Kapitel 4 Restklassen (die modulo-Rechnung)

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1 Kapitel 4 Restklassen (die modulo-Rechnung)

2 Inhalt 4.1 Was sind Restklassen? [0], [1], ..., [n–1]
4.2 Addition von Restklassen [5] + [7] = [3] 4.3 Multiplikation von Restklassen [5]  [7] = [8] 4.4 Inverse Elemente [5]  [2] = [1] Anhang: Zahlbereichserweiterungen N  Z  Q  R

3 4.1 Was sind Restklassen? Restklassen treten in vielen Situationen auf: überall dort, wo immer wiederkehrende („periodische”) Vorgänge eine Rolle spielen. Beispiele. (a) Die Uhr (mit Zifferblatt). Es ist 11 Uhr. In 4 Stunden ist 3 Uhr. Wir rechnen also „ = 3”. Es ist 4 Uhr. Vor 10 Stunden war es 6 Uhr. Wir rechnen “4 – 10 = 6”. (b) Die Woche. Es ist Freitag. In 3 Tagen ist Montag. Mit Mo = 1, Di = 2, ..., Fr = 5, Sa = 6, So = 7 rechnen wir „5+3 = 1”. (c) Das Jahr. Wir numerieren die Monate mit 1, 2, ..., 12. Es ist Mai, in 8 Monaten ist Januar. Wir rechnen „5 + 8 = 1”. Wir rechnen nicht mit einem bestimmten Montag, sondern mit der Menge aller Montage, ... Das ist die Idee der Nebenklassen.

4 Wiederholung: Division mit Rest
Sei a eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl mit n  1. Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit a = qn + r und 0  r < n. Wir interessieren uns hauptsächlich für den Rest r. Da dieser eindeutig bestimmt ist, hängt er nur von a und n ab. Wir bezeichnen diese Zahl auch mit a mod n (gesprochen: “a modulo n”) Das heißt: a mod n ist eine natürliche Zahl, und zwar der kleinste nichtnegative Rest, der bei Division von a durch n entsteht. Beispiele: 7 mod 5 = 2, 12 mod 3 = 0, –6 mod 8 = 2, 0 mod 1001 = 0.

5 Definition einer Restklasse
Definition. Sei n eine natürliche Zahl mit n  1. Sei a irgendeine ganze Zahl. Die Restklasse [a] von a (modulo n) besteht aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch n den gleichen Rest ergeben wie a. Mit anderen Worten: [a] := {b Î Z  b mod n = a mod n}. Manchmal spricht man statt von einer Restklasse auch von einer Nebenklasse. Man nennt die Zahl a einen Repräsentanten der Restklasse [a]. Die Zahl n heißt manchmal der Modul.

6 Beispiel: n = 3 Die Restklasse [0] besteht aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch 3 denselben Rest ergeben wie 0, also aus genau den Zahlen, die durch 3 teilbar sind: [0] = {b Î Z  b ist ein Vielfaches von 3} = {3z  z Î Z} = {..., –6, –3, 0, 3, 6, ...}. Die Restklasse [1] besteht aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 ergeben; Entsprechendes gilt für [2]: [1] = {3z+1  z Î Z} = {..., –5, –2, 1, 4, 7, ...}, [2] = {3z+2  z Î Z} = {..., –4, –1, 2, 5, 8, ...}.

7 Fortsetzung des Beispiels
Was ist [5] ? Das ist die Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 3 den gleichen Rest ergeben wie 5, also den Rest 2: [5] = {b Î Z  b mod 3 = 5 mod 3} = {b Î Z  b mod 3 = 2}; dies ist aber genau die Restklasse [2]. Es gilt also [5] = [2]. Wir sehen in diesem Beispiel: [0], [1] und [2] umfassen alle ganzen Zahlen. Jede ganze Zahl ist in genau einer dieser Restklassen enthalten. Jede mögliche Restklasse ist gleich einer der Restklassen [0], [1] oder [2]; zum Beispiel ist [1001] = [2] und [–23] = [1].

8 Eigenschaften von Restklassen
4.1.1 Satz. Sei n  1 eine natürliche Zahl. Dann gelten folgende Eigenschaften der Restklassen modulo n: (a) Wenn eine ganze Zahl b in der Restklasse [a] enthalten ist, so gilt [b] = [a]. (b) Je zwei Restklassen sind gleich oder disjunkt. (c) Jede ganze Zahl ist in genau einer Restklasse modulo n enthalten. (d) Die Vereinigung der Restklassen [0], [1], ..., [n–1] ist ganz Z. (e) Es gibt genau n verschiedene Restklassen modulo n, nämlich [0], [1], ..., [n–1].

9 Beweis (a), (b) Beweis. (a) Da b in [a] enthalten ist, hat b bei Division durch n den gleichen Rest wie a (Definition von [a]). M.a.W.: b mod n = a mod n. Das bedeutet: [a] = {z Î Z  z mod n = a mod n} (nach Definition von [a]) = { z Î Z  z mod n = b mod n} (da a mod n = b mod n) = [b] (nach Definition von [b]). (b) Seien [a] und [b] zwei Restklassen modulo n. Wenn diese disjunkt sind, so gilt die Behauptung. Daher möge es eine ganze Zahl c geben, die sowohl in [a] als auch in [b] liegt. Nach (a) gilt also sowohl [c] = [a] als auch [c] = [b], also [a] = [b].

10 Beweis (c), (d),(e) (c) Jede ganze Zahl z liegt in mindestens einer Restklasse modulo n, nämlich in [z]. Da nach (b) verschiedene Restklassen disjunkt sind, gibt es keine zweite Restklasse modulo n, die z enthält. Also gibt es genau eine Restklasse modulo n, die z enthält. (d) Jede ganze Zahl z liegt in einer der Restklassen [0], [1],..., [n–1], da z bei Division durch n einen der Reste 0, 1, ..., n–1 liefert. (e) Nach (d) gibt es höchstens n verschiedene Restklassen. Da aber die Restklassen [0], [1], ..., [n–1] verschieden sind (denn die Zahlen 0, 1, ..., n–1 sind verschiedene Reste modulo n), gibt es auch mindestens n verschiedene Restklassen. 

11 Zn Definition. Zn = Menge der Restklassen modulo n Bemerkung: Zn ist eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. Wir betrachten aber oft die Elemente von Zn einfach als Elemente. Analogie aus dem täglichen Leben: Es gibt Tage (entsprechen den Zahlen). Diese sind in Wochentage zusammengefasst (entspricht den Restklassen: Jeder Tag gehört zu genau einem Wochentag). Man spricht von „Wochentag“, ohne von den einzelnen Tagen sprechen zu müssen: 5 Tage nach Freitag ist Mittwoch, ... Die Einführung von Zn ist ein Wechsel des Blickwinkels: Wir betrachten alle Restklassen modulo n und untersuchen die Eigenschaften dieser Menge.

12 4.2 Addition von Restklassen
Ziel: Wir betrachten nicht nur die Menge der Restklassen, sondern wir wollen mit den Elementen dieser Menge auch rechnen: Wir wollen sie addieren und multiplizieren können. Problem: Jede Restklasse ist eine Menge von Zahlen. Wie soll man zwei solche Mengen von Zahlen addieren – so dass wieder eine Restklasse herauskommt? Konkret: Was ist [5] + [7] (für n = 9)?

13 Der entscheidende Hilfssatz zur Addition
4.2.1 Hilfssatz. Sei n eine natürliche Zahl mit n  1. Ferner seien a und a', b und b' ganze Zahlen. Dann gilt: Für alle a' Î [a] und alle b' Î [b] gilt a'+b' Î [a+b], also [a'+b'] = [a+b]. Beispiel. Sei n = 10. Dann folgt aus a' Î [6] und b' Î [4], dass a'+b' Î [10] = [0] ist, also also a'+b' durch 10 teilbar ist. Beweis. Sei a mod n = r; dann ist auch a' mod n = r. Sei b mod n = s; dann ist auch b' mod n = s. Also liefern sowohl a+b als auch a'+b' bei Division durch n den Rest r+s (oder den Rest r+s–n, falls r+s > n ist). Also: a+b Î [r+s] und a'+b' Î [r+s]. D.h. [a+b] = [r+s] = [a'+b']. 

14 Definition der Addition
Definition: Sei n eine natürliche Zahl mit n  1. Wir definieren die Summe der Restklassen [a] und [b] wie folgt: [a] + [b] := [a+b]. In Worten: Man erhält die Summe [a] + [b] der Restklassen [a] und [b], indem man Repräsentanten a und b wählt, ihre Summe a+b (in Z) bildet und zur zugehörige Restklasse [a+b] übergeht. Beispiel: Die Summe der Restklassen [5] und [7] modulo 9 ist [5+7] = [12] = [3]. Der Hilfssatz sagt, dass sich als Summe immer die gleiche Restklasse ergibt, unabhängig davon, welche Repräsentanten der Nebenklassen gewählt werden („die Addition ist wohldefiniert“).

15 Additionstafel von Z6 + [0] [1] [2] [3] [4] [5]
+ [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [2] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [3] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [4] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [5] [5] [0] [1] [2] [3] [4]

16 Eigenschaften der Addition in Zn
4.2.2 Satz. Sei n eine natürliche Zahl mit n  1. Dann gilt für alle Restklassen [a], [b] und [c] modulo n: (a) Kommutativität: [a] + [b] = [b] + [a]. (b) Assoziativität: ([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c]). (c) Existenz eines neutralen Elements: [0] ist ein neutrales Element; das heißt: Für alle [a] gilt [a] + [0] = [a]. (d) Existenz inverser Elemente: Zu jedem [a] Î Zn ist [–a] = [n–a] Î Zn das inverse (in diesem Fall auch “negativ” genannte) Element; das heißt [a] + [–a] = [0].

17 Beweis (a), (b) Beweis. Idee: Wir führen alle Eigenschaften von Restklassen auf die entsprechenden Eigenschaften der ganzen Zahlen zurück. (a) Es gilt: [a] + [b] = [a+b] (Def. der Addition von Restklassen) = [b+a] (Kommutativität der Addition in Z) = [b] + [a] (Def. der Addition von Restklassen) (b) ([a] + [b]) + [c] = [a+b] + [c] = [(a+b) + c] (Def. der Addition von Restklassen) = [a + (b+c)] (Assoziativität der Addition in Z) = [a] + [b+c] = [a] + ([b] + [c]) (Def. der Addition von Restklassen)

18 Beweis (c), (d) (c) Es wird immer einfacher: [a] + [0] = [a+0] (Def. der Addition von Restklassen) = [a] (0 ist neutrales Element bzgl. + in Z) (d) Auch diese Aussage ergibt sich auf die gleiche Weise: [a] + [–a] = [a + –a] (De. der Addition von Restklassen) = [0] (–a ist das neg. Element von a in Z). Damit ist alles bewiesen. 

19 4.3 Multiplikation von Restklassen
4.3.1 Hilfssatz. Sei n eine natürliche Zahl mit n  1. Ferner seien a und a', b und b' ganze Zahlen. Dann gilt: Für alle a' Î [a] und alle b' Î [b] gilt a'b' Î [ab], also [a'b']= [ab]. Beispiel. Sei n = 10. Dann folgt aus a' Î [6] und b' Î [5], dass a'b' Î [30] = [0] ist, dass also a'b' durch 10 teilbar ist. Beweis. Sei a mod n = r; dann ist auch a' mod n = r. Sei b mod n = s; dann ist auch b' mod n = s. Dann liefert sowohl ab als auch a'b' bei Division durch n den Rest rs (oder den Rest rs–n, rs–2n, ..., falls rs > n ist). Also: a  b Î [r  s] und a'  b' Î [r  s]. D.h. [a  b] = [r  s] = [a'  b']. 

20 Definition der Multiplikation
Definition: Sei n eine natürliche Zahl mit n  1. Wir definieren das Produkt der Restklassen [a] und [b] wie folgt: [a]  [b] = [ab]. In Worten: Man erhält das Produkt [a]  [b] der Restklassen [a] und [b], indem man Repräsentanten a und b wählt, ihr Produkt ab (in Z) bildet und zur zugehörige Restklasse [ab] übergeht. Zum Beispiel erhält man das Produkt der Restklassen [5] und [7] modulo 9 als [57] = [35] = [8]. Bemerkung: Als Produkt erhält man immer die gleiche Restklasse, unabhängig davon, welche Repräsentanten der Nebenklassen man wählt („die Multiplikation ist wohldefiniert“). (Hilfssatz.)

21 Multiplikationstafel von Z6
 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [0] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [0] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [0] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [0] [5] [4] [3] [2] [1]

22 Eigenschaften der Multiplikation in Zn
4.3.2 Satz. Sei n eine natürliche Zahl mit n  1. Dann gilt für alle Restklassen [a], [b] und [c] modulo n: (a) Kommutativität: [a]  [b] = [b]  [a]. (b) Assoziativität: ([a]  [b])  [c] = [a]  ([b] [c]). (c) Existenz eines neutralen Elements: [1] ist ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation; das heißt: Für alle [a] gilt [a]  [1] = [a]. Beweis. (a) Es folgt: [a]  [b] = [a  b] (Def. der Multiplikation von Restklassen) = [b  a] (Kommutativität der Multiplikation in Z) = [b]  [a] (Def. der Multiplikation von Restklassen)

23 Beweis (Fortsetzung) (b) Ganz entsprechend ergibt sich ([a]  [b])  [c] = [(a  b)  c] (Def. der Multiplikation von Restklassen) = [a  (b  c)] (Assoziativität der Multiplikation in Z) = [a]  ([b]  [c]) (Def. der Multiplikation von Restklassen) (c) Es wird immer einfacher: [a]  [1] = [a  1] (Def. der Multiplikation von Restklassen) = [a] (1 ist neutrales Element bezüglich  in Z) Damit ist alles bewiesen. 

24 4.4 Inverse Elemente Definition. Sei n eine natürliche Zahl mit n  1. Eine Restklasse [a] Î Zn hat ein multiplikativ inverses Element [a'] (ist multiplikativ invertierbar), falls [a][ a'] = [1] gilt. In der Sprache der ganzen Zahlen ausgedrückt heisst dies: Eine Zahl a ist genau dann multiplikativ invertierbar, wenn es eine ganze Zahl a‘ gibt mit a  a‘ mod n = 1. Beispiele. (a) Die Restklasse [0] hat kein multiplikatives Inverses, denn jedes Produkt, in dem diese Restklasse vorkommt, ist [0], also kann man nie [1] erhalten. (b) In Z6 sind (nur) die Restklassen [1] und [5] invertierbar.

25 Wie erkennt man, ob [a] invertierbar ist?
1. Möglichkeit: Man multipliziert [a] mit allen Elementen von Zn. Wenn sich als Ergebnis einmal [1] ergibt, dann ist [a] invertierbar (und man hat ein inverses Element gefunden), sonst nicht. Nachteil: Riesiger Aufwand! 2. Möglichkeit: Mit einer Multiplikationstafel: Man sucht in der Zeile von [a] das neutrale Element. Wenn man es findet, ist [a] invertierbar. Nachteil: Riesiger Aufwand zur Berechnung der Multiplikationstafel. 4. Möglichkeit: Ein Traum! Man sieht „auf einen Blick“, ob [a] invertierbar ist, indem man die Zahlen a und n betrachtet.

26 Das Kriterium für Invertierbarkeit
4.4.1 Satz. Sei n eine natürliche Zahl mit n  1. Dann gilt: Eine Restklasse [a] ist genau dann ein invertierbares Element von Zn, wenn die Zahlen a und n teilerfremd sind. Beispiel: (a) In Z9 sind genau die Elemente [1], [2], [4], [5], [7] und [8] invertierbar sind. (b) In Z24 sind folgende Elemente invertierbar: [1], [5], [7], [11], [13], [17], [19], [23]. (c) In Z23 sind alle Elemente außer [0] invertierbar. Beweis. Wir zeigen zunächst nur eine Richtung, nämlich “wenn invertierbar, dann teilerfremd” und weisen dann konstruktiv nach, dass die andere Richtung auch richtig ist.

27 aa' = qn + 1 oder aa' – qn = 1.
Beweis 1. Richtung Voraussetzung: [a] Î Zn hat ein multiplikatives Inverses [a']. Das bedeutet [a][a'] = [1]. Zu zeigen: a und n sind teilerfremd Nach Definition gilt: [a][a'] = [a  a']. Also ist [a  a'] = [1]. Also ergeben sowohl a  a' als auch 1 bei Division durch n den gleichen Rest, also Rest 1. Somit gibt es eine ganze Zahl q mit aa' = qn + 1 oder aa' – qn = 1. Behauptung: ggT(a, n) = 1: Sei t ein beliebige natürliche Zahl, die sowohl a als auch n teilt. Dann teilt t auch aa' und qn, also auch (Hilfssatz 2.1.2(a)) die Zahl aa' – qn = 1. Also ist t = 1. Somit sind a und n teilerfremd.

28 Beweis 2. Richtung Voraussetzung: ggT(a, n) = 1. Zu zeigen: [a] hat Inverses. Beispiel: n = 101 und a = Erster Schritt: Berechnung des ggT: 101 = 2 35 = 131 + 4 31 = 74 + 3 4 = 13 + 1 3 = 31 + 0. Also ist (wie wir schon wissen) ggT(101, 35) = 1.

29 Beispiel (Fortsetzung)
Zweiter Schritt: Wir lösen die Gleichungen “von unten nach oben” auf: 1 = 4 – 13 = 4 – 13 = 4 – 1(31 – 74) = 4 – 131 + 74 = 84 – 131 = 8(35 – 131) – 131 = 835 – 931 = 835 – 9(101 – 235) = 2635 – 9101. Also: 2635 = 9 Das heißt: 2635 ergibt bei Division durch den Rest 1. M.a.W.: [26  35] = [1], also [26][35] = [1], also ist [26] das Inverse von [35]. Hurra!

30 Vielfachsummendarstellung
4.4.2 Satz. Seien a und b teilerfremde ganze Zahlen. Dann gibt es ganze Zahlen u und v, so dass gilt: 1 = ua + vb. Man nennt die Darstellung „ua + vb“ eine Vielfachsummendarstellung des ggT von a und b. Beispiel: Sei a = 18, b = 41. Dann ist 1 = 1618 + (–7)41.

31 Drei Sprachebenen Bei der Behandlung von Restklassen kann man drei mathematische Sprachebenen erkennen: Ebene der Restklassen [a]  [b] = [1] Ebene der modulo-Rechnung: a  b mod n = 1 Ebene der ganzen Zahlen: a  b = qn + 1. Bemerkungen: (a) Man kann jede Aussage auf jeder Ebene ausdrücken. (b) Jede Ebene hat Vorteile. (c) In jedem Fall sollten Sie die Übersetzung von einer Ebene zu einer anderen üben.

32 Anhang: Zahlbereichserweiterungen
Man nennt die Mengen N, Z, Q, R zusammen mit ihren Operationen (+, –, ∙, .) Zahlbereiche. Es handelt sich um Erweiterungen in dem Sinne, dass - die Mengen ineinander enthalten sind (N  Z  Q  R), - die Operationen sich fortsetzen, und - jeweils neue Operationen hinzukommen.

33 N Auf der Menge N der natürlichen Zahlen kann man unbeschränkt addieren und multiplizieren (das bedeutet, dass die Summe und das Produkt von je zwei natürlichen zahlen wieder eine natürliche Zahl ist). Man sagt dafür auch: Die Addition und die Multiplikation sind auf N abgeschlossen. Ferner besitzt N ein neutrales Element bezüglich der Addition (die Zahl 0) und ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation (die Zahl 1).

34 Z Die ganzen Zahlen entstehen aus den natürlichen Zahlen, indem man noch die negativen Zahlen hinzufügt. (Diese haben nichts Minderwertiges an sich, sie sind Zahlen so gut wie die natürlichen Zahlen auch. In Z ist die Subtraktion abgeschlossen. Anders ausgedrückt: Jede ganze Zahl z hat eine „inverse“ Zahl bezüglich der Addition, nämlich –z. Man nennt –z die Gegenzahl zu z. Beispiel: –3 ist die Gegenzahl zu 3, 7 ist die Gegenzahl zu –7.

35 Q Man erhält die rationalen Zahlen, indem man fordert, dass die Division unbeschränkt gelten soll, d.h. dass jede Zahl ≠ 0 ein multiplikatives Inverses haben soll. Die Menge der rationalen Zahlen besteht aus den Bruchzahlen. (Achtung: 1/2 und 2/4 sind verschiedene Brüche, stellen aber die gleiche Bruchzahl dar.) Jede Bruchzahl a/b (a ≠ 0) hat ein multiplikatives Inverses, nämlich b/a.

36 R Die Menge der reellen Zahlen ist schwieriger zu beschreiben (siehe WGMS IV). Sie enthält - alle Wurzeln 2, 5, - auch Zahlen wie p - allgemein alle Grenzwerte konvergenter Folgen. Eine reelle Zahl, die nicht rational ist, nennt man irrational. Beispiele: 2, p sind irrational