Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern - eine Einführung

Präsentation zum Thema: "Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern - eine Einführung"—  Präsentation transkript:

1 Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern - eine Einführung
Prof. Dr. Horst W. Hamacher Fachbereich Mathematik, Universität Kaiserslautern Seite 1

2 Was ist Wirtschaft? Da, wo man seine Cola, sein Bier ... trinkt, und ... oder Bezeichnung für alle Aktivitäten und Einrichtungen, die der Produktion, Distribution und Konsumtion von Gütern und Dienstleistungen dienen. Das Ziel dieser Aktivitäten besteht nach der gängigen Volkswirtschaftslehre ganz allgemein darin, über knappe Mittel (RessourcenHWH) so zu verfügen, dass sich die menschlichen Bedürfnisse befriedigen lassen. "Wirtschaft", Microsoft® Encarta® 99 Enzyklopädie. © Seite 2

3 Was ist Mathematik? Das, was man in der Schule lernt.
Untersuchung der Beziehungen zwischen Mengen, Größen und Eigenschaften sowie der logischen Operationen, aus denen unbekannte Mengen, Größen und Eigenschaften hergeleitet werden können. "Mathematik", Microsoft® Encarta® 99 Enzyklopädie. © Seite 3

4 Was ist Wirtschaftsmathematik?
Einsatz von mathematischen Methoden zur Lösung von wirtschaftlichen Problemen Beispiele: Problem Ressource Mathematische Methoden Lagerhaltung Platz, Zeit Simulation, Stochastik psb Nahverkehr Zeit, Umwelt Graphentheorie, Flußprobleme ÖV Krebsbestrahlung Gesundheit Multikriterielle Optimierung Krebs Notfallplanung Leben Standorttheorie Tirol Transporte Platz, Geld Ganzzahlige Optimierung IP Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern KL Seite 4 andere Mathe

5 Was ist Wirtschaftsmathematik?
Einsatz von mathematischen Methoden zur Lösung von wirtschaftlichen Problemen Beispiele: Problem Ressource Mathematische Methoden Lagerhaltung Platz, Zeit Simulation, Stochastik psb Nahverkehr Zeit, Umwelt Graphentheorie, Flußprobleme ÖV Krebsbestrahlung Gesundheit Multikriterielle Optimierung Krebs Notfallplanung Leben Standorttheorie Tirol Transporte Platz, Geld Ganzzahlige Optimierung IP Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern KL Seite 5

6 Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in KL?
60% % % Seite 6 zurück

7 Notfall- rettung durch Hubschrauber E2 E1 Seite 7 zurück

8 Mittelpunkt zwischen E1 und E2:
Seite 8 zurück

9 Notfall- rettung durch Hubschrauber Seite 9 zurück

10 Mittelsenkrechte zwischen E1 und E2:
Seite 10 zurück

11 Der beste Standort eines Hubschraubers für 3 Einsatzorte :
MS23 E2 MS12 E3 E1 MS13 Seite 11 zurück

12 E2 E3 E1 Seite 12 zurück

13 Library of Location Algorithms
Standorttheorie Verbotene Gebiete Barrieren Multi- kriteriell Wege, Kreise Distanz- maße Library of Location Algorithms LOLA Industrie- anlagen Notfall- Roboter Buslinien Krebs- therapie GIS SAP IBM Kommunen Verkehrsverbünde DKFZ Arcview Markant Krankenhäuser ptv Standortanwendungen Seite 13 zurück

14 Parallellager- und Materialflußplanung
Parallellager mit Durchfluß von Transporteinheiten (TE) pro Stunde , Pirmasens, Germany Seite 14 zurück

15 Erwartete Anzahl aktiver Stockwerke
Annahme: n = Anzahl der Stockwerke m = Anzahl von Lagerplätzen/Stockwerk nT= Anzahl der TEen (unabhängig, gleichförmig verteilt, nT>n) Rechentest: Man kann nur 70% bis 90% aktiver Stockwerke erwarten (in der Praxis) Seite 15 zurück

16 Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -1-
Ziel: Gleichmäßige Verteilung auf Ebenen Gleichmäßige Auslastung der Kommissionierplätze Von den n! vielen möglichen Permutationen können (m+1)!(m+1)n-m-1 realisiert werden Seite 16 zurück

17 Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -2-
Kosten der Plazierung von TE i auf Ebene j z.B. #TE derselben Farbe TE i auf Ebene j s.t. Seite 17 zurück

18 Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -3-
Die zulässigen Permuationen entsprechen zulässigen Matchings in einem bipartiten Graphen Seite 18 zurück

19 Systemoptimierung durch (dynamische) Netzwerkflußprobleme
Hubrahmen Materialflußnetzwerk Seite 19 zurück

20 IP Model für Wabenproblem
Minimiere Abweichung von alten Tarifen: neuer (k,l) Wabentarif alter (i,j) Entfernungstarif s.t. NP-schweres Problem einfach, falls Zonen gegeben sind Zonen können unzusammenhängend sein. Zone k - Haltestelle i Zuordnung Seite 20 zurück

21 Bestrahlungstherapie
Applikation von hochenergetischer Strahlung zur Tumorkontrolle Tumorzerstörung Seite 21 zurück

22 Problemstellung Seite 22 zurück

23 InverseTherapieplanung
Berechnung der physikalischen Setup-Parameter aus den Dosisvorgaben Seite 23 zurück

24 3-stufige Vorgehensweise
Phase I: Wahl der Einstrahlgeometrie Standortproblem Phase II: Bestimmung der Intensitätsprofile multikriterielles Problem Phase III: Durchführung der Bestrahlung Ganzzahliges Problem Seite 24 zurück

25 Phase I: Einstrahlgeometrie
Isozentrisches Modell: Wahl von N Einstrahlrichtungen Wahl eines Isozentrums Seite 25 zurück

26 Phase II: Intensitätsprofile
Ansatz Diskretisierung Approximation der Dosisverteilung Seite 26 zurück

27 K-kriterielles Problem
K Organe von Interesse ( Ziel, Risiken ) „maximale Dosisabweichung“ tk = tk( x ) für Intensität x  0 ( Organ k=1,..,K ) „K-kriterielle lineare Optimierungsaufgabe“ t Min, t Min, .. , tK Min ( es existiert i. A. keine „Nullösung“ ) Seite 27 zurück

28 Ergebnisdatenbank Generierung einer Datenbank mit Setup-Parametern
Visualiserungen Isodosen DVHs t-Vektoren Nachbarschaftsstruktur intelligenter Online-Suchhilfe Isodosen: Seite 28 zurück

29 Durchführung: Multileaf Collimator
Idee: Benutze dünne Metall“blätter“, hoch genug um die Bestrahlung abzublocken 5-7cm 0.5-1cm Seite 29 zurück

30 Linke Blätter Rechte Blätter Seite 30 zurück

31 Patientenblick Seite 31 Quelle: Mitsubishi zurück

32 Multileaf Collimators: Mechanik
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33 Multileaf Collimator Ein Beispiel
Maximale Größe des Bestrahlungsfeldes Setup für 1. Zeiteinheit 1 eine Zeile der ersten Reliefmatrix + Setup für 2. Zeiteinheit 1 eine Zeile der zweiten Reliefmatrix 1 2 eine Zeile der Intensitätsmatrix Seite 33 zurück

34 Verschiedene Aufteilung in Reliefmatrizen
Beam-on Zeit: 16 Setups : 4 Beam-on Zeit: 5 Setups: 2 Seite 34 zurück

35 Mathematische Modellierung: Ganzzahlige Optimierung
Lijt=2 Rijt=6 Kanal i zur Zeit t: ... ... 1 2 5 6 7 Spaltennr. j yijt = Seite 35 zurück

36 Ganzzahlige Variable beschreiben MLC:
In jedem Kanal und zu jeder Zeit gibt es ein linkes und ein rechtes Blatt: Seite 36 zurück

37 Ganzzahlige Variable beschreiben MLC:
Kollisionen zwischen benachbarten Blätterpaaren werden ausgeschlossen: Seite 37 zurück

38 Ganzzahlige Optimierung: Formulierung I
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39 Beispiel: Transport von Gefahrengütern
Wieviel Einheiten eines Gutes 1 bzw. 2 kann man transportieren, wenn pro Einheit: Gut 1 Gut 2 Profit: (Mill. Euro) Kapazität: (Platzeinheiten) Gefahrenwert: ( -10 bis +10 Skala) (additiv) Dabei Gesamtkapazität: 14 Gefahrenhöchstwert: 36 Seite 39 zurück

40 Mathematisches Modell Ganzzahliges, Lineares Programm
pro Einheit: Gut 1 Gut 2 Gesamt Profit: (Mill. ECUs) Kapazität: (Platzeinheiten) 4 wissensch. Wert: ( -10 bis +10 Skala) 36 Maximiere x1 + 7x2 unter den Nebenbedingungen x1 + 4x2 < 4 9x1 - 4x2 < 36 Vorzeichenbedingungen x1,x2 > 0 Ganzzahligkeitsbedingungen x1,x2 ganzzahlig Seite 40 zurück

41 Lösung der Relaxation Zielfunktion: Optimallösung ohne Ganzzahligkeit:
Maximiere x1 + 7x2 unter den Nebenbedingungen 1x1 + 4x2 < 4 9x1 - 4x2 < 36 Vorzeichenbedingungen x1,x2 > 0 Ganzzahligkeitsbedingungen x1,x2 ganzzahlig Lösung der Relaxation 2 1 4 3 x1 x2 9x1- 4x2 < 36 x1+ 4x2 < 14 Optimallösung ohne Ganzzahligkeit: x1*=5, x2*=2.25 Zielfunktionswert: 2x1 + 7x2 =25,75 Zielfunktionswert: 2x1 + 7x2 =8 Zielfunktion: 2x1 + 7x2 = 0 Seite 41 zurück

42 Partition des Problems in zwei Teilprobleme
x2 9x1- 4x2 < 36 x1+ 4x2 < 14 x2* > 3 3 x1*=5, x2*=2.25 2 x2* < 2 1 x1 1 1 2 3 4 Seite 42 zurück

43 Gomory Schnitt 117x1 + 108x2 < 788 zurück x2 9x1- 4x2 < 36
Zielfunktion: 2x1 + 7x2 Seite 43 zurück

44 Ziel: Finde eine Beschreibung der
konvexen Hülle der ganzzahligen Lösungen x2 9x1- 4x4 < 36 x1+ 4x4 < 14 3 2 Zielfunktion: 2x1 + 7x2 =25 1 x1 1 1 2 3 4 Zielfunktion: 2x1 + 7x2 Seite 44 zurück

45 THE END Seite 45 zurück