Wie viele gibt es? Wie findet man Primzahlen?

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1 Wie viele gibt es? Wie findet man Primzahlen?

2 Haben Sie eine Lieblingsprimzahl?
2 7 11 23 (Trons Zahl) Meine kleine Lieblingsprimzahl : 17 Primzahlen

3 Der Plan: Was sind Primzahlen? Warum sind sie wichtig?
Wie viele Primzahlen gibt es? Wie findet man Primzahlen? Wege zum Ruhm. Ende: Nach 40 Minuten, auf jeden Fall Primzahlen

4 Was ist eine Primzahl? Die Definition:
Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Es geht um natürliche Zahlen, es geht um Teilbarkeit. Schon jetzt: 1 ist keine Primzahl, sie macht nur unnötigen Ärger! Primzahlen

5 Teilbarkeit 7 teilt 42: 7 | 42, 8 teilt 42 nicht: 8 ∤ 42,
denn 42 ist Vielfaches von 7, d.h. 42 = 6 ∙ 7 8 teilt 42 nicht: 8 ∤ 42, denn 42 ist nicht Vielfaches von 8, d.h. es gibt keine Zahl c mit 42 = c ∙ 8 Primzahlen

6 Teilbarkeit Die grundlegende Definition:
a | b bedeutet: a teilt b (ohne Rest), also: b ist Vielfaches von a. Primzahlen

7 Teilbarkeitseigenschaften
7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ ( ), 7 │105 Teilt a die Zahlen b und c, dann auch b+c 7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ ( ), 7 │-21 Teilt a die Zahlen b und c, dann auch b-c Primzahlen

8 Primzahlen Nochmals die Definition:
Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 1 ist keine Primzahl. Die kleinste Primzahl ist 2. Primzahlen

9 Die Primzahlen bis 20, der Reihe nach:

10 Die Primzahlen bis 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 Anzahl = π(20) = 8
π(x) = Anzahl der Primzahlen bis zur Zahl x Primzahlen

11 Größte zweistellige Primzahl
Kandidaten: 91 93 95 97 99 Primzahlen

12 Größte zweistellige Primzahl
Kandidaten: 91: Durch 7 teilbar 93: Durch 3 teilbar 95: Durch 5 teilbar 97: Primzahl 99: Durch 3 teilbar 97 ist die größte zweistellige Primzahl. Primzahlen

13 Kleinste dreistellige Primzahl
Kandidaten: 101 103 105 107 109 Primzahlen

14 Kleinste dreistellige Primzahl
Kandidaten: 101: Primzahl 103: Primzahl 105: Durch 5 teilbar 107: Primzahl 109: Primzahl 101, 103 und 107, 109 sind Primzahlenzwillige Primzahlen

15 Kleinste dreistellige Primzahl
Kandidaten: 1001 1003 1005 1007 1009 Gar nicht mehr so einfach! Primzahlen

16 Kleinste dreistellige Primzahl
Kandidaten: 1001: Durch 11 teilbar (11·91) 1003: Durch 17 teilbar (17·59) 1005: Durch 5 teilbar (5·201) 1007: Durch 19 teilbar (19·53) 1009: Primzahl Primzahlen

17 Primzahlen sind wichtig für:
Mathematiker Kryptologen Primzahlen

18 Primzahlen in der Mathematik
Beispiele: 42 = 2∙3∙7 700 = 2∙2∙5∙5∙7 = 22∙52∙7 Sie finden dies bei Euklid. Primzahlen sind die Atome der Zahlen. Der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen. Primzahlen

19 Wie zerlegt man in Primfaktoren?
Beispiele: Z = 42 Z = 182 Z = 3553 Z = Dies ist nicht einfach! Primzahlen

20 Wie zerlegt man in Primfaktoren?
Beispiele: Z = 42 = 2∙21 = 2∙3∙7 Z = 364 = 2∙182 = 22∙7∙13 Z = = 11∙323 = 11∙17∙19 Z = = 2∙11∙17∙192 Es ist schwierig, große Zahlen zu „faktorisieren“ Primzahlen

21 Kryptologen und Primzahlen
RSA Ron Rivest Adi Shamir Leonard Adleman Löst Problem der Schlüsselübergabe im Internet Primzahlen

22 RSA Asymmetrische Verschlüsselung Benötigt große geheime Primzahlen
Entscheidend: Gibt es genügend viele große Primzahlen? Wie viele Primzahlen gibt es überhaupt? Primzahlen

23 Wie viele Primzahlen gibt es?
Euklid: (325 – 265 v.Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Primzahlen

24 Euklids Beweis Die Idee: Die Folgerung:
Es gibt unendlich viele Primzahlen! Die Idee: Aus endlich vielen Primzahlen kann man stets eine weitere konstruieren. Primzahlen

25 Euklids Beweisidee Beispiel: Primzahlen: 2, 3, 5 E = 2∙3∙5 + 1 = 31:
Keine der Zahlen 2, 3, 5 kann E teilen. E ist sogar eine neue Primzahl! Primzahlen

26 Euklids Beweis Noch ein Beispiel: Primzahlen: 3, 5, 7
Keine der Zahlen 3, 5, 7 kann E teilen. E ist keine neue Primzahl! Aber: E enthält neue Primzahlen als Faktoren. Primzahlen

27 Euklids Beweis, allgemein:
p1, p2, p3, …, pn seien Primzahlen. E = p1∙ p2 ∙ p3 ∙ … ∙ pn + 1 : Keine der Zahlen p1, p2, p3, …, pn teilt E. Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen. Primzahlen

28 Der Beweis von Hermite Charles Hermite 1822 – 1901 Wichtige Arbeiten:
Zahlentheorie, elliptische Funktionen, quadratische Formen, e ist transzendent. Primzahlen

29 Der Beweis von Hermite Die Idee:
Ist eine Zahl n gegeben, so gibt es eine Primzahl größer als n. Die Folgerung: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Primzahlen

30 Der Beweis von Hermite für n = 5
Keine der Zahlen 2, 3, 4, 5 kann H5 = (1 ·2 ·3 ·4 ·5) + 1 = 5! + 1 teilen. Also ist jeder Primfaktor von H5 größer als 5. Primzahlen

31 Der Beweis von Hermite für n
Keine der Zahlen 2, 3, 4, …, n kann Hn = (1 · 2 · 3 · 4 · … · n) +1 = n! + 1 teilen. Also ist jeder Primfaktor von Hn größer als n. Primzahlen

32 Kummers Beweis: Der Schönste
Ernst Eduard Kummer 1810 – 1893 Wichtige Arbeiten zur Analysis, Zahlentheorie, Fermats Vermutung Primzahlen

33 Kummers Beweis Die Idee: Die Folgerung:
Es gibt unendlich viele Primzahlen! Die Idee: Wenn es nur endlich viele Primzahlen gibt, dann entsteht ein Widerspruch Primzahlen

34 Kummers Beweis: Annahme: Es gibt nur die n Primzahlen
p1, p2, p3, …, pn. Bilde Z = p1,· p2, · p3 ·… · pn. Die Primfaktorzerlegung von Z-1 enthält dann eine dieser Primzahlen als Faktor, etwa pi. Dann muss pi auch Z – (Z-1) = 1 teilen. Dies geht nicht! Primzahlen

35 Unendlich viele Primzahlen, ist das genug?
In der Kryptologie interessant: Primzahlen mit etwa 300 Stellen. Gibt es genügend viele davon? Es gibt unendlich viele Zahlen der Form nn, aber nur 149 mit weniger als 300 Stellen. Primzahlen

36 Richtig gemein: Primzahlenlücken
Es gibt beliebig große Primzahlenlücken. Als Beispiel: Eine Lücke der Länge 42 43! + 2, 43! + 3, 43! + 4, ….. , 43! + 43 (Aber: 43! = 6 ∙ 1052) Primzahlen

37 Die Verteilung der Primzahlen

38 Erste gute Ergebnisse:
Pafnuty Tschebycheff 1821 – 1894 Arbeiten zur Analysis, Zahlentheorie Primzahlen

39 Tschebycheffs Ergebnis:
Primzahlen

40 Der Primzahlensatz (1896) Satz: Für große x: Primzahlen

41 Der Primzahlensatz (1896) Nicolas de la Vallee- Poussin (1866 – 1962)

42 Der Primzahlensatz (1896) Jacques Salomon Hadamard (1865 – 1963)

43 Wie viele Primzahlen bis 10300?

44 Bestimmung von Primzahlen
Verschiedene Vorgehensweisen: Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe) Formeln (traurig und schön) Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen Primzahlen

45 Das Sieb des Eratosthenes
Geb.: 276 v. Chr. In Cyrene (Libyen) Gest.: 194 v. Chr. in Alexandria U.a.: Zahlentheoretiker. Primzahlen

46 Eratosthenes Ein sehr kluger Mann Bestimmte den Erdradius Primzahlen

47 Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50 bestimmen.
Sein modernes Verfahren: Iterationsverfahren Start: Wie fange ich an? Iterationsschritt: Immer die gleichen Schritte. Mit veränderten Daten. Abbruch: Wann höre ich auf? Primzahlen

48 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen

49 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen

50 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen

51 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen

52 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen

53 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen

54 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen

55 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50: π(50) =15
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen

56 Primzahlen nach Formeln: Mersenne Zahlen
Marin Mersenne Geb.: in Oize Gest.: 1648 in Paris Mathematiker und Physiker, suchte Formeln für Primzahlen Primzahlen

57 Mersenne Zahlen M(p) = 2p – 1, p Primzahl M(2) = 22 – 1 = 4 – 1 = 3
keine Primzahl Primzahlen

58 Primzahlen

59 Mersenne Zahlen: M44 (4.9.2006) M44 = 232 582 657 – 1
M44 besitzt Stellen! M44 als Textdatei: 10 MB Primzahlen

60 Primzahlen

61 M44 Ausgedruckt mit 8-Punktschrift: Etwa 1200 Seiten Primzahlen

62 Eine Formel für alle Primzahlen
Hardy und Wrights Formel n Zweien bei f(n) ω = … Zur Berechnung von ω benötigt man alle Primzahlen Nicht sehr praktisch! Es gibt weitere solcher Formeln Primzahlen

63 Godfrey Harold Hardy Geb.: 1877 in Cranleigh Gest.: 1947 in Cambridge
Einer der bedeutendsten Zahlentheoretiker des 20. Jahrhunderts Primzahlen

64 Primzahlenzwillinge Primzahlen im Abstand 2: 3, 5 11, 13 29, 31
101, 103 …….. Primzahlen

65 Wie viele Zwillinge gibt es?
Man weiß es nicht. Wahrscheinlich unendlich viele (Hardy) Neueste Ergebnisse aus den USA und der Türkei stützen dies Primzahlen

66 Viggo Brun Mathematiker, Norweger 1885 – 1978 Bedeutender
Zahlentheoretiker Primzahlen

67 Bruns Witz Primzahlen

68 Wege zum Ruhm: Probleme der Zahlentheorie
Die Goldbachsche Vermutung, Die Riemannsche Vermutung, Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt Ein schnelle Algorithmus zur Primfaktorzerlegung Primzahlen

69 Konkurrenten Primzahlen

70 Die Goldbachsche Vermutung
Christian Goldbach Geb.: in Königsberg Gest.: 1764 in Moskau Primzahlen

71 Die Vermutung Goldbach I:
Beispiel: 100 = = = = …. Goldbach II: Jede ungerade Zahl > 7 ist die Summe von drei ungeraden Primzahlen Beispiel: 51 = = = = …. Goldbach I: Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe zweier Primzahlen. Primzahlen

72 Goldbach I: State of the Art
Bestätigt bis 2x1016 Jede gerade Zahl ist Summe von höchstens 6 Primzahlen Vinogradov: Jede genügend große Zahl ist Summe von höchstens 4 Primzahlen Vinogradov: Fast alle geraden Zahlen sind Summe von 2 Primzahlen Cheng Jing-run (1966): Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe aus einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens zwei Primfaktoren Primzahlen

73 Goldbach I: Im Jahr 2000 wurde ein Preis von
$ für den Beweis der Goldbachschen Vermutung ausgesetzt. Nach Ansicht der meisten Mathematiker stimmt die Goldbachsche Vermutung; statistische Argumente sprechen dafür. Primzahlen

74 Bernhard Riemann (1826 – 1866) Nachfolger von Gauß in Göttingen
Mathematisches Genie Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts- theorie Primzahlen

75 Die Riemannsche Vermutung
Primzahlen

76 Primzahlenzwillinge Zeigen Sie, dass es unendlich viele gibt,
entschärfen Sie den Witz von Viggo Brun. Sie werden länger berühmt sein als Daniel Kübelböck. Sie werden die Fields-Medaille oder den Abelpreis erhalten. Primzahlen

77 Ein schneller Algorithmus zur PFZ
Überleben schwierig! Falls doch, Sie sind berühmt, für immer! Primzahlen

78 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
Eine Literaturliste liegt aus. Der Vortrag unterliegt der GNU-License. PDF-Version des Vortrags demnächst auf der Tholeyer Homepage Für (nicht allzu) kritische Kommentare bin ich dankbar. Primzahlen