dahinter?
Gauß, der mehrfach auf das Kalenderthema zurückkam (1802: Passah, 1807, 1814, 1816, Nachlass), hat – als Astronom! – keine Veranlassung gesehen, die gregorianische Korrektur zu verbessern. Dabei hatte bereits 1786 Barnaba Oriani aufgrund verbesserter Daten für die Länge des Sonnenjahres vorgeschlagen, deren Kettenbruchentwicklung zu nutzen, um noch bessere Übereinstimmung von Theorie und Realität zu erzielen. Der von Milankovic 1923 in Griechenland eingeführte Kalender geht darauf ein: er lässt in 9 Jahrhunderten 7 Schaltjahre aus, das ist besser als 3 in 4. Hinsichtlich des Mondes ist weniger Handlungsbedarf. Die optimale Korrektur gegenüber 235/19 würde netto 46 statt 43 Mond-Resets in Jahren erfordern, aber das kümmert kaum jemanden, zumal das Mondlicht für unsere Feste an Bedeutung verliert … Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

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16 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik
Aus Ostergrenze und den Sonntagsdaten berechnet man das julianische Ostern: Julianisch: JOsternj = OGj (S – d) mod 7 Gregorianisch: JOsterng = Osternj + 13 Jahr OGj S d (S - d) mod JOsternj JOsterng Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

17 Der Begriff der Epakte Ep
Es handelt sich um das Alter des Mondes an Neujahr. Dieses ist äquivalent der Kenntnis der Ostergrenze. Wenn die gregorianische Ostergrenze OG = 21 + (19 a + M) mod 30 ist, dann ist die Epakte EP = (11 a + 53 – M) mod 30. Es gilt also EP + OG = 44 oder 74, je nachdem, ob OG kleiner ist als 44 oder nicht. Dabei ist a = Jahr mod 19. Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

18 Der Irrtum in der Arbeit von 1800
Damals hatte Gauß für Mk statt int((13 + 8k)/25) angegeben den Wert M = int(k/3), das heißt, er hatte Mondschaltungen gegen den Metonzyklus alle 300 Jahre vorgenommen. Das wären 8 Schaltungen in 2400 Jahren statt in 2500 Jahren. Es war aber im gregorianischen Kalender immer so, dass auf 7 Schaltungen nach je 300 Jahren die nächste erst nach 400 Jahren erfolgt. Mit der neuen Formel, die Gauß anscheinend von Tittel 1816 übernahm, fand er die volle Übereinstimmung. Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

19 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik
Der jüdische Kalender Eingeführt von Hillel II um 360 AD. Im Prinzip das Spiegelbild des julianischen Kalenders, insofern zwischen Sonnen- und Mondlauf der Metonzyklus als exakt postuliert wird, aber statt der Sonne setzt hier der Mond mit einer Monatslänge von den Rhythmus, und die Sonne wird angepasst. Das verursacht in 218 Jahren eine Drift um 1 Tag gegenüber dem wahren Sonnenkalender. Gauß hat auch für diesen Kalender Algorithmen angegeben, einen für den 15. Nissan (Frühlingsvollmond, Pessach) und einen für den 1. Tishri (Neujahr, Beginn des 7. Monats). Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

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