Hauptseminar WS2002/2003 Schlüsselexperimente zur Quantenmechanik Wellenpakete und Einzelphotoneninterferenz Michael Grupp 7.Januar 2003 Massehafte.

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1 Hauptseminar WS2002/2003 Schlüsselexperimente zur Quantenmechanik Wellenpakete und Einzelphotoneninterferenz Michael Grupp 7.Januar 2003 Massehafte Teilchen

2 Interpretation von Max Born und Welle-Teilchen-Dualismus
Einführung Doppelspaltexperimente, Photoeffekt, Unter welchen Bedingungen zeigen Quantenobjekte Wellen- oder Teilchencharakter? Interpretation von Max Born und Welle-Teilchen-Dualismus Darstellung der Konsequenzen der dualistischen Beschreibung durch Wellenpakete Einzelphotoneninterferenz: vom Gedankenexperiment zum Realexperiment Einführung

3 Allgemeine Betrachtungen zu Wellenpaketen
Gliederung Allgemeine Betrachtungen zu Wellenpaketen Wellenpakete massenhafter Teilchen Wellenpakete masseloser Teilchen Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) Messpostulat der Quantenmechanik Zusammenfassung Quellverzeichnis Gliederung

4 Allgemeine Betrachtungen
Für Photonen gilt im Vakuum die freie Maxwellgleichung Wellengleichung für Photonen Verallgemeinerung Klein-Gordon-Gleichung Nichtrelativistischer Grenzfall freie Schrödingergleichung Allgemeine Betrachtungen

5 Eigenschaften, Lösung und Dispersionsrelationen
Diese partiellen Differentialgleichungen sind linear  es gilt das Superpositionsprinzip Die Lösung dieser Gleichungen können durch folgende kontinuierliche Fourierentwicklung dargestellt werden: Allgemeine Betrachtungen

6 Eigenschaften, Lösung und Dispersionsrelationen
Die Lösungen unterscheiden sich in den Dispersionsrelationen Freie Maxwellgleichung Klein-Gordon-Gleichung Freie Schrödingergleichung Allgemeine Betrachtungen

7 Allgemeine Darstellung von (k) und (k)
Entwicklung der Dispersionsrelation um k0 Mit vg  Gruppengeschwindigkeit und   Dispersionsparameter Berechnung von (k) Ist der Anfangszustand bekannt, so gilt Allgemeine Betrachtungen

8 Es wird nun für (k) eine Gaußfunktion gewählt
Mit C  Normierungskonstante;  bestimmt die Breite der Gaußfunktion Für das Gaußförmige Wellenpaket findet man Allgemeine Betrachtungen

9 Interpretation der Wellenfunktion
Max Born schlug vor die Wellenfunktion statistisch zu interpretieren: Das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist demnach proportional zur Wahrscheinlichkeit das Teilchen nachzuweisen. Für das Gaußförmige Wellenpaket folgt damit Max Born Nobelpreis 1954 Allgemeine Betrachtungen

10 Für das Gaußpaket ergibt sich folgende Unschärferelation
Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Heisenbergschen Unschärferelation, so ist das Gaußpaket der Zustand geringster Unschärfe für t = 0 bzw.  = 0 Allgemeine Betrachtungen

11 Zunächst: freies Teilchen  Gruppengeschwindigkeit
Massenhafte Teilchen Zunächst: freies Teilchen  Gruppengeschwindigkeit Dispersionsparameter Zustand zum Zeitpunkt t=0 hat geringste Unschärfe Wellenpaket zerfließt für t>0 Schwerpunkt des Gaußpaketes bewegt sich auf klassischer Bahn Massenhafte Teilchen

12 Visualisierung Die komplexe Zahl kann durch Farben dargestellt werden
Der Farbton ist abhängig von der Phase  Die Helligkeit ist eine Funktion des Absolutbetrages IzI Für IzI =  schwarz Für IzI    weiß Im z Re z Visualisierung komplexer Zahlen durch Farben Massenhafte Teilchen

13 Ruhendes freies Teilchen Bewegtes freies Teilchen
Massenhafte Teilchen

14 Freies Teilchen Das Auseinanderlaufen eines Wellenpaketes ist kein auf die Quantenmechanik beschränktes Phänomen! Der größte Unterschied zur klassischen Beschreibung von Teilchen steckt in der Bedeutung der Phase des Wellenpaketes Wellenpakete die ein Teilchen beschreiben können mit sich selbst interferieren! Massenhafte Teilchen

15 Lösung der freien Schrödingergleichung (x,t) unter
Teilchen in der Box Lösung der freien Schrödingergleichung (x,t) unter Dirichletschen Randbedingungen  Analogie zur Spiegelladungsmethode in der Elektrostatik Lösung für eindimensionale Box der Länge L Massenhafte Teilchen

16 Quantenmechanische Betrachtung führt auf Strukturen!
Teilchen in der Box Ensemble aus klassischen Teilchen würde sich mit der Zeit gleichmäßig auf L verteilen Quantenmechanische Betrachtung führt auf Strukturen! 1. Gebrochene Wiederkehr Wiederkehr ist die Wiederkehrzeit Massenhafte Teilchen

17 Quantenteppich – Aufenthaltswahrscheinlichkeit in
Teilchen in der Box Quantenteppich – Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Falschfarbendarstellung (aus Studienführer Physik, Universität Ulm, 2002) Massenhafte Teilchen

18 Gaußpaket trifft auf Potentialstufe
Weitere Beispiele Gaußpaket trifft auf Potentialstufe Gaußpaket trifft auf Potentialbarriere Massenhafte Teilchen

19 Die Dispersionsrelation führt auf Gruppengeschwindigkeit
Masselose Teilchen Die Dispersionsrelation führt auf Gruppengeschwindigkeit Dispersionsparameter Die Form eines Wellenpakets, das sich im Vakuum mit c ausbreitet bleibt erhalten Gaußpaket ist Zustand geringster Unschärfe für alle t Masselose Teilchen

20 Energie-Zeit-Unschärferelation
Die Breite x des Wellenpaketes lässt sich als seine Kohärenzlänge festlegen  Impulsunschärfe   Die Energie-Zeit-Unschärferelation folgt nicht direkt aus der Heisenbergschen Unschärferelation! Masselose Teilchen

21 Versuch von Grangier (et al.)
Experimenteller Nachweis der Einzelphotoneninterferenz Notwendig: Hochgeschwindigkeitselektronik daher war dieser Versuch erst 1985 durchführbar Wie erzeugt man kontrolliert einzelne Photonen? Erster Versuchsteil : ein Stahlteiler  Photonen verhalten sich wie Teilchen Zweiter Versuchsteil : Mach-Zehnder-Interferometer  Einzelphotoneninterferenz Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

22 Erster Versuchsteil Einzelne Photonen treffen auf einen Strahlteiler und werden durch zwei Photomultipier nachgewiesen. Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

23 Wie erzeugt man kontrolliert einzelne Photonen?
Quelle: Durch Laser angeregte Kalziumatome angeregter Zustand zerfällt in zwei Schritten in den Grundzustand das erste emittierte Photon 1 wird von PM1 nachgewiesen und das Gate wird für w  9ns geöffnet nur während w kann das zweite Photons 2 (Lebensdauer 2= 4,7ns) durch die Photomultipier PMr und PMt nachgewiesen werden Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

24 Was wird gemessen? – Klassische Betrachtung
Wahrscheinlichkeiten gemittelte Intensität während Messzeit Aus der Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung folgt Damit gilt für die Wahrscheinlichkeiten  (Anti)korrelationskoeffizient Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

25 Was wird gemessen – quantenmechanische Betrachtung
Die Verletzung der klassischen Ungleichung führt auf ein Antikorrelationskriterium, das ein nichtklassisches Verhalten charakterisiert. Eine umfangreiche quantenmechanische Rechnung führt auf ist in diesem Experiment nahe 1 Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

26 Ergebnis: Photon zeigt Teilcheneigenschaft
Maximal gemessene Verletzung der klassischen Ungleichung: Messzeit T  5h bei N1  8800s-1 Klassische Theorie sagt  Koinzidenzen voraus gemessen wurden nur 9! Vergleich zwischen Messergebnissen und der theoretischen Kurve (durchgezogen) Die Photonen verhalten sich in diesem Experiment wie Teilchen! Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

27 Mach-Zehnder-Interferometer
Die Versuchsanordnung wird nun in ein Mach-Zehner-Interferometer umgebaut. Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

28 Zur Erinnerung: Wellenpaket behält seine Form (Vakuum!)
Wellenpaket eines Photon, das von einem Atom emittiert ist lorentzförmig Zur Erinnerung: Wellenpaket behält seine Form (Vakuum!) Abschätzung der Kohärenzlänge Kohärenzlänge ist unabhängig von Abstand Quelle-Detektoren Beobachtung der Interferenz hängt von der Wegdifferenz  ab und nicht von dem Abstand Quelle-Detektor Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

29 Ergebnis: Photon zeigt Welleneigenschaften
Gemessen wurde um die Weißlichtposition =0 in 256 Stufen mit einem jeweiligen Abstand von /50 (8,45nm) : a) 1s Messzeit pro Kanal b) 15s Messzeit pro Kanal Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

30 Erster Stahlteiler teilt das Wellenpaket in zwei Teilpakete
Teilt sich das Photon? Auch hier: Erster Stahlteiler teilt das Wellenpaket in zwei Teilpakete Beide Teilwellenpakete bestimmen die Wahrscheinlichkeit das eine Photon nachzuweisen Wellenpaket “sieht“ und “nutzt“ alle Möglichkeiten sich im Interferometer auszubreiten Photon ist an der Quelle und an dem Detektor lokalisierbar dazwischen nicht Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

31 Gedankenexperiment – Eigenschaft “Weg“
Photonen lassen sich durch Polarisationsfilter “markieren“ Beide gleich eingestellt  Interferenzmuster Ungleich eingestellt  kein Interferenzmuster Gedankenexperiment

32 Messpostulat der Quantenmechanik
Obwohl ein Quantenobjekt eine Eigenschaft nicht besitzen muss, wird bei einer Messung dieser Eigenschaft immer ein bestimmter Wert (Eigenwert) gefunden! Messpostulat

33 Zusammenfassung Quantenmechanik seit fast achtzig Jahren eine der erfolgreichsten Theorien Dynamik einzelner Quantenobjekte kann durch Wellen-pakete beschrieben werden Wellenpakete können visualisiert werden und damit die Quantenmechanik verdeutlichen Die Einzelphotoneninterferenz hat den Welle-Teilchen-Dualismus des Photons bestätigt (1985(!)) Zusammenfassung

34 Quellverzeichnis B. Thaller, Visual Quantum Mechanics, Springer-Verlag, New York, ( T. Fließbach, Quantenmechanik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2000 Grangier, P.; Rogier, G; Aspect, A., Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beamsplitter, Europhys. Lett. 1 (1986)173 P. Grangier cited by A. L. Robinson, Science 231(1986)671 Müller,R;Wiesner,H., Photonen im Mach-Zehnder-Interferometer, Universität München ( W.P.Schleich, Elements of Quantum Mechanics, Ulm, 2002 Quellverzeichnis