Mit Zahlen spielen Fachwissenschaftliches Seminar

Präsentation zum Thema: "Mit Zahlen spielen Fachwissenschaftliches Seminar"—  Präsentation transkript:

1 Mit Zahlen spielen Fachwissenschaftliches Seminar
Prof. Dr. R. Hochmuth Referentinnen: Nina Fiethen, Christiane Grundkötter und Tanja Przyklenk Universität Kassel WiSe 2005/ 2006

2 Gliederung Regeln und Muster - Spielereien mit Ziffern
Stellenwertsysteme Ursprung, Idee, Umwandlung und Rechnen Spielereien für den Alltag

3 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Erläuterung des Themas: Innermathematische Entdeckungen mathematische Muster erkennen und mit Zahlen spielen Eigenaktive Durchdringung vertrauter Kenntnisse über Zahlen

4 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
ANNA- Zahlen Finde den Fehler: Wie wäre die Aufgabe richtig? Was fällt auf?

5 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Definition von ANNA- Zahlen: Es sind vierstellige Zahlen „Zu je zwei verschiedenen Ziffern lassen sich genau zwei ANNA- Zahlen bilden“ Aufgabe: Versuche durch das Berechnen von weiteren Differenzen von ANNA - Zahlen noch zwei andere Ergebnisse herauszufinden! Dividiere jedes Ergebnis durch 891!

6 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Erläuterung an Hand der Stellenwerttafel, mit dem Beispiel 3443: T H Z E ●●● ●●●● 900 - 9 ______ 900 ______ - 9 ______ 891

7 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Weitere Zahlenmuster: NANA- Zahlen - 4545 909 AABB- Zahlen - 2233 1089

8 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Muster bei der Addition Löse folgende Aufgaben: Welches Muster kannst du entdecken?

9 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
„Warum funktioniert das?“

10 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Regeln zur Multiplikation Beispiel, 5·8: 1.Regel 50 Setze hinter die kleinere Ziffer eine 0, Ziehe die größere Zahl von 10 ab und multipliziere den Rest mit der kleineren Zahl, das Ergebnis wird nun vom Zehnfachen der kleineren Zahl abgezogen. 50 - (5· ) (10-8) =40

11 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Algebraische Formeln Zur 1. Regel: a·b = a·10 - (a · (10 - b) ) = a∙10 – (a∙10 – a ∙ b) = a∙10 - a∙10 + a∙b = a∙b

12 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
8 5 3 Addiere die beiden Ziffern schriftlich und notiere nur die Einerziffer vom Ergebnis, Multipliziere die jeweiligen Reste, die beim Subtrahieren der Ziffern mit 10 herauskommen und schreibe wie folgt das Ergebnis neben die vorhergehende Rechnung. Sollte bei der Multiplikation eine Zahl mit zwei Ziffern herauskommen, so addiere die erste Ziffer zu der bereits aufgeschriebenen. 8.2 5.5 40

13 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Algebraische Formeln Zur 2. Regel: a·b = 10·(a+b-10)+(10-a) ·(10-b) = 10·a+10b-100+( a -10b +a∙b) = 10·a+10b a -10b +a∙b = a·b

14 Muster bei der Multiplikation
77∙ ∙ ∙52 Dadurch, dass man einen der beiden ursprünglichen Faktoren verdoppelt, verdreifacht, …wird auch das Ergebnis verdoppelt, verdreifacht. 77∙39 2370 693 3003 77∙38 2310 616 2926 77739

15 Andere Muster 111∙ = 1111∙ = 11111∙ = 111111∙ = Hier kann man das Ergebnis von vorne nach hinten und andersrum lesen.

16 Spielereien mit Zahlen
„Immer 1089“ Wir suchen uns eine dreistellige Zahl, deren Ziffern nicht alle gleich sind. Differenz der Umkehrzahl bilden Dazu die Umkehrzahl des Ergebnisses addieren Nullen berücksichtigen

17 Spielereien mit Zahlen

18 Spielereien mit Zahlen
Begründung: Im ersten Schritt kommen bei der Differenz nur Zahlen in Frage, bei denen die Zehnerziffer, sowie die Summe der Einer- und Hunderter Ziffer jeweils 9 betragen. (099,198,297,…,891) Im zweiten Schritt entsteht in der Zehnerspalte ein Übertrag, der zu dem Ergebnis 1089 führt.

19 Spielereien mit Zahlen
912 Zehnerziffer, sowie 693 Summe der Einer- und +396 Hunderterziffer ergibt 9 1089 Übertrag in der Zehnerspalte 1

20 Ursprung des Ziffernrechnens
Die griechische Mathematik (3.Jh.v.Chr.) nutze kein Stellenwertsystem sondern ein alphabetisches Ziffernsystem

21 Aus Müller, Steinbring, Wittmann: „Arithmetik als Prozess“ S. 24

22 Welche Zahl verbirgt sich hinter diesen Buchstaben?
y = p = h = 788 yph

23 Welche Zahl verbirgt sich hinter diesen Buchstaben?
´asld ´a = s = l = d = 1234 Ein Apostroph vor einem Buchstaben bedeutet: mal 1.000

24 Die Idee der Stellenwertsysteme
Die Anzahl dieser Objekte abzuzählen erweist sich als schwierig. Eine Strichliste ist hierbei sinnvoll. ///////////////////////////

25 Die Idee der Stellenwertsysteme
Es ist übersichtlicher die Objekte zu bündeln. Z.B. in Fünfer-päckchen. //// //// //// //// //// /// = 28 Striche

26 Die Idee der Stellenwertsysteme
Nun kann man je 5 Bündel zu einem großen Bündel mit 5∙5 = 52 = 25 zusammenfassen. //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// /// 2∙52 +1∙5 +3 =58 Dieses Bündeln ist die Idee des Stellenwertsystems

27 Die Idee der Stellenwertsysteme
„Die Anzahl g der Objekte pro Bündel heißt Basis. Unser Stellenwertsystem hat die Basis 10.“ 1547 =1∙ ∙100 +4∙10 +7 =1∙ ∙ ∙ ∙100 T H Z E 1 5 4 7

28 Die Idee der Stellenwertsysteme
Im 5er-System ist die Basis 5. Der mögliche Rest bei der Division durch g ist 0, 1, 2, 3, 4. 58 = 2∙52+1∙51+3∙10= 213(5) 53 52 51 10 2 1 3

29 Die Idee der Stellenwertsysteme
Wichtig: Die jeweilige Basis wird in Klammern als Index hinzugefügt (außer im 10er-System) Ziffernweise lesen, sonst würde das zu einer Verwechslung mit dem 10er-System führen

30 Die Idee der Stellenwertsysteme
Ausmessen Wir wollen nun das Gewicht 58 = 213(5) auf dieser Waage darstellen.

31 Die Idee der Stellenwertsysteme
Beginnend mit dem größten Gewicht Nächst kleinere Bis hin zum kleinsten 2∙25 + 1∙5 + 3∙1 = 58 = 213(5) 58 = 2∙52+1∙5+3 = 213(5)

32 Umwandeln in verschiedene Systeme
Was bedeutet 125? 125 = 12 · 12 = 1 · 1 = 0 ·

33 Umwandeln in verschiedene Systeme
Wie stelle ich die Zahl 350 im 6er System dar? 350 = 58 · 6 + 2 58 = 9 · 6 + 4 9 = 1 · 6 + 3 1 = 0 · 6 + 1 350(10) = 1342(6)

34 Stelle 205 im 7er System dar 205(10) = 412(7) 205 = 29 · 7 + 2
29 = 4 · 7 + 1 4 = 0 · 7 + 4

35 Umwandeln mit dem Horner-Schema
Was ist 21303(5) im 10er System? 10 55 290 1450 ·5 2 11 58 290 1453 21303(5) = 1453(10)

36 2 1 3 0 3 denn: (2·5 ( ( +1) ·5+3)· 5+0)· 5+3 Horner-Schema
21303(5) = 1453(10) 10 55 290 1450 ·5 2 11 58 290 1453 denn: (2·5 ( ( +1) ·5+3)· 5+0)· 5+3 =((2·5² +1·5+3)·5+0)·5+3 =(2·5³+1·5²+3·5+0)·5+3 = 1453(10) =2·54+1·5³+3·5²+0·5+3 =2·54+1·5³+3·5²+0·5+3

37 Umwandeln in verschiedene Systeme
Was ist 21443(5) im 10er System? 2 · · · · · 50 = 2· · ·25 + 4·5 + 3·1 = = 1498 21443(5) = 1498(10)

38 . Rechnen im 5er System 322 Zur Erinnerung: + 43 1 1 420
+ 43 Zur Erinnerung: 5(10) schreibt man als 10(5) 6(10) schreibt man als 11(5) 1 1 420 Zur Kontrolle: 322(5) = 3·5² + 2·5 + 2·1 = 87(10) . 43(5) = ·5 + 3·1 = 23(10) 420(5) = 4·5² + 2· = 110(10)

39 Das 1x1 wird wieder anspruchsvoll
Rechnen im 5er System Das 1x1 wird wieder anspruchsvoll • 1 2 3 4 10 13 22 100 Zur Erinnerung: 5(10) schreibt man als 10(5) 10(10) schreibt man als 20(5) 6(10) schreibt man als 11(5)

40 Rechnen im 5er System • 1 2 3 4 10 11 13 20 14 22 30 31 40 100

41 Warum piepsen Ladenkassen?
Produkt- nummer Herkunfts-land Prüfziffer Hersteller Die Prüfziffer wird so gewählt, dass die Prüfsumme ein Vielfaches von 10 ergibt.

42 Berechnen der Prüfsumme:
4•1 + 9•3 + 0•1 + 2•3 + 0•1 + 3•3 + 0•1 + 1•3 + 4•1 + 5•3 + 6•1 + 3•3 + 7•1 =90

43 Fehlende Ziffer wird mit 3 multipliziert.
Welche Ziffer passt? EAN: _ 1 Prüfsumme: 47 ( x· ) Fehlende Ziffer wird mit 3 multipliziert. Prüfsumme :50

44 Welche Ziffer ist falsch?
2 EAN: Prüfsumme: 114 ( ) Prüfsumme: 110 ( ·1) oder Prüfsumme: 120 (5+2· )

45 Werden alle Fehler von der Kasse erkannt?
Wird eine Ziffer falsch gelesen, so verändert sich die Prüfsumme um eine Zahl (1-9) oder um das Dreifache einer Zahl (1-9). Die Prüfsumme ergibt dann nicht mehr ein Vielfaches von 10. => Fehler wird erkannt

46 Nicht jeder Fehler wird von der Kasse erkannt
Das Vertauschen von zwei Ziffern mit gleichen Multiplikatoren wird nicht erkannt. Fehler die sich zu Vielfachen von 10 ergänzen, werden von der Ladenkasse nicht erkannt.

47 Spielereien im Alltag Aus Müller, Steinbring, Wittmann: „ „Arithmetik als Prozess“ “ S. 195

48 Spielereien im Alltag

49 Erklärung: = 1 = 2 = 4 = 8 Karten Karten Karten
Bleistift = 1 (1) Fahrrad = 6 (2,3) Dia = 11 (1,2,4) Briefkasten = 2 (2) Bücher = 7 (1,2,3) Zeitung = 12 (3.4) Hammer = 3 (1, 2) Sanduhr = 8 (4) Auge = 13 (1,3,4) Satellit = 4 (4) Maus = 9 (1,4) Peperoni = 14 (2,3,4) Stern = 5 (1,3) Bild =10 (2,4) Herz = 15 (1,2,3,4)