Schüler unterschiedlich, Mathematik einheitlich?

Präsentation zum Thema: "Schüler unterschiedlich, Mathematik einheitlich?"—  Präsentation transkript:

1 Schüler unterschiedlich, Mathematik einheitlich?
Fortschritte und weitere Entwicklungsfelder nach gut zehn Jahren SINUS

2 Leserbrief Badische Zeitung 2005
Bruchrechnen erweist sich in der Praxis als sinnlos „Schüler wissen wohl, wie man Brüche multipliziert, sie können mit diesem Wissen aber nichts, ganz und gar nichts anfangen.“ Nürnberg Thomas Royar

3 Rückblick TIMSS 1996: Bei Aufgaben in Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeitsphasen 89 % Üben von Routineprozeduren 6 % Anwendung mathematischer Konzepte 5 % Problemlöse- und Denkaufgaben Kein Platz für individuelle Zugänge Nürnberg Thomas Royar

4 Offene Baustellen nach Heymann 1996
Schüler kommunizieren vorwiegend mit dem Lehrer bzw. über den Lehrer miteinander Das vorherrschende Interaktionsmuster lässt sich als Dreischritt „Lehrerimpuls – Schülerantwort(en) – Lehrerkommentar“ beschreiben Nürnberg Thomas Royar

5 Fehler werden sofort korrigiert
Das Beherrschen eines mathematischen Gebiets wird über das Einfordern konkreter Lösungen zu vorgegebenen Aufgaben kontrolliert Fehler werden sofort korrigiert Es gibt nur richtige und falsche Antworten Fehler werden als Indikatoren für Misserfolg gedeutet Nürnberg Thomas Royar

6 Es gibt immer nur einen zugelassenen Lösungsweg
Schülergedanken, die aus Sicht des Lehrers vom offiziellen Thema wegführen, werden nicht weitergeführt Es gibt immer nur einen zugelassenen Lösungsweg Mathematiklernen wird von den Schülern als das Nachvollziehen vom Lehrer vorgegebener Wege erlebt Nürnberg Thomas Royar

7 Im wesentlichen werden nur die Ergebnisse des Denkens mitgeteilt und für die anderen Unterrichtsteilnehmer „veröffentlicht“ Die im Unterricht gestellten mathematischen Aufgaben und Probleme sind eindeutig und nur auf eine Weise lösbar Nürnberg Thomas Royar

8 Jedes mathematische Teilgebiet steht im wesentlichen isoliert für sich
Fragen nach Sinn und Bedeutung der Mathematik sind nicht Gegenstand des Mathematikunterrichts Jedes mathematische Teilgebiet steht im wesentlichen isoliert für sich Der Unterschied zwischen mathematischen Konventionen und Notwendigkeiten wird nicht thematisiert Nürnberg Thomas Royar

9 Verantwortlich für das Lernen der Schüler ist der Lehrer
Der Mitschüler wird im wesentlichen als Konkurrent betrachtet Die allermeisten Baustellen sind in der Zwischenzeit deutlich und auf vielfache Art bearbeitet worden Nürnberg Thomas Royar

10 Vielleicht noch zu wenig:
Das vorherrschende Interaktionsmuster lässt sich als Dreischritt „Lehrerimpuls – Schülerantwort(en) – Lehrerkommentar“ beschreiben Das Beherrschen eines mathematischen Gebiets wird über das Einfordern konkreter Lösungen zu vorgegebenen Aufgaben kontrolliert Schülergedanken, die aus Sicht des Lehrers vom offiziellen Thema wegführen, werden nicht weitergeführt Nürnberg Thomas Royar

11 Das vorherrschende Interaktionsmuster lässt sich als Dreischritt „Lehrerimpuls – Schülerantwort(en) – Lehrerkommentar“ beschreiben Schüleraktivierung auch durch komplexere Probleme Nürnberg Thomas Royar

12 Wie sieht die fehlende Figur aus?
Nürnberg Thomas Royar

13 Zwischen Parallelen sind gleichseitige Dreiecke gezeichnet
Zwischen Parallelen sind gleichseitige Dreiecke gezeichnet. Wie groß ist jeweils der grau gefärbte Anteil am ganzen Dreieck? Nürnberg Thomas Royar

14 Das Märchen vom Teufel und dem armen Manne
Der Teufel sagte zu einem armen Manne: „Wenn du über diese Brücke gehst, will ich dein Geld verdoppeln, doch musst du jedes Mal, wenn du zurückkommst, 8 Taler für mich ins Wasser werfen.“ Als der Mann das dritte Mal zurückkehrte, hatte er keinen blanken Heller mehr. Nürnberg Thomas Royar

15 Diese Aufgabe eignet sich gut zum produktiven Üben
Variation der Aufgabenstellung: Was wäre, wenn... Wie viele Taler müsste der Mann am Anfang haben, dass er der „Gewinner“ ist? Schreibe die Geschichte mit einem anderen Ende! Diskutiert den letzten Satz! Könnte er nach dem dritten Brückengang auch Schulden haben? Nürnberg Thomas Royar

16 Mögliches Vorgehen im Unterricht
Einstimmung, Gewöhnung Wie bist du vorgegangen? Was hat dir geholfen die Aufgabe zu lösen? Bewusstmachung einzelner Strategien an typischen Beispielen (selbstständiges) Bearbeiten von Analogieaufgaben Kontexterweiterung, Transfer Wahl der Strategie, Begründen der Wahl Eigene Problemlöseverhalten reflektieren (aufschreiben) Nürnberg Thomas Royar

17 Zum Problemlösen gehört auch
Fragen stellen und formulieren üben Selbstbeobachtung beim Problemlösen Selbsteinschätzung: Was kann ich gut? Was kann ich weniger gut? Verschiedene Lösungswege kennen lernen, um die eigenen Vorlieben und Talente zu entwickeln oder zu lernen, in verschiedene Richtungen zu denken Nürnberg Thomas Royar

18 Prinzipien und Strategien
Analogieprinzip Zerlegungsprinzip Rückführungsprinzip Reduktionsprinzip Vorwärtsarbeiten Rückwärtsarbeiten Nürnberg Thomas Royar

19 Algorithmen und Heurismen
Prozedurales Wissen Konzeptuelles Wissen (nach Hiebert) „Zuerst müssen die Techniken beherrscht werden!“ Müssen sie das wirklich immer? Nürnberg Thomas Royar

20 Nürnberg Thomas Royar

21 Probleme können zu Begriffen führen
Wie viel zusammen? Summe Wie groß der Unterschied? Differenz Wie gerecht verteilt? Quotient Welcher Preis ist angemessen? Zuordnung Nürnberg Thomas Royar

22 Beispiel aus der Geometrie
X 1 2 3 4 5 Die Karte zeigt ein Stück Land. Es gibt fünf Brunnen in diesem Gebiet. Stelle dir vor, du stehst bei X mit einer Herde von Schafen, die Durst haben. Zu welchem Brunnen gehst du? Die Wahl war natürlich nicht schwierig. Du gehst zum nächstgelegenen Brunnen. Entwickle nun eine Einteilung des Landes in fünf Gebiete, so dass zu jedem Ort in einem Gebiet der Brunnen in diesem Gebiet der nächstgelegene ist. Nürnberg Thomas Royar

23 Bedenken und Erfahrungen
Haben die Schüler die Ausdauer, um an den Problemen „dranzubleiben“? Meistens ja Können die Schüler die Ergebnisse adäquat darstellen? Werden Ergebnisse kritisch reflektiert und systematisch validiert? Meistens nein Nürnberg Thomas Royar

24 Wann ist eine Lösung eine sinnvolle Lösung?
Die Antwort erscheint einfach: Wenn sie „passt“. Aber das heißt oft nicht oder nicht nur, dass sie „objektiv richtig“ ist. Daher ist es wichtig, grundsätzlich mehrere Alternativen zu prüfen und gegeneinander abzuwägen Die Lehrkraft kann auch ganz bewusst suboptimale Lösungen anbieten Nürnberg Thomas Royar

25 Fehlerhafte Flächen bei drei „Brunnen“
Nürnberg Thomas Royar

26 Was „passt“ ist kontextabhängig
Steckdosenaufgabe Nürnberg Thomas Royar

27 Das Beherrschen eines mathematischen Gebiets wird über das Einfordern konkreter Lösungen zu vorgegebenen Aufgaben kontrolliert Diagnostisches Unterrichten Nürnberg Thomas Royar

28 Selbstdiagnose Standortbestimmungen – Leistungsfeststellung als Grundlage individueller Förderung (3. – 7. Klasse) Stephan Hußmann und Christoph Selter Nürnberg Thomas Royar

29 Wann ist eine Aufgabe eine „gute“ Diagnoseaufgabe?
auf Kompetenzaspekte konzentrieren Bearbeitung auf verschiedenen Niveaus (z.B. durch offene Aufgaben) zur Produktion (d. h. zur Erklärung, Beschreibung des Lösungsweges usw.) auffordern Eine Aufgabe wird dann zu einer brauchbaren diagnostischen Aufgabe, wenn sie Denkwege sichtbar machen kann Sie sollte valide und niveaudifferenzierend sein Büchter/Leuders Nürnberg Thomas Royar

30 Konzeptuelle Analyse (1)
Diagnose in Mathematik benötigt als Grundlage detailliertes und gründliches Wissen über kognitive Prozesse beim Erwerb von mathematischem Verständnis. Dieses Wissen sollte die wichtigsten Konzepte und Fertigkeiten der mathematischen Inhaltsbereiche umfassen und etwas über die Prozesse sagen, durch die dessen Verständnis in diesem Bereich wächst. Man kann dabei von einer konzeptuellen Analyse sprechen. Sie geht davon aus, dass das Verhalten eines Kindes – gemessen an seinem Verständnis – stets vernünftig und begründet ist. Nürnberg Thomas Royar

31 Konzeptuelle Analyse (2)
Dem mathematischen Verständnis eines Erwachsenen ist es aber oft unverständlich. Um das kindliche Vorgehen zu verstehen, muss der Erwachsene sein eigenes mathematisches Verständnis beiseite stellen und sich darum bemühen zu verstehen, wie die Dinge aus der Sicht des Kindes wohl aussehen, wenn es so vorgeht, wie es vorgeht. Sie unterscheidet sich von einer logischen Aufgaben-Analyse, die das Verständnis des Erwachsenen voraussetzt und nicht berücksichtigt, dass das in der Entwicklung befindliche Kind vieles von seinem Wissen nicht zum Gegenstand seiner Betrachtung machen kann. (Gerster) Nürnberg Thomas Royar

32 Niveaustufen Kennen Können Verstehen
Innerhalb JEDER Niveaustufe Kein Verständnis ohne Kenntnis, keine Kenntnis ohne Verständnis Nürnberg Thomas Royar

33 Beispiel: Brüche addieren
Niveaustufe 1: Einfache Brüche addieren können Niveaustufe 2: Auch schwierigere Brüche addieren können Niveaustufe 3: Beliebige Brüche addieren können Nürnberg Thomas Royar

34 So? Berechne: Nürnberg Thomas Royar

35 Oder besser so? Freunde haben 2 Pizzas bestellt. Sie teilen eine Pizza in vier gleiche Stücke, die andere in acht gleiche Stücke. Zeichne eine Skizze! Gib als Bruch an: Wie groß ist jeweils ein Pizzateil? Schreibe eine Rechenaufgabe mit Brüchen und löse: Zwei Stücke der einen Pizza zusammen Zwei Stücke der anderen Pizza zusammen Ein Stück der einen und eins der anderen Pizza Nürnberg Thomas Royar

36 (Fortsetzung) Schreibe eine Rechnung und löse:
Ein Stück einer Pizza und zwei Stücke der anderen Pizza zusammen* Von jeder Pizza zwei Stücke zusammen Löse die Aufgaben aus c) und d), wenn eine Pizza in fünf Teile und die andere in sechs Teile geteilt wird. Probiere weitere „Teilungen“ aus und schreibe Rechnungen dazu auf. Nürnberg Thomas Royar

37 Niveaustufen Stufe 1: a), b), c) und d) mit einer Lösung
Stufe 2: d) mit Variationen und e) Stufe 3: f) Nürnberg Thomas Royar

38 Bedingungen Diagnose ist vorläufig und unsicher
braucht fachdidaktische Theoriekenntnis benötigt die Bereitschaft von Lehrerseite, sich auf offene Situationen einzulassen Nürnberg Thomas Royar

39 Didaktische Kompetenz Diagnostische Kompetenz
Welche Voraus-setzungen sind notwendig? sind vorhanden? Welche Konzepte sind hilfreich? sind ausgebildet? Kompetenzen der Schüler erfassen + Sachkompetenz + Führungskompetenz (Weinert) Nürnberg Thomas Royar

40 Schülergedanken, die aus Sicht des Lehrers vom offiziellen Thema wegführen, werden nicht weitergeführt Permanente Weiterentwicklung der Unterrichtskultur Individualisierung und Differenzierung als Grundprinzip, nicht als „Extra“ Nürnberg Thomas Royar

41 Episode aus „Kinder und Mathematik“
Jimmy, die gute Lehrerin und die falschen Lösungen Nürnberg Thomas Royar

42 Beispiele für individuelle Lösungen
Sabine macht mit ihren Freundinnen eine Schneeballschlacht. Sie hat schon viele Schneebälle für ihre Mannschaft vorbereitet. Die Hälfte davon gibt sie Mira, weil die besonders gut trifft. Zwei Drittel vom Rest gibt sie Lea, auch die trifft ziemlich gut. 6 Stück behält sie selbst. Nürnberg Thomas Royar

43 Schülerlösung 1 Nürnberg Thomas Royar

44 Schülerlösung 2 Nürnberg Thomas Royar

45 Schülerlösung 3 Nürnberg Thomas Royar

46 Schülerlösung 4 Frage: Wie viele Schneebälle hat Susi vorbereitet?
Rechnung: Antwort: Sie hat 11 Schneebälle vorbereitet. Nürnberg Thomas Royar

47 Individuelle Begriffsbildung
Peter Bardy: Eine Aufgabe – viele Lösungen. Grundschule 3/2002 Ein Seeschiff ging auf große Fahrt. Als es 180 Seemeilen von der Küste entfernt war, flog ihm ein Wasserflugzeug nach. Die Geschwindigkeit des Flugzeugs war zehnmal so groß wie die des Schiffes. In welcher Entfernung von der Küste holte das Flugzeug das Schiff ein? Nürnberg Thomas Royar

48 Eine Aufgabe… Regina Bruder in mathematik lehren, Heft 115
Nürnberg Thomas Royar

49 …mehrere Lösungen Nürnberg Thomas Royar

50 Nürnberg Thomas Royar

51 Nürnberg Thomas Royar

52 Nürnberg Thomas Royar

53 Aber bitte nicht… Kartoffeln Nürnberg Thomas Royar

54 Individualisierte Kartoffelaufgabe 2009
Ermittle Deinen individuellen Kalorienbedarf und erstelle einen individuellen Ernährungsplan mit deiner individuell bevorzugten Kartoffelsorte. Ermittle mit einer individuellen Methode den individuellen Einkaufspreis und setze ihn in Bezug zu deinen individuellen Vermögensverhältnissen. Nürnberg Thomas Royar