Gleichungen: Grundwissen

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1 Gleichungen: Grundwissen

2 Wozu braucht man Gleichungen?
Eine Gleichung funktioniert vom Prinzip her wie eine Waage. Auf eine Seite der Waage legt man das unbekannte Gewicht ( X ), auf die andere Seite so viele bekannte Gewichte, bis die Waage im Gleichgewicht ist. Das unbekannte Gewicht hat dann den gleichen Wert wie die Gewichte auf der anderen Waagseite. Mit einer Gleichung kann man also unbekannte Werte ermitteln Ein X muss dazu am Ende alleine auf einer Seite stehen! X 2 3 X =

3 Lösen einer Gleichung bedeutet also:
Man muss sich Gedanken machen, wie man eine Gleichung (Waage) schrittweise so verändert (umformt), dass am Ende ein einziges, positives X auf einer Seite der Gleichung (Waage) steht.

4 Wie rechnet man mit Gleichungen?
Grundsätzlich gilt: Man muss beim Umformen (Ändern) von Gleichungen immer alles auf beiden Waagseiten gleichzeitig machen. Beispiel 1: Wenn man von der linken Seite eine „1“ herunternimmt, muss man auch von der rechten Seite eine „1“ herunternehmen ( X muss ja alleine stehen ). Minus bedeutet: Etwas herunternehmen. . In einer Rechnung notiert man das, was man verändern will, hinter der Gleichung. 1 X 1 / - 1 1 1 / - 1 X = X =

5 Wie rechnet man mit Gleichungen?
Beispiel 2: Wenn man die Werte der linken Seite halbieren will, muss man auch die Werte der rechten Seite halbieren Hinweis: X muss ja alleine stehen – auf beiden Seiten ein X herunternehmen geht nicht, aber beide Seiten halbieren, das ist möglich. Halbieren bedeutet: Durch 2 teilen In einer Rechnung notiert man das, was man verändern will, hinter der Gleichung. X 1 1 / : 2 X 1 1 / : 2 2 X = 4 X = 2

6 Achtung! Die Unbekannte ( X ) muss im Ergebnis immer positiv sein!
Die – 2 X und die + 2 X auf der linken Seite heben sich gegenseitig auf, auf der rechten Seite stehen die 2 X nun positiv Dies schafft man, indem man auf beiden Seiten dieser Gleichung + 2 X addiert. Wenn X ein Minus als Vorzeihen hat, muss man zuerst dafür sorgen, dass es positiv wird. = X 10 – 2 X + 2 X = X 10 – 2 X = 4 / + 2 X

7 15 - 2 X = 9 / * (- 1) 15 * (- 1) - 2 X * (- 1) 9 * (- 1) - 15 + 2 X =
X ist nun positiv. Jetzt kannst Du mit dem Umformen der Gleichung beginnen. Dabei muss man die gesamte Gleichung (jedes Glied) mit ( -1 ) multiplizieren. Es gibt noch eine zweite Möglichkeit, ein negatives X umzuwandeln: 15 - 2 X = 9 / * (- 1) 15 * (- 1) - 2 X * (- 1) 9 * (- 1) - 15 + 2 X = - 9

8 Wie das geht, lernst Du bei „Terme“
Gleichungen kommen aber nicht immer so vor, dass man sofort mit dem Umformen beginnen kann. Meistens hat man auf einer (oder auf allen zwei) Seite(n) einen längeren Rechenausdruck (Term), den (die) man zuerst so weit wie möglich zusammenfassen muss. Beispiel: 2* (3 X + 5) = 3 – 2 X * 4 + 7 Wie das geht, lernst Du bei „Terme“ Mathe Übungen