Navier-Stokes Gleichung

Präsentation zum Thema: "Navier-Stokes Gleichung"—  Präsentation transkript:

1 Navier-Stokes Gleichung
Hydraulik I W. Kinzelbach Potentialströmung Reale Fluide Navier-Stokes Gleichung

2 Venturi Rohr 1 2 Gemessen: p1, p2, D, d Rohr horizontal T=20o
Gesucht: Q Lösung: Kontinuität und Bernoulli

3 Geschwindigkeitsmessung

4 Hydrometrischer Flügel

5 Tracer Methoden t1 t2 L Verfahren zur Messung von Q: Verdünnungsmethode

6 Andere Methoden PTV (=particle tracking velocimetry): Zugabe und Verfolgung von Partikeln Hitzdrahtanemometer: Abkühlung eines elektrisch erhitzten Drahtes durch die Strömung t1 t2 + -

7 Andere Methoden Laserdoppleranemometer: In der Strömung vorhandene Kleinstpartikel durchlaufen ein Interferenzmuster an der Schnittstelle zweier Laserstrahlen. MID (Magnetisches Induktions-Verfahren): In einem durch ein Magnetfeld bewegten Leiter (= Strömung) wird eine Spannung induziert Akustische Laufzeitmessung: Superposition von Schallgeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit

8 Was ist Rotation? Parallelströmung (vx=constant): rotationsfrei w=0
deformationsfrei q=0 y x Beispiel: freie Parallelströmung ohne Wandeinfluss

9 Was ist Rotation? Parallelströmung (vx=f(y): rotationsbehaftet w 0
deformationsbehaftet q 0 Beispiel: Strömung in der Nähe einer Wand

10 Was ist Rotation? Kreisströmung rotationsbehaftet w 0
Ohne Deformation q = 0 Beispiel: Festkörperwirbel

11 Was ist Rotation? Kreisströmung rotationsfrei w = 0
deformationsbehaftet q 0 Beispiel: Rankine-Wirbel über Bodenöffnung, Aussenströmung 1/r, Kernströmung rotationsbehaftet

12 Potentialströmung 1 Strömung in der gilt:
Strömungen, die sich als Gradient eines skalaren Feldes F, des Potentials, darstellen lassen sind Potentialströmungen

13 Potentialströmung 2 Kombination von Kontinuität und
ergibt Potentialgleichung Ebene Strömung in x-y-Ebene

14 Ebene Potentialströmung 1
Linien gleichen Werts F heissen Potentiallinien Zu den Potentiallinien kann eine orthogonale Linienschar konstruiert werden, die Stromlinien Stromlinien sind Linien gleichen Werts der Stromfunktion Y Die Stromfunktion erfüllt ebenfalls die Potentialgleichung, lediglich mit anderen Randbedingungen

15 Ebene Potentialströmung 2
Aus der Bedingung dass die Tangenten von Strom- und Potentiallinien im Schnittpunkt senkrecht stehen gewinnt man die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

16 Ebene Potentialströmung 3
Stromlinien und Potentiallinien bilden das Strömungsnetz (vorteilhaft: Quadrasternetz)

17 Ebene Potentialströmung 4
Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien mit Stromfunktionswerten Y1 und Y2 Dicke der ebenen Strömung 1 Einheit

18 Ebene Potentialströmung 5
Undurchlässige Ränder sind Stromlinien Diagonalen (Tangenten) schneiden sich orthogonal In Maschen können Kreise einbeschrieben werden, die alle 4 Seiten tangieren

19 Anwendungskriterien für Potentialnetze
Inkompressibles Fluid Zweidimensionale Strömung Rotationsfreiheit (nur Schwerkraft und Druckkräfte wirksam) Kurze Strömungsabschnitte (damit Reibung klein bleibt, Länge nicht grösser als 5-8 mal Breite) Geringe Zähigkeit des Fluids Strömung ablösungsfrei

20

21 Reale Fluide 1 Laminare Strömung (Zähigkeit dominiert)
Turbulente Strömung (Trägheit dominiert) Umschlag laminar-turbulent Kriterium Reynoldszahl in Rohrströmung Kritische Reynoldszahl für Umschlag Re=2300

22 Reale Fluide 2 Euler Zahl Froude Zahl

23 Reibungskräfte

24 Reibungskräfte 2

25 Reibungskräfte 3 Unter Verwendung von

26 Navier-Stokes Gleichung 1
+A.B +R.B.

27 Navier-Stokes Gleichung 2
Dimensionslose Form mit Massstäben L, T, U=L/T t = Tt* x = Lx* u = Uu* p = rU2p* Zwei Invarianten Re = UL/n Fr2 = U2/(gL)

28 Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung
Nur für einfache Konfigurationen und laminare Strömung möglich Beispiel: Strömung zwischen zwei festen Platten z vx(z) d x

29 Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung (2)
Parabolisches Profil

30 Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung (3)
Beispiel: Laminare Rohrströmung r f vz(r) z Lösung: Mit Navier-Gleichung und Kontinuitätsgleichung in Zylinderkoordinaten: Kontinuitätsgleichung:

31 Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung (3)
Selber aus- probieren!!

32 Laminare Rohrströmung(1) (auf andere Art)
Kräftegleichgewicht an Zylinder mit Radius r in Achsenrichtung: Komponente des Gewichts +Kraft aus Druckdifferenz- Kraft aus Reibung = 0 (Impulskräfte heben sich auf, wegen Kontinuität v1=v2)

33 Laminare Rohrströmung (2)
Komponente des Gewichts Kraft aus Druckdifferenz Kraft über Zylindermantel mit

34 Laminare Rohrströmung (3)
Mit Newton‘schem Gesetz ergibt sich daraus: und nach Integration: C folgt aus Haft- bedingung v(r0)=0

35 Laminare Rohrströmung (4)
Damit folgt das Gesetz: Die Geschwindigkeitsverteilung ist ein Rotationsparaboloid. mit Rohrdurchmesser d Da vm=vmax/2 gilt damit das Hagen-Poiseuille‘sche Gesetz: Lineares Energieverlustgesetz in der laminaren Strömung

36 Laminare Rohrströmung (5)
Verallgemeinerung Für die Wandschubspannung (r=d/2) im Rohr gilt Mit wird ein dimensionsloser Reibungsbeiwert definiert Für ein Rohr der Länge L und mit Durchmesser d gilt dann: Darcy-Weisbach-Gesetz

37 Laminare Rohrströmung (6)
Verallgemeinerung Vergleicht man das Darcy-Weisbach Gesetz Bei konstantem Q folgt: mit dem Hagen-Poiseuille-Gesetz Wichtig für Blut- Hochdruck bei Arterienverkalkung!! so folgt ein Reibungsbeiwert:

38 Rohrströmung allgemein
Darcy-Weisbach Gesetz wird als universal gültig angenommen mit einem Reibungsbeiwert, der allgemein eine Funktion der Reynoldszahl und der Rohreigenschaften ist. Bei laminarer Strömung Bei stark turbulenter Strömung und rauhem Rohr

39 Widerstandskoeffizient
Analog! Widerstandskoeffizient Bei grossen Re: CD konstant, FD prop. zu V2 Bei kleinen Re: CD=24/Re, FD prop. zu V

40 Reynoldsgleichungen 1 Reynoldszerlegung: Mittlere Schwankung
Turbulenzintensität

41 Reynoldsgleichungen 2 Dabei ist
Einfachstes Turbulenzmodell zur Schliessung der Gleichungen mit Wirbelzähigkeit nWirbel

42 Turbulente Schubspannungen (1)
Turbulenter Impulstransport durch Fläche A im Abstand y von Wand

43 Turbulente Schubspannungen (2)
Gesamtschubspannung: Definition der Schubspannungsgeschwindigkeit Prandtl‘sche Mischwegtheorie: Weg L über den Wirbel sein Identität verliert

44 Logarithmisches Geschwindigkeitsprofil
Gesetz der Wand: L=ky Karmankonstante k=0.4 Durch Integration folgt das logarithmische Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Wandströmung wobei dw die Dicke der viskosen Unterschicht ist. In der viskosen Unterschicht ist das Geschwindigkeitsprofil linear:

45 Grenzschichtströmung
Grenzschichtdicke=Wandabstand bei dem 99% von erreicht.

46 Wandrauheit Äquivalente Sandrauheit k Rohrmaterial Rauheit k (mm)
Gusseisen mit Bitumenanstrich 0.12 Betonrohre roh 1.0 bis 3.0 Gezogene Glasrohre glatt Gezogene Stahlrohre 0.03 bis 0.1

47 Geschwindigkeitsprofile (1)
Laminar A=

48 Geschwindigkeitsprofile (2)
Hydraulisch glatt: ku*/n<5 Übergangsbereich: 5<ku*/n<70 Hydraulisch rauh: ku*/n<5

49 Geschwindigkeitsprofile (3)
Korrektur für Profil in Energiesatz Korrektur für Profil in Impulssatz 1<b<a