Ist der Geometrieunterricht noch zu retten? Gedanken zum Tagungsthema

Ist der Geometrieunterricht noch zu retten? Gedanken zum Tagungsthema
Lothar Profke Institut für Didaktik der Mathematik Justus-Liebig-Universität Gießen Vortrag zum Einsehen und Herunterladen unter Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Einstieg Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Einstieg: Vortragstitel erklären
Was für eine Frage: Ist der Geometrieunterricht noch zu retten? Niemand möchte den Geometrieunterricht abschaffen. Lehrpläne aller Schularten und Schulformen geben der Geometrie breiten Raum. Bildungsstandards der KMK im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss (Jahrgangsstufe 9) für den Mittleren Schulabschluss widmen 2 von 5 Leitideen der Geometrie (L 2) Leitidee Messen (L 3) Leitidee Raum und Form sowie je 5 der 14 kommentierten Aufgabenbeispiele. Zentrale Orientierungs- und Abschlussarbeiten enthalten zur Geometrie Aufgaben. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Andererseits wurde und wird viel geklagt über den tatsächlichen Geometrieunterricht: Vgl. „alte“ Mathematikmethodiker W. Kusserow, ... Siehe Der Mathematikunterricht Themenhefte zur Geometrie Anlass zur Gründung des AK Geometrie durch K. Meyer Einschlägige Vorträge im AK Geometrie Profke, L in Heidelberg: Brauchen wir einen Geometrieunterricht? Rettung des Geometrieunterrichts durch neues Bemühen? SINUS, SINUS-Transfer Bildungsstandards ... Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Frage meint: Kann tatsächlicher, alltäglicher Geometrieunterricht leisten, was Lehrpläne, Bildungsstandards, ... fordern? Erwartungen an Vortrag Klare Antwort auf die Frage: Nein, weil ... [überzeugende Begründung] Ja, falls ... [erforderliche Maßnahmen] Wenn Ja, dann konkrete Antworten etwa für kommenden Dienstag, 3. Stunde, Klasse 7 R zum Thema Winkelsumme in Dreiecken Folie 77 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Lehren aus der Vergangenheit: Geometrieunterricht verbessern zu wollen, ist ein mühsames und langwieriges Geschäft, wenn es überhaupt gelingt. Gliederung Einstieg Gedanken zum Tagungsthema Bildung und Unterricht Was sollten wir tun? Eine Alternative? Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Gedanken zum Tagungsthema
Vorbemerkung Fazit Analyse des Ausschreibungstextes Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Gedanken zum Tagungsthema
Vorbemerkung Dieser Abschnitt wirkt vielleicht wie eine (überhebliche) Schelte. Dann sind nur nicht Anwesende gemeint, mit einer Ausnahme: Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Gedanken zum Tagungsthema: Fazit
Fazit (die Schelte) Absichten der folgenden Analyse des Ausschreibungstextes: Hinweisen auf Mängel im Begrifflichen Viele Begriffe der Mathematikdidaktik sind unklar. Nach mehrfachem Gebrauch glaubt man, ihre Bedeutung erfasst zu haben und diese mit anderen Fachkollegen zu teilen. So entsteht ein Gemeinschaftsgefühl ohne sichere Diskussionsgrundlage, und eine solche Grundlage wird nicht vermisst. Vgl. die analoge Situation in Religionskreisen Mit solchen Begriffen angestellte Überlegungen verlieren sich im Ungefähren, ohne dass man dies bemerkt. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Gedanken zum Tagungsthema: Fazit
Warnen vor „Moden“ in der Mathematikdidaktik Auch in der Mathematikdidaktik entwickeln „Moden“ eine große Anziehungskraft. Output- vs. Input-Orientierung, Konstruktivismus, Handlungsorientierung, ... Neumodisches scheint besser zu sein als das Alte, was im Einzelfall bereits als eine didaktische Rechtfertigung zählt. Belege für diese Vorwürfe? Nicht wenige mathematikdidaktische Veröffentlichungen aus jüngster Zeit. Folie 25 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Gedanken zum Tagungsthema: Ausschreibungstext analysieren
Analyse des Ausschreibungstextes Thema: Bildung – Standards – Bildungsstandards Bedeutung der Bindestriche? Bildung minus Standards = Bildungsstandards Bildung : Standards = Bildungsstandards Bedeutung der Begriffe? Einigermaßen klar: Bildungsstandards wegen der KMK-Vereinbarung Was meinen Bildung und Standards? gemessen an Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Wende von der so genannten (!!!) Input- zur Outputorientierung Bloße Wortspielerei: ... so genannten ... Auch früher hatten Lehrer eine recht genaue Vorstellung davon, was Schüler schließlich gelernt haben sollten. Forderungen der Bildungsstandards sind zunächst nur Visionen, inputgesteuert durch detaillierte Lehrpläne. Lehrer halten sich eher an Lehrpläne und an deren Auslegungen in Schulbüchern. Ministerin A. Schavan forderte am für ganz Deutschland einheitliche Schulbücher, um besser die Bildungsstandards durchsetzen zu können. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Fragen an das Konzept der Bildungsstandards Wie sind die Bildungsstandards zu verwenden? Beschreibung eines Zustands im Bildungswesen? „Das ist bei uns Standard.“ Checkliste für Unterrichtseinheiten, … beim Bildungs-TÜV? Anzustrebende Vision? Taugen die Bildungsstandards als Checkliste? Sondern sie bildungsunwirksamen Unterricht aus? Wer darf Standards setzen und erlassen? Wodurch sind die Experten legitimiert? Wer darf mitreden? Muss man den Empfehlungen der Experten folgen? Zunächst meine Fragen: Folie 19 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Nun der Ausschreibungstext: Eignet sich der Rahmen, welchen die Bildungsstandards dem Geometrieunterricht setzen, Bildungspotentiale der Geometrie zu entfalten? An welche Geometrie ist dabei gedacht? Rahmen der Bildungsstandards sehr weit, aber stark von traditionellen Vorstellungen zum gymnasialen Geometrieunterricht geprägt. Welche Bildung ist gemeint? Allgemeinbildung im Sinne der Pädagogik? auch für Hauptschulabsolventen? Elitäre Auffassung des Bildungsbürgertums? Bildung als Summe vieler Bildungspäckchen: Ein Gebildeter hat Goethes Urfaust gelesen, kennt die beiden Strahlensätze, und noch vieles mehr. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Konsens über Unverzichtbares des Geometrieunterrichts Dieser Konsens wird nicht hinterfragt. Didaktische Rechtfertigungen für den Konsens? Neuerdings gelten Schätzaufgaben als ganz wichtig. Weshalb eigentlich? Sind die Vorgaben der Bildungsstandards in sich didaktisch und fachlich schlüssig? An welche Fächer richtet sich die Frage? „Harte“ Kriterien der Mathematik (Korrektheit, ...) lassen sich nicht anwenden. „Weiche“ Kriterien (mathematisches Denken, ...) passen wegen der Vagheit der Bildungsstandards immer. Besitzt die Mathematikdidaktik passende Maßstäbe? Konstruktivismus, genetisches Prinzip, ...? Sind diese allgemein anerkannt? Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Gleiche Ziele des Geometrieunterrichts für alle Schulformen? Möglich nach dem Grundsatz differenzierenden Unterrichts Alle Schüler sollen ... erreichen und einige Schüler außerdem noch ... Anlässe für die Frage: In den 1970 richtete sich der Mathematikunterricht an Haupt- und Realschulen oft nach dem an Gymnasien. Mathematikdidaktiker an Pädagogischen Hochschulen und Universitäten hatten Mathematik (nur) für das Diplom oder das „höhere“ Lehramt gelernt. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Welche Ziele des Geometrieunterrichts sind im Rahmen von Outputorientierung schlecht ansteuerbar, weil sie langfristig angelegt und deshalb nicht eindeutig als Folgen von Unterricht beobachtbar sind? Alle Ziele, die zu einer Allgemeinbildung gehören. Nur sehr spezielle Lehrziele kann man eindeutig einem bestimmten Unterrichtsfach zuordnen. Solche Ziele anzustreben, ist Aufgabe vieler Schulfächer, die hierfür vielleicht besser geeignet sind als der Geometrieunterricht. Folgt aus der Langfristigkeit eine schlechte Ansteuerbarkeit? Eine Hauptaufgabe der Mathematikdidaktik: Wege angeben zum Ansteuern allgemeiner, nur langfristig erreichbarer Lehrziele Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Welche Konzeptionen von Geometrieunterricht erlauben die Bildungsstandards? Was meint Konzeption? Globale und lokale Stofforganisation? Hintergrundstheorie? Unterrichtskultur? Unterrichtsformen, Aktionsformen des Lehrers und von Schülern Schränken Bildungsstandards die Konzeption ein? Die vorkommenden Begriffe lassen sich sowohl weit als auch eng auslegen, abhängend von persönlichen Vor-Urteilen. Folie 13 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Bildungsstandards der KMK im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss, Druckfassung S. 6 f. 1 Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung Mathematikunterricht trägt zur Bildung der ... Schüler bei, indem er ihnen insbesondere folgende Grunderfahrungen ermöglicht, die miteinander in engem Zusammenhang stehen: technische, natürliche, soziale und kulturelle Erscheinungen und Vorgänge mit Hilfe der Mathematik wahrnehmen, verstehen und unter Nutzung mathematischer Gesichtspunkte beurteilen Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Symbolen, Bildern und Formeln in der Bedeutung für die Beschreibung und Bearbeitung von Aufgaben und Problemen inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen in der Bearbeitung von Fragen und Problemen mit mathematischen Mitteln allgemeine Problemlösefähigkeit erwerben. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

... Dazu bearbeiten sie Probleme, Aufgaben und Projekte mit mathema-tischen Mitteln, lesen und schreiben mathematische Texte, kommuni-zieren über mathematische Inhalte u. a. m. Dies geschieht in einem Unterricht, der selbstständiges Lernen, die Entwicklung von kommuni-kativen Fähigkeiten und Kooperationsbereitschaft sowie eine zeitge-mäße Informationsbeschaffung, Dokumentation und Präsentation von Lernergebnissen zum Ziel hat. Aus Inhalt und Aufbau der Bildungsstandards können Anhaltspunkte für die Gestaltung des Mathematikunterrichts abgeleitet werden, die an den Lernprozessen und Lernergebnissen der ... Schüler orientiert sind und nicht allein von der Fachsystematik der mathematischen Lerninhalte abhängt. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Unterrichtssequenzen des Geometrieunterrichts, die zu den in den Bildungsstandards geforderten Kompetenzen beitragen? Plausible Negativbeispiele: Alle Kompetenzen der Bildungsstandards enthalten: Aufgaben selbstständig planen, ausführen, kontrollieren. Lehrer behindern die Ausbildung solcher Fähigkeiten, falls sie Schüler dauernd in kleinen Schritten führen und alleine über Richtig / Falsch entscheiden, auch mittels Arbeitsblättern. Aufgabe aus einem Schulbuch Wie hängt der Umfang eines Kreises von seinem Durchmesser ab? Miss dazu für verschiedene kreisförmige Dinge ( ... ) den Durchmesser d und den Umfang u. Trage die Werte in eine Tabelle ein und stelle die Funktion d  u in einem Koordinatensystem dar. Werte die Messreihe aus und ermittle eine Formel für die Berechnung von u aus d. Ein Schulbuch ersetzt nicht die Unterrichtsvorbereitung. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Nicht als Kompetenz in den Bildungsstandards formuliert: Interdisziplinär, ganzheitlich denken und handeln; Aufträge genau, zuverlässig, ausdauernd erledigen Mathematikunterricht mit „Schubladendenken“, nachlässigen Tafelbilder, schlampiger Heftführung unpräzisen Formulierungen bei Merksätzen ... leitet nicht dazu an. Positivbeispiele? Siehe weiter unten Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Wie gut lassen sich geometrische Kompetenzen in zentralen oder lokalen Prüfungen erfassen? Zentrale (schriftliche) Prüfungen sind produktorientiert und berücksichtigen nicht lokalen Unterricht, welcher die Anforderungen von Aufgaben bestimmt. Lokale (schriftliche und mündliche) Prüfungen dagegen? einschließlich täglicher Beobachtung der Schüler Passt der Einsatz von Geometriesoftware, die den Unterricht divergenter macht, zu zentralen Prüfungen? Macht DGS den Geometrieunterricht wirklich divergenter? Man kann DGS in lokalen Prüfungen einsetzen, also auch in zentralen, ebenso wie andere Rechenhilfsmittel. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Welche handfesten Erkenntnisse zum Lernen von Geometrie gibt es bisher aus PISA, Zentralabitur, Lernstandserhebungen? Nicht sehr ermutigende: Vgl. die Ergebnisse der Abschlussarbeiten Mathematik für die Bildungsgänge Hauptschule und Realschule in Hessen. Klagen der Abnehmer von Schulabsolventen Folie 9 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Bildung und Unterricht
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Definition: Guter Geometrieunterricht Guter Geometrieunterricht erreicht bewusst gesetzte Lehrziele und folgt nicht einem heimlichen, ungewollten Lehrplan. Welche Lehrziele soll man setzen? Guter Geometrieunterricht muss zur Allgemeinbildung beitragen. In welchem Sinne? Was meint Allgemeinbildung? Wissen, Können, Willenskraft, Charakterfestigkeit, ..., jedenfalls mehr, als man bei H. W. Heymann, H. Winter und anderen findet, was kein Vorwurf sein soll, und mehr, als die Bildungsstandards vorschreiben. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Eingeschränkte Auffassungen Bildung = Ausbildung Wie gut sie war, zeigt sich in Abschluss- oder in Eingangsprüfungen (auch bei TIMSS, PISA, ...). Bildung = Schulbildung Ein Akademiker ist gebildeter als ein Handwerker. Dagegen: Bildung = Allgemeinbildung Bildendes def= Bleibendes nach dem Vergessen gelernter Fakten also für den Mathematikunterricht: oft schlechte Erinnerungen. Umschreibung recht brauchbar für den Bildungseffekt von Mathematikunterricht, weil viele Menschen fast alles daraus schnell vergessen. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Was meint allgemein bei (Allgemein-) Bildung? Bildung für alle Schüler, also zugänglich für alle Schüler Vielseitigkeit der Bildung Gesamte Persönlichkeit eines Schülers erfassend, also nicht nur Sachkompetenzen in gewissen Bereichen, sondern auch Methodenkompetenz(en), Sozialkompetenz, Selbstkompetenz, ..., also auch moralisch-ethische, musisch-ästhetische, körperliche, ... (Aus-) Bildung Frei nach Heymann, H. W.: Allgemeinbildung und Mathematik. Reihe Studien zur Schulpädagogik und Didaktik Band 13. Weinheim/Basel: Beltz 1996 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Bildung als Idee, Prozess, Produkt Bildung als (eine) Idee (neben anderen), oft abhängend vom Gesellschaftssystem, meistens nicht von allen Betroffenen geteilt. Antwort(en) auf die Frage: Was macht den Menschen zum Menschen? Bildung als Produkt und Besitz zeigt sich in Bildungswissen und in Bildungsabschlüssen. Bildung als Prozess ist eine Auseinandersetzung mit und Aneignung von Welt, die Bildung als ein Produkt hervorbringen können, wenn sie im Geist einer Idee von Bildung verlaufen. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Allgemeinbildung als Aufgabe (allgemeinbildender) Schule: Unterricht soll eine Bildungsidee als Prozess umsetzen, um Bildung bei Schülern hervorzubringen. Antwort(en) auf die Frage: Was und wie soll an Schulen unterrichtet werden? Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Allgemeinbildung und Unterricht Es gibt keine direkte Verbindung. Bildungsideen konkretisieren durch Bildungskonzepte Aus einer Idee lassen sich keine Konzepte ableiten. Aber: Die Idee beeinflusst Konzepte. Passt ein Konzept zur Idee? Mehrere Konzepte können mit derselben Idee verträglich sein. Erst im tatsächlichen Mathematikunterricht entscheidet sich, in welchem Ausmaß dieser allgemeinbildend ist. Allgemeinbildender Mathematikunterricht verlangt eine geeignete Unterrichtskultur. Diese ist nicht eindeutig bestimmt, sondern hängt ab von Besonderheiten des Lehrers, der Schüler, ... Folie 39 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Idee Bildung Was macht den Menschen zum Menschen? Konzepte der Idee Konzept verträgt sich mit und unterstützt Idee. Allgemeinbildung durch Unterricht in öffentlichen Schulen durch Unterricht in Privatschulen durch häusliche Unterweisung Allgemeinbildungskonzepte sind zunächst nur Ideen: Was soll man lehren? mögliches Konzept Aufgaben öffentlicher Schulen: Lebensvorbereitung Anleiten zum kritischen Vernunftgebrauch Erziehen zur Verantwortungsbereitschaft Einüben von sozialem Verhalten Entfalten der Schülerpersönlichkeit Zunächst nur eine Idee, was Schule leisten soll. Konkretisieren Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Aufgaben der Schule übertragen an Schulfächer Allgemeinbildungsidee als kritischer Maßstab mögliches Konzept Ziele und Aufgaben des Mathematikunterrichts Zunächst nur Ideen von Schulfächern Ziele und Aufgaben von Sprachunterricht mögliche Konzepte ... Lehrpläne Bildungsstandards Orientierungsarbeiten, Abschlussprüfungen Schulbücher SINUS (-Transfer) TIMSS, PISA, ... Ebenfalls nur Ideen von einem Schulfach Umsetzen solcher Ideen erst im tatsächlichen Unterricht: Wie gehen Lehrer und Schüler mit den Vorgaben und Vorschlägen um? Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Ein bestimmtes Bildungskonzepte kann zu ganz verschiedenen Bildungsideen passen. KMK-Bildungsstandards hätten auch in der DDR entstehen können, weil sie sich auf mathematische Kompetenzen beschränken. Akademie der Pädagogischen Wissenschaften der DDR (Hrsg.): Methodik Mathematikunterricht. Berlin: Volk und Wissen 1975, Kap. 1 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Geometrieunterricht an öffentlichen Schulen Guter Geometrieunterricht erreicht bewusst gesetzte Lehrziele. Für öffentliche Schulen bestimmt die Gesellschaft die Ziele über gewählte Volksvertreter. (Rohe) Konkretisierung der Ziele durch Lehrpläne, zugelassene Schulbücher, Bildungsstandards, Abschlussprüfungen. Die meisten Lehrer bemühen sich, diesen Rahmen auszufüllen, und kümmern sich kaum um Fort- und Rückschritte der Mathematikdidaktik, Pädagogik, Psychologie, ... Dies muss die Mathematikdidaktik beachten. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Thesen (1) Jeder Königsweg zum erfolgreicheren (!!!) Mathematik-, also auch Geometrieunterricht muss führen über die vorhandenen Schulformen, die gültigen Lehrpläne, welche als input den output bestimmen, (gut gehende) Schulbücher, die gültige und machbare Auslegungen der Lehrpläne versprechen, vergangene und zu erwartende zentrale Prüfungen, die allen Beteiligten drohen. (2) Königswege müssen begehbar sein für mittelmäßige Lehrer. nur Komparativ Königsweg im Sinne der Anekdote über Euklid und einen Fürsten Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Was sollten wir tun? Vorschlag Beispiel

Was sollten wir tun? Vorschlag und Rechtfertigung
Standardthemen des Geometrieunterrichts aller Schulformen und Klassenstufen so aufbereiten, dass sie jeder Lehrer (mittelmäßig, viel beschäftigt) für seinen Unterricht übernehmen kann ohne große Zusatzarbeit. samt didaktisch-methodischen Überlegungen zu Alternativen, insbesondere Kürzungen, Unterrichtsmethoden Einsatz von Schulbüchern, Unterrichtshilfen, ... Aktionsformen von Lehrer und Schülern, Differenzierungsmaßnahmen, Lernerfolgskontrollen, Möglichkeiten (!!!), stoffübergreifende Lehrziele anzustreben. Lehrziele verallgemeinern: spezielle fachliche  allgemeine mathematische  fachübergreifende Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Rechtfertigungen des Vorschlags Auch mittelmäßige Lehrer einbeziehen: Es gibt nur wenige gute Lehrer. Alle Lehrer müssen zuerst die staatlichen Vorgaben erfüllen, und viele tun dies auf gewohnte Weise. Neue Methoden und Inhalte nehmen sie bereitwilliger an, gibt man ihnen hierfür ausgearbeitete Materialien. Abstrakte Überlegungen an Standardthemen konkretisieren: Es gibt keine direkte Verbindung von Bildungsideen zum alltäglichen Unterricht. Viele gute Ideen erreichten nicht den Schulalltag, weil sie dem Praktiker zu allgemein erschienen, oder an lehrplanfremden Inhalten erläutert waren. Mittelmaß ist kein Vorwurf, sondern Beschreibung des Normalfalls. Folie 31 so auch heutzutage Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Notwendigkeit didaktisch-methodischer Überlegungen: Einsatz herkömmlicher Unterrichtsmaterialien verbessern, die Lehrern vertraut sind. Was dachte sich der Konstrukteur beim Entwerfen des Unterrichtsvorschlags? Bezüge zu staatlichen Vorgaben Begründen methodischer Entscheidungen Methoden sollen im Dienste von Lehrzielen stehen, oder sind selbst Unterrichtsgegenstand. Beides ist oft nicht offensichtlich. Stoffübergreifende Lehrziele werden oft vergessen. Gefahr eines heimlichen Lehrplans Zeige, wie man an speziellen Inhalten allgemeinere (stoff- und fachübergreifende) Lehrziele anstreben kann. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Ungewohntes muss auch ein Lehrer erst lernen und festigen. Anleiten mit Hilfe ausgearbeiteter, gut dokumentierter Unterrichtsvorschläge zu Standardthemen Nicht zu viel auf einmal von Lehrern verlangen „Innovative“ Schulbücher verkaufen sich weniger gut als „konservative“. Nicht-Standardthemen sind noch sorgfältiger als Standardthemen einzuführen: Wie lassen sie sich in den normalen Unterricht einfügen? Zeit- und Stoff-Management genau angeben. Beispiele „Stundenbilder“, ... von Schulbuchverlagen Methodiken zum Mathematikunterricht MUED-Materialien ... Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Warnungen Konsumentenhaltung vieler Lehrer ungebührlich? Ungewohntes muss auch ein Lehrer erst lernen und festigen. Experten unterschätzen die Schwierigkeit von Anfängern. Unterricht nicht standardisieren? „Teachers also need effective praxeologies. [...] Not all tasks and techniques can be new  otherwise there would be too much to reconstruct for a teacher.“ Von wem wurden derart kritisierte Lehrer ausgebildet? Ernsthaftigkeit des folgenden beliebten Ausrufs? „Ein guter Lehrer sollte eigentlich ... !“ J.-B. Lagrange: Didactic Time, Epistemic Gain and Consistent Tool: Taking Care of Teachers’ Need for Classroom Use of CAS: A Reaction to Barzel’s “New Technology? New Ways of Teaching  No Time Left for That!” Int. J. for Techn. in Math. Educ. 14(2007), p Faule Ausrede des Didaktikers? Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Was sollten wir tun? Beispiel
Winkelsumme in Dreiecken Realschule Jahrgangsstufe 7 Vorbemerkungen Beispiel für die Art, ein Standardthema so aufzubereiten, dass es Lehrer für ihren Unterricht übernehmen können. Durchführung vielleicht nicht überzeugend. Beispiel soll belegen, dass der Vorschlag zu nicht trivialen didaktischen und methodischen Überlegungen führt, die man nur wenigen Lehrern aufbürden darf. Thema ist ein verbindlich zu unterrichtendes Standardthema. Hessisches Kultusministerium: Lehrplan Mathematik Bildungsgang Realschule. Wiesbaden 2002 (?) Themenbereich 7.3 Abschlussprofil der Jahrgangsstufe 10 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Unterrichtswerk Griesel, H.; Postel, H.; vom Hofe,R. (Hrsg.): Mathematik heute 7. Realschule Hessen. Hannover: Schroedel 2002, S Unterrichtswerk nicht empfehlenswert? Beachte: Autoren sind erfahrene Lehrer und anerkannte Mathematikdidaktiker. Beim Schulbuch ist der Verkaufserfolg wichtiger als gute Methodik und Didaktik. Nur gut gehende Schulbücher haben auf den alltäglichen Mathematikunterricht breiten Einfluss. Hoch gelobte („progressive“) Unterrichtswerke für den Mathematikunterricht verkaufen sich vergleichsweise schlecht. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Inhaltsverzeichnis Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Winkelsätze am Dreieck Einteilung der Dreiecke nach Winkeln Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Folie 71 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Analyse der Unterrichtseinheit im Schulbuch Prinzipien einer Analyse: Kritik didaktisch begründen Änderungen möglichst mit dem Schulbuch vornehmen. Fachliche Lehrziele: (1) Winkelsummensatz für Dreiecke kennen und für Berechnungen nutzen (2) Beweis für den Winkelsummensatz nachvollziehen (3) Standardbezeichnungen für Dreiecke kennen (4) Dreiecke nach ihren Innenwinkeln einteilen (5) Einfache Parkette herstellen und analysieren (6) Unterscheiden zwischen Handlungen mit realen Dingen und begrifflichen Überlegungen an idealen (nur gedachten) Objekten der Geometrie ? Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Methodische Lehrziele: (7) Handlungsorientierung des Unterrichts (8) Winkelsummensatz für Dreiecke veranschaulichen Indirekte Hinführung zum Winkelsummensatz mit einer nicht anleitenden Aufgabe: Einstieg über Parkettierungen lässt nicht das eigentliche Ziel der Unterrichtseinheit erkennen. Massive Anleitung erforderlich Vgl. zu den Begriffen Profke, L.: Methodik des Mathematikunterrichts. Vorlesung SS 2007 Uni Gießen. Abschnitt 2.2.2 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Kritik Frage nach der Winkelsumme nicht motiviert Aktivität des Parkettierens abrupt abgebrochen Lehrziel (6) bloß angedeutet (und nur für den Kenner) Kein Bezug zwischen den „Veranschaulichungen“ und dem „strengen“ Beweis hergestellt Lehren des Beweisens nicht ausreichend Lehrziele (2), (5), (6) nicht gefestigt Stoff- und fachübergreifende Lehrziele kaum zu erkennen Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Änderungsvorschlag mit dem Schulbuch Parkettieren mit Dreiecken zurückführen auf das Parkettieren mit Parallelogrammen Lückenlosigkeit, Überlappungsfreiheit offensichtlich aus kongruenten Dreiecken Parallelogramme herstellen mit Hilfe der Umkehrung des Wechselwinkelsatzes Vom Parkettieren mit Dreiecken zum Winkelsummensatz Hinführung weiterhin indirekt Zusätzlicher Auftrag des Lehrers nötig: Färbe gleich große Winkel mit derselben Farbe ein. Schüler entdeckt dabei vielleicht Winkelsummensatz. Lehrer muss das Besondere des Satzes hervorheben: Winkelsumme unabhängig von der Größe und Form eines Dreiecks. Folie 62 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Auftrag an den Mathematikmethodiker: Weshalb fragt man nach der Winkelsumme in Dreiecken? Änderungsvorschlag gegen das Schulbuch (Skizze) Anlass: Wodurch ist die Form eines Dreiecks bestimmt? Leitaufgaben Sortiere Dreiecke nach ihrer Form. Nach welchen Merkmalen kann man unterscheiden? Konstruiere Dreiecke: Welche Freiheiten hat man, und was ergibt sich automatisch? Erkenntnis: Die Größen ,  zweier Innenwinkel eines Dreiecks legen die Größe  des dritten Innenwinkels fest. Problem: Wie lässt sich  aus  und  berechnen? Leider (?) keine Leitaufgabe Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Systematisches Experimentieren Sonderfälle untersuchen: Dreiecke ABC mit 1)   0,   0 2)   0,   180 3)   90,   90 4)   0,  fest 5)  = 90, ergänze zum Rechteck Vermutung:  = 180°  ( + ß) Vermutung überprüfen an möglichst vielen verschiedenartig geformten Dreiecken. Beweis der Vermutung Sonderfälle betrachten: Gleichseitiges Dreieck ergänzen zum regulären Sechseck Rechtwinklige Dreiecke ergänzen zu Rechtecken Beliebiges Dreieck durch eine Höhe zerlegen in zwei rechtwinklige Dreiecke Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Was am Thema könnte bildend sein? Bemerkenswertes als solches erkennen: Aussage: Für alle Dreiecke ... Winkelsumme genau gleich einem gestrecktem Winkel Mathematisches Denken: Unterscheiden zwischen Realität und Geometrie Geometrische Aussagen streng prüfen Erkenntnisse spezialisieren und verallgemeinern Innenwinkel in gleichschenkligen und im gleichseitigen Dreieck Winkelsumme in beliebigen Vielecken Erkenntnisse anwenden Fachübergreifendes: Unterscheiden zwischen Realität und Mathematik Schlüssig argumentieren Folie 59 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Kommentierter Unterrichtsvorschlag mit dem Schulbuch Didaktisch-methodischer Kommentar Lehreraktivitäten Schüleraktivitäten Tafelanschrieb, Hefteintrag gemäß der Lehrstrategie Analyse einer Konfiguration vgl. Holland, G.: Geometrie in der Sekundarstufe. Entdecken  Konstruieren  Deduzieren. Didaktische und methodische Fragen. Hildesheim/Berlin: Franzbecker Abschnitt 7.2.2 Vorbereitende Aktivitäten in der Unterrichtseinheit Winkel an geschnittenen Geraden: Konstruieren zueinander paralleler Geraden mit Lineal und Zeichendreieck Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Nachträglich bemerkt man, dass diese Technik für das Folgende nicht notwendig ist. Technik vormachen im frontalen Klassenunterricht Schüler entdecken Technik nicht selbstständig Analyse des Verfahrens (?) Was könnte der Schüler dabei lernen? Zusammenhang des Stufenwinkelsatzes mit Eigenschaften von Verschiebungen Unterschied von Aussage und ihrer Umkehrung Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Erste Stunde Kontrollieren der Hausaufgaben der vorangegangenen Stunde Übergang zur Unterrichtseinheit Winkelsätze am Dreieck Wir trainieren heute sorgfältiges Zeichnen und das Anwenden der Sätze über Winkel an geschnittenen Geraden. Konstruiere mit Lineal und Geo-Dreieck ein Gitter aus zueinander deckungsgleichen Parallelogrammen. Vorgabe für ein Parallelogramm ABCD: AB= 4 cm, BC= 3 cm, A= 50°. Möglichst auf unliniertes Papier zeichnen Einzel-, Partnerarbeit, Lehrer stellt an der Tafel eine Zeichnung für die weitere Arbeit her. Allgemeineres Lehrziel: Zeichenfertigkeiten trainieren Sage dem Schüler, was er lernen soll. Keine Kompetenz aus den Bildungsstandards (!!!) Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Wir prüfen, ob wir sorgfältig konstruiert haben durch eine Zeichenkontrolle. Zeichne in jedes der kleinen Parallelogramme die lange Diagonale ein. Allgemeineres Lehrziel: Arbeiten kontrollieren vgl. Kompetenz (K5) der Bildungsstandards Folie 58 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Was ergibt sich bei sorgfältigem Zeichnen? ... Weshalb? Warum tritt bei C kein Knick auf? Möglichkeiten zum Differenzieren: Begründen mit Hilfe von Winkelsätzen an geschnittenen Geraden Allgemeineres Lehrziel: Argumentieren trainieren Zeichenkontrollen durch andere „Diagonalengeraden“ Untersuche nun die Winkel in der Figur: Markiere in der Figur gleich große Winkel. Notiere, weshalb Winkel groß sind. Ergebnisse im Klassenunterricht sammeln und aufschreiben Kompetenz (K1) der Bildungsstandards Folie 57 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Entdecken und Beweisen des Winkelsummensatzes für ABC Hausaufgabe Betrachte die Winkel bei C und beschreibe die Beobachtung durch eine Gleichung. Was folgt aus dieser Gleichung für das Dreieck ABC? vgl. Kompetenz (K1) der Bildungsstandards Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Zweite Stunde Schüler stellen ihre Bearbeitung der Hausaufgabe vor. Lehrer notiert an der Tafel: Je zwei der Winkel am Punkt C sind gleich groß. Also gilt: 2+ 2+ 2 = 2(+ + ) = 360° Dies bedeutet für das Dreieck ABC: A+B+C = 180° Die Innenwinkel von Dreieck ABC ergänzen einander genau zu einem gestreckten Winkel. Ausführliche Tafelanschriebe und Hefteinträge Allgemeineres Lehrziel: Arbeiten dokumentieren Kompetenz (K5) der Bildungsstandards Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Entdecken des Winkelsummensatzes für Dreiecke Das besondere Dreieck ABC mit den Maßen ... hat die besondere Eigenschaft, dass ... Ein Mathematiker, der so etwas für ein Dreieck entdeckt, untersucht, ob Dasselbe oder Ähnliches auch für andere Dreiecke gilt. Bestimme bei 4 anderen Dreiecken die „Winkelsumme“. Einzel-, Partnerarbeit Lehrer hilft bei der Wahl von Dreiecken. Allgemeineres Lehrziel: Lernen zu verallgemeinern Sammeln der Ergebnisse Lehrer notiert an der Tafel: Für jedes Dreieck ABC gilt: A+B+C = 180° Bei jedem Dreieck ergänzen die Innenwinkel einander genau zu einem gestreckten Winkel. Auch als Tafelanschrieb und Hefteintrag Kompetenz (K1) der Bildungsstandards Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Festigungen zum Winkelsummensatz mit (Haus-) Aufgaben aus dem Schulbuch für den Rest der Stunde und der nächsten Stunde Folie 51 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Sonderstunde Beweisen des Winkelsummensatzes für Dreiecke Weshalb ist diese Aussage richtig? Schüler bezweifeln dies nicht. Daher diese „Sonderstunde“ eventuell weglassen. Andernfalls fragend-entwickelnd im Klassengespräch wegen der auftretenden logischen Feinheiten. Betrachtet noch einmal die Konstruktionsaufgabe ... Was war gegeben? Schüler sollen ihre Aufschriebe nutzen. Parallelogramm ABCD Und dieses legte das Dreieck ABC fest. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Wir stellen uns eine neue (?) Aufgabe: Gegeben ist ein Dreieck PQR durch die Größen: PQ= 4 cm, QR= 3 cm, Q= 50°. Ergänze PQR zu einem Parallelogramm und konstruiere aus dazu deckungsgleichen Parallelogrammen ein Gitter. Übertrage alle Überlegungen von früher. Was ist das Neue an dieser Aufgabe, verglichen mit der ursprünglichen Aufgabe? ... Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Abschließende Bemerkungen
Was sollten wir tun? Abschließende Bemerkungen Die Winkelsumme im Dreieck ist schon immer ein Standardthema des Geometrieunterrichts aller allgemeinbildenden Schulen (gewesen). Dennoch gibt es dazu keinen allseits zufriedenstellenden Unterrichtsvorschlag und somit noch zu tun für Mathematikdidaktiker. Hauptaufgabe: Wie erreicht man allgemeinere Lehrziele? Genügt es, wenn der Lehrer daran denkt? Vgl. übliche Unterrichtsvorbereitungen Woher weiß dann der Schüler, was der Lehrer will? Würde ausreichen, dass der Schüler die Lehrziele kennt? Konstruktivistisch gewendet: Muss nicht der Schüler die Lehrziele selbst wollen - und diese zuvor als solche entdecken? Tipp: Sage dem Schüler, was er lernen soll. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Verzweigungen des Unterrichtes planen und zulassen
Was sollten wir tun? Wichtige Aufgabe: Verzweigungen des Unterrichtes planen und zulassen Unterricht wird oft linear geplant wie im Beispiel, wirklicher Unterricht möchte / sollte immer wieder vom Plan abweichen dürfen. Viele Lehrer tun sich damit schwer, auch wegen mangelnder fachlicher Sicherheit. Allgemeine Ratschläge müssen für solche Lehrer konkret gemacht werden anhand von Standardthemen, so ausführlich wie im Beispiel. Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Eine Alternative? Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Antworten auf die Eingangsfrage? Billige Antwort:
Eine Alternative? Antworten auf die Eingangsfrage? Billige Antwort: Wir haben uns noch nicht genügend angestrengt. Beobachtung: Mathematiklehrer „ackern“ seit Langem, nicht wenige mit viel pädagogischem Eros, doch auch sie mit nur mäßigem Erfolg. Verdacht: Der „Boden“ ist doch zu steinig, so dass selbst bestes Ackergerät nicht nützt. Nicht jeder Mathematiklehrer eignet sich als „Landwirt“. Alternative? Lieber gar keinen (oder weniger) Mathematikunterricht als schlechten. Folie 5 Profke, AK Geometrie, , Königswinter

Eine Alternative? Lesehinweise
Profke, L.: Brauchen wir einen Mathematikunterricht? Mathematik in der Schule 33(1995), Profke, L.: Reichen sieben Schuljahre Mathematik? Einige vernachlässigte Gesichtspunkte. PM 38(1996), Profke, AK Geometrie, , Königswinter

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