Empirische Untersuchung einer Wissensstruktur für das Lösen mathematischer Textaufgaben durch Kinder [Arbeitstitel]

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1 Empirische Untersuchung einer Wissensstruktur für das Lösen mathematischer Textaufgaben durch Kinder [Arbeitstitel]

2 Themenüberblick Wissensraumtheorie Kognitive Entwicklungstheorien
Erwerb mathematischer Kompetenzen Fragestellung

3 Wissensraumtheorie (Doignon & Falmagne)
formale Theorie der effizienten Erfassung von Wissen Konzept: Repräsentation eines Wissenszustands einer Person bezüglich eines speziellen Bereiches durch eine bestimmte Menge an Aufgaben, die eine Person in der Lage ist zu lösen

4 Theorie es gibt eine Aufgabenmenge Q
innerhalb dieser Menge äußern sich Abhängigkeitsbeziehungen (surmise-relations) zwischen den Aufgaben als binäre Relation: q  t aufgrund einer richtigen Lösung von t kann auf eine richtige Lösung von q geschlossen werden werden dieser Realtion die Eigenschaften Transitivität und Reflexivität zugeschrieben, spricht man von einer Quasiordnung diese surmise-relations können in Hasse-Diagrammen dargestellt werden

5 prerequisite-relation:
eine oder mehrere Aufgaben q sind nötige Voraussetzungen für das Lösen einer Aufgabe t Hasse-Diagramm einer surmise-relation r t s q Nachteil: jede Aufgabe hat genau eine Menge vonVorgängeraufgaben

6 Wissensraum: 3 Axiome: quasi-ordinal, wenn:
Wissenszustand: Teilmenge von Aufgaben, die eine Person fähig ist zu lösen Menge 2n aller möglichen Wissenszustände wird aufgrund der surmise-relations auf theoretisch erwartbare reduziert Wissenstruktur: geordnetes Paar (Q, K): Q... Aufgabenmenge K... Menge der Wissenszustände (Teilmengen aus A) Wissensraum: 3 Axiome: quasi-ordinal, wenn: Menge Q und die leere Menge Zustände sind jede Vereinigung von Zuständen ein Zustand ist jede Durchschnittsbildung von Zuständen ein Zustand ist

7 eine Aufgabe kann mehrere Vorgängeraufgaben haben und/oder –Graphen
t v s  Surmise- system q der Lösung von r kann Lösung von s oder von q und t vorangehen mehrere Vorgängeraufgaben werden als Klauseln C bezeichnet in einer surmise-function (x) wird jeder Aufgabe x die Menge ihrer Klauseln C zugewiesen geordnete Paar (Q, ) wird als surmise-system bezeichnet

8 die Klauseln und die aus ihrer Vereinigung gewonnenen Zustände werden als Wissenzustände in die Wissensstruktur aufgenommen = Wissensraum eine Wissensstruktur kann auch in Form einer Basis dargestellt werden, die nur die Klauseln enthält, die in keiner Teilmengenbeziehung  untereinander stehen

9 Erweiterung der Theorie durch Albert & Held
Komponentenbasierende Wissensräume: stellen kognitive Anforderungen dar, die notwendig sind zur Lösung eines Problems ihre Eigenschaften werden als Attribute bezeichnet Systematische Aufgabenkonstruktion: erleichtert Vergleich von Aufgaben Konstruktionsprinzip: „componentwise ordering rule“ Es gibt 2 Konstruktionsprinzipien, wobei ich das Prinzip der „set-inclusion“ nicht erkläre, da sich dies nur auf ein einzelnes Komponentenset bezieht. Das Prinzio „componentwise oredring rule“ bezieht sich auf Aufgaben, die aus mehreren Komponenten mit unterschiedlichen Attributen bestehen.

10 Beispiel zur Konstruktion von Aufgaben, die aus Komponenten mit verschiedenen Attributen bestehen
Komponenten A und B, mit ihren Attributen: A = {a1,a2 ,a3 } B = {b1, b2} a1 = reelle Zahlen b1= Berechnung von Potenzen a2 = ganze Zahlen b2 = Addition a3 = natürliche Zahlen Natürliche Zahlen: mit/ohne 0, 1,2,3..; gerade/ungerade Ganze Zahlen: -3,-2,-1,0,1,2, Reelle Zahlen: gebrochene Zahlen, (ir)rationale Zahlen

11 p = {(a1b1), (a1b2), (a2b1), (a2b2),(a3b1),(a3b2)}
Durch Bildung des kartesischen Produkts von A und B erhält man 6 verschiedene Aufgabentypen: A x B p = {(a1b1), (a1b2), (a2b1), (a2b2),(a3b1),(a3b2)} Beispiel: (a2b1) = Berechnung von Potenzen ganzer Zahlen  (-5)2 p enthält das Produkt von A und B

12 Attribute und ihre Problemstruktur nach der koordinatenweisen Ordnung
(a1b1) o (a2b1) o o (a1b2) (a3b1 ) o o (a2b2) o (a3b2) A x B a1 b1 a2 x b2 a3 Durch Bildung des kartesischen Produkts von A und B werden die beiden Komponenten miteinander kombiniert. Um eine surmise-relation zu erhalten, müssen die Aufgaben paarweise hinsichtlich der Attribute verglichen werden. Dafür sind Annahmen über die Struktur der Aufgabenmenge erforderlich bzw. Annahmen über die Ordnung der Attribute: in diesem Fall besteht innerhalb beider Komponenten eine lineare Ordnung (irreflexiv, transitiv, schwach konnex). a1 ist das schwerste, a3 das leichteste Attribut von A, b1 ist das schwerere, b2 das leichtere Attribut von B. Diese koordinatenweise Ordnung entspricht der Dominanzregel aus der Entscheidungsforschung. Es wird vermutet, dass eine Aufgabe q1 mindestens so schwer zu lösen ist wie eine Aufgabe q2, wenn alle Attribute von q1 mindestens so schwer sind wie die Attribute von q2

13 Lexikographische Ordnung
A x B a1 b1 a2 x b2 a3 o (a1b1) o (a1b2) o (a2b1) o (a2b2) o (a3b1) o (a3b2) Annahme: Es besteht eine lineare Ordnung in A und B, A ist wichtiger als B, a1 ist am schwierigsten, b1 ist schwieriger als b2.Die Aufgaben werden paarweise miteinander verglichen. Da A wichtiger ist wird zuerst auf A geschaut. Wenn das erste Element identisch ist, wird das zweite, B, betrachtet. Dieses Prinzip wird auch im Wörterbuch verwendet. Voraussetzung:streng lineare Ordnung: irreflexiv, transitiv, schwach konnex

14 Ansatz von Held den Attributen werden Anforderungen, „skills“, zugeschrieben skills beziehen sich auf kognitive Anforderungen, die zur Lösung einer Aufgabe von Bedeutung sind sie werden aus der Analyse der Lösungswege von Aufgaben gewonnen:  Welches Wissen ist für die Lösung einer Aufgabe nötig?  Welche Eigenschaften der Aufgabe sind es, die einen bestimmten Lösungsweg bedingen?

15 Ordnung der Attribute erfolgt anhand der Annahmen über die erforderlichen skills basiert auf Inklusion der Menge von skills: ein Attribut, das aus einer Teilmenge von skills eines anderen Attributs besteht, ist das leichtere mögliche Ordnungsprinzipien: componentwise order oder die lexikographische Ordnung

16 ρa (a2) = {O1, O2} ρb (b2) = {O4, O5} ρa (a3) = {O1, O2, O3}
Komponenten A und B: A = {a1,a2,a3} B = {b1, b2} ρa (a1) = {O1} ρb (b1) = {O4} ρa (a2) = {O1, O2} ρb (b2) = {O4, O5} ρa (a3) = {O1, O2, O3} (a3) {O1, O2, O3} (b2) {O4, O5} (a2) {O1, O2} (b1) {O4 } (a1) {O1} Die Ordnung der Attribute erfolgt anhand der Annahmen über die erforderlichen skills, basiert auf Inklusion der Menge von skills (partial ordnung: reflexiv, transitiv, antisymmetrisch). Ein Attribut, das aus einer Teilmenge von skills eines anderen Attributs besteht, ist das leichtere. a1 ist demnach leichter als a2. Jetzt können wieder die beiden Ordnungsprinzipien, componentwise order oder die lexikographische Ordnung, angewandt werden.

17 Kognitive Entwicklungstheorien
Theorie von Piaget Informationsverarbeitungstheorie Konzept-Ansatz Transfer-Strategie-Ansatz Rolle von Textaufgaben Verbindung zur Wissensraumtheorie Theorien der kognitiven Entwicklung haben das Ziel, das Zustandekommen unserer wichtigsten geistigen Fähigkeiten und Leistungen zu beschreiben und erklären (Erwerb des Wissens über die Welt und unserer Denk-und Lernfähigkeiten). Der erste, der sich damit systematisch beschäftigte und empirisch forschte war Jean Piaget. Alle neueren Theorien sind aus der Auseinanderstetzung mit seiner Theorie entstanden. Es sind drei Haupttheorien dabei zu erwähnen, die sich damit befassen, welche kognitiven Strukturen zugegen sein müssen, um eine bestimmte Leistung erbringen zu können, bzw. welche Defizite Kinder daran hindern bestimmte Aufgaben zu lösen.

18 Theorie von Piaget klassische Stadientheorie 4 Stadien
jedes Stadium geht aus dem vorangehenden Stadium hervor und bereitet das darauffolgende vor inhaltsunabhängige, abstrakte Denkschemata allgemeine Repräsentationsfähigkeit Veränderung der Denkschemata durch radikale Umstrukturierung 1.sensumotorisch, 2. präoperatorsch, 3. konkret-operatorisch, 4. formal-operatorisch KRITIK: u. a.: Seine Annahmen über den Ausgangszustand und über die Entwicklung der sensumotorischen Intelligenz sind Unterschätzungen der Kompetenz des Säuglings, Annahmen über stadientypische Einschränkungen des Denkens lassen sich nicht bestätigen, es zeigt sich auch keine stadientypische Homogenität

19 Kritik an Piaget Unterschätzungen der Kompetenz des Säuglings, keine stadientypischen Einschränkungen des Denkens keine stadientypische Homogenität alle neueren Theorien sind aus der Auseinanderstetzung mit Piagets Theorie entstanden befassen sich damit, welche kognitiven Strukturen zugegen sein müssen, um eine bestimmte Leistung erbringen zu können, bzw. welche Defizite Kinder daran hindern bestimmte Aufgaben zu lösen.

20 Informationsverarbeitungstheorien: 1
Informationsverarbeitungstheorien: 1. Neo-Piaget-Theorie: Pascual-Leone, Halford; Case Kind als Computer-Metapher: Grundannahmen: Denken ist Informationsverarbeitung, diese ist begrenzt, Leistungsfähigkeit beteht darin, Begrenzung zu erweitern auch als Neo-piaget-Theorie bezeichnet, da sie auch das Konzept bereichsübergreifender Stadien beinhaltet. Determinante kognitiver Veränderungen ist Veränderung der Informationskapazität. Informationen aus der Umgebung werden durch Sinnesorgane registriert, in den Kurzzeit-, oder Arbeitsgedächtnisspeicher überführt und können in das Langzeitgedächtnis kommen. Kind als Computer-Metapher: Grundannahmen: Denken ist Informationsverarbeitung, diese ist begrenzt, Leistungsfähigkeit beteht darin, Begrenzung zu erweitern Wird auch als Neo-piaget-Theorie bezeichnet, da sie auch das Konzept bereichsübergreifender Stadien beinhaltet. Determinante kognitiver Veränderungen ist Veränderung der Informationskapazität. Informationen werden aus der Umgebung aufgenommen, durch Sinnesorgane registriert, in den Kurzzeit-, oder Arbeitsgedächtnisspeicher überführt und kann in das Langzeitgedächtnis kommen.

21 2 Richtungen: mit ansteigendem Alter: Erweiterung des
Arbeitsgedächtnisspeichers oder Steigerung der Effizienz in der Nutzung kognitiver Ressourcen ermöglicht Lösung komplexerer Aufgaben

22 2. Transfer-Strategie-Ansatz: Stern, Siegler, Kuhn
intraindividuelle Variabilität und interindividuelle Unterschiede im Entwicklungsverlauf Wissen ist oft an Kontext seines Erwerbs gebunden Probleme bei der Übertragung von Wissen an neue Aufgaben Trennung von Strategieentdeckung und Strategieanwendung verschiedene Strategien sind parallel vorhanden und einsetzbar Frage nach Mechanismen der Selektion zwischen Problemlösungsalternativen Verwerfung des Stadienkonzepts und übergreifender Strukturen Bsp. Additionsaufgabe: mehrere Lösungsarten: jedes korrekte Ausführen einer Aufgabe erhöht die Assoziationsstärke zwischen der Aufgabe und ihrer Lösung, jeder Fehler erhöht Assoziationsstärke zwischen Aufgabe und falschem Ergebnis, damit sinkt sie für das richtige Ergebnis. Überschreitet die Assoziationsstärke enen gewissen Grad, wird die Antwort bereits aktiviert, bevor z.B eine Zählstrategie einsetzt.(Faktennetzwerk)

23 Bereichspezifische Theorie: Konzept-Ansatz: Gelman, Stern, Resnick
radikale Veränderungen inhaltsspezifischer Konzepte im Laufe der kognitiven Entwicklung konzeptuelle Umstrukturierung: restrukturierte Konzepte basieren auf abstrakteren Prinzipien, frühere konkrete Merkmale eines Konzepts verschwinden Diese Theorien schließen sich nicht gegenseitig aus, aber es gilt zu klären, welche dieser Theorien am besten in der Lage ist, eine Wissensstruktur für das Lösen mathematischer Textaufgaben bereitzustellen.

24 Erwerb mathematischer Kompetenzen
zur Bewältigung vieler Anforderungen in der Gesellschaft bedeutendes Ziel in der Schule flexibel einsetzbare Basiskonzepte und Problemlösekompetenzen so vermitteln, dass sie in realen Situationen angewandt werden können Bsp. : Ohne Kenntnis der Prozentrechnung kann nicht verstanden werden, wieviel Geld bei Sonderangeboten gespart wird Verständnis für Versicherungswesen nur durch Wissen über Wahrscheinlichkeitsrechnung

25 Suche nach den Ursachen für Hindernisse und Probleme der Kinder mit der Entwicklung mathematischen Verständnisses Aufgabe der kognitiven Psychologie Ziel wird nicht von allen Schülern erreicht.

26 Textaufgaben 2 Textsysteme: - Handlungswelt und Sachwelt
zur Untersuchung von Lern- und Denkprozesse Lösungen sind einfach Stoffinhalt ist überschaubar ist genaue Abbildung von Lösungsprozessen Vergleich mit empirischen Daten 2 Textsysteme: - Handlungswelt und Sachwelt - mathematische Strukturwelt sprachlich miteinander verbunden Studium des Wechselspiels von sprachlichen, sachlichen und mathematischen Verarbeitungsprozessen bzw. Wissen.

27 Textaufgaben als Forschungsgegenstand der Lern- und Entwicklungspsychologie
ermöglicht Studium von Verstehensprozessen: - die Situation verstehen - in mathematische Gleichung umsetzen  erfordert Repräsentation eines mentalen Modells: Wissensrepräsentation auf unterschiedlichem qualitativen und quantitativen Niveau, konstruiertes Modell der externen Umgebung, abstrakt, flexibel, komplex Einige Gründe dafür sind, dass diese Aufgaben zum einen dafür geeignet sind, Lern- und Denkprozesse zu untersuchen, zum anderen ihre Lösungen einfach sind und der Stoffinhalt, speziell für die ersten Unterrichtsklassen, überschaubar ist. Außerdem können die Lösungsprozesse mathematischer Aufgaben genau abgebildet werden und sind mit empirischen Daten vergleichbar Die beiden Textwelten sind sprachlich miteinander verbunden und erlauben Studium des Wechselspiels von sprachlichen, sachlichen und mathematischen Verarbeitungsprozessen bzw. Wissen. Mentales Modell: Wissensrepräsentation auf unterschiedlichem qualitativen und quantitativen Niveau, konstruiertes Modell der externen Umgebung, abstrakt, flexibel, komplex

28 3 Grundtypen von Textaufgaben zur Addition und Subtraktion
1. Kombinationsaufgaben 2. Austauschaufgaben 3. Vergleichsaufgaben  innerhalb eines Aufgabentyps unterscheiden sich die Aufgaben in der Art, nach welcher Menge gesucht wird

29 Kombinationsaufgaben
1. Teilmenge unbekannt Maria und Hans haben zusammen 8 Murmeln. Maria hat 6 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans? 2. Vereinígungsmenge unbekannt Maria hat 3 Murmeln. Hans hat 4 Murmeln. Wie viele Murmeln haben sie zusammen? Maria hatte 3 Murmeln. Dann gab Hans ihr 2 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Maria jetzt? Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans mehr als Maria

30 Austauschaufgaben 1. Endmenge unbekannt
Maria hatte 5 Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans 3 (2) Murmeln. Wie viele Murmeln hat Maria jetzt? 2. Austauschmenge unbekannt Maria hatte 5 Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans einige Murmeln. Jetzt hat Maria 8 (3) Murmeln. Wie viele Murmeln hat ihr Hans gegeben? 3. Anfangsmenge unbekannt Maria hatte einige Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans 3 Murmeln. Jetzt hat Maria 5 (4) Murmeln. Wie viel Murmeln hatte sie am Anfang?

31 Vergleichsaufgaben 1. Differenzmenge unbekannt
Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 (2) Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans mehr (weniger) als Maria? 2. Vergleichsmenge unbekannt Maria hat 3 Murmeln. Hans hat 4 (2) Murmeln mehr (weniger) als Maria. Wie viel Murmeln hat Hans? 3. Referenzmenge unbekannt Maria hat 7 Murmel. Sie hat 4 (2) Murmeln mehr (weniger) als Hans. Wie viel Murmeln hat Hans?

32 Schwierigkeitsgrad der Aufgaben
konsistente Ergebnisse Aufgaben, denen die gleiche mathematische Operation zugrunde liegt, unterscheiden sich deutlich in ihrer Schwierigkeit Aufgaben zur Kombination sind allgemein gesehen am leichtesten, solche zum Vergleich am schwierigsten innerhalb der Aufgabentypen gibt es in Abhängigkeit der Art der gesuchten Menge Schwierigkeitsunterschiede innerhalb der Vergleichsaufgaben sind solche mit unbekannter Referenzmenge am schwierigsten

33 Was macht das Lösen von Textaufgaben so schwierig?
viele Studien dazu 3 Hypothesen, was für die Schwierigkeit einer Aufgabe verantwortlich ist: abstrakt-mathematisches Wissen Sprachverständnis Situationsverständnis

34 1. Bedeutung des abstrakt-mathematischen Wissens
Modell von Riley, Greeno & Heller (1983): manche Aufgaben sind deshalb schwieriger, da sie nicht mit einfachen Zählprozeduren lösbar sind, sondern arithmetische Kenntnisse, z.B. Teil-Ganzes-Schema, erfordern, wie zum Beispiel Vergleichsaufgaben setzt Repräsentation eines abstrakten Problemmodells voraus warum aber sind Aufgaben mit unbekannter Referenzmenge schwieriger als soche mit unbekannter Vergleichsmenge? auch andere Faktoren müssen mitspielen

35 2. Bedeutung des Sprachverständnisses
Modell von Cummins, Kintsch, Reusser und Weimer (1988): Schwierigkeit liegt darin, abstrakte Sprache („mehr“ / „weniger“) zuverstehen Experiment: Aufgabe vor oder nach ihrer Bearbeitung nacherzählen Frage zu einer unfertigen Aufgabe finden

36 Ergebnisse: Lösungshäufigkeiten waren korreliert mit der Nacherzählung der Aufgabe und Finden einer angemessenen Frage korrekte Lösungen waren korreliert mit korrekter Nacherzählung und angemessenen Fragen Textaufgaben mit abstrakter Sprache führten eher dazu, die Aufgabe mißzuverstehen

37 Bedeutung des Situationsverständnisses
Situationsmodell: Alltagswissen über die im Text beschriebene Situation erleichtert Aufgaben Untersuchung von Stern: wirkt sich Aktivierung eines Alltagskontextes auf Lösen von Vergleichsaufgaben aus? vor der Aufgabe wird ein kurzer Text präsentiert, in dem es um den Vergleich von Mengen geht hat positive Wirkung, auch wenn Inhalt des Textes dem der Aufgabe widerspricht je enger die Beziehung zwischen der Geschichte und der Aufgabe ist (kompatibel), desto höher sind die Erleichterungseffekte stützt die Annahme der Textverarbeitung, dass eine episodische Struktur den Aufbau eines mathematischen Problemmodells steuert

38 Reformulierungseffekte: Hudson (1983)
Aufgaben mit unbekannter Differenzmenge 5 Vögel haben Hunger. Es gibt 3 Würmer. Wieviel mehr Vögel als Würmer gibt es? Konnten nur 25 % der untersuchten Kinder lösen 5 Vögel haben Hunger. Es gibt 3 Würmer. Wie viele Vögel bekommen keinen Wurm? konnten 96% lösen Ergebnis wurde von Stern (1993) bei Vergleichsaufgaben repliziert Interpretation: Sprache beeinflußt Lösung ABER: es kommt neben Sprachveränderung auch zu einer Veränderung des Situationsverständnisses: ..bekommen keine.. = vertraute Alltagssituation: Angleichung von Objekten weiter bezieht sich Umformulierung auf eine konkrete Menge, was wiederum Aufbau des math. Problemmodells erleichtert, da es nicht das Verständnis des Teil-Ganzes-Schem erfordert

39 Weitere Ergebnisse von Stern
Einfluss von: Intelligenz und spezifischem Wissen Einfluß von Intelligenz verringert sich bei Einbezug des spezifischen Wissens Aufgabenauswahl strukturorientierte Aufgaben , die auf Vermittlung mathematischer Prinzipien abzielen, verbessern Leistung eher als performanzorientierte, die Einübung von Rechenprozeduren und mathematischen Fakten beinhalten Vorstellungen der Lehrer über Erwerb mathem. Kompetenzen positivere Auswirkung von konstruktivistischer Grundhaltung, Freiheit in der Art wie man Aufgaben löst, als rezeptive Haltung, nur Aufgaben vorgeben, für deren Lösung genaue Anweisungen gegeben wurden mathematisch-numerischen Prinzipien mathematisch-numerische Prinzipien: Vorschulzeit: Zahlinvarianzaufgabe von Piaget Intelligenz und spezifisches Wissen: hohe Zusammenhänge, sinkt, wenn spezifisches Wissen berücksichtigt wird Aufgabenauswahl: durch Vorgabe strukturorientierter Aufgaben wird Leistung verbessert (=Vermittlung mathematischer Prinzipien, anstatt performanzorientierter Aufgaben =Einübung von Rechenprozeduren und mathematischen Fakten) Vorstellungen der Lehrer: positive Auswirkung von konstruktivistischer Grundhaltung (=Freiheit in der Art wie man Aufgaben löst, Kinder ins kalte Wasser springen lassen) weniger von rezeptiver Haltung (=nur Aufgaben vorgeben, für deren Lösung genaue Anweisungen gegeben wurden) Innerhalb Vergleichsaufgaben: wenn Referenzmenge gesucht wird, ist es am schwierigsten für Kinder, dann Suche nach Vergleichsmenge, Differenzmenge Bsp für unbekannte Refernezmenge: John hat 7 Murmeln. Er hat 4 Murmeln mehr/weniger als Peter. Wieviel Murmeln hat Peter? Bsp. für unbekannte Vergleichsmenge: John hat 7 Murmeln. Peter hat vier mehr/weniger als John

40 Erklärung der Schwierigkeit von Verleichsaufgaben von Stern
Vergleichsaufgaben erfordern Konzept des Relationszahlverständnisses ...4 Murmeln mehr als... mit der Zahl wird keine konkrete Menge beschrieben, sondern eine Beziehung zwischen Zahlen Defizite in der kognitiven Umstrukturierung Umstrukturierung des Zahlkonzeptes und Konzept von Addition und Subtraktion wären notwendig entspricht dem Konzept-Ansatz Defizite im Sprachverständnis können Schwierigkeitsunterschiede weniger gut erklären Umstrukturierung des Konzepts von Addition und Subtraktion: Beispiel: als reziproke Operation (Teil-Ganzes-Schema):setzt konzeptuelle Umstrukturierung von mathematischen Symbolen voraus Kardinalzahlverständnis reicht aus, um Austausch und Kombinationsaufgaben zu verstehen. Zahlen beziehen sich dabei auf konkrte abzählbare Mengen. Sprachverständnis: die meisten Minder verstehen die Ausdrücke „mehr“ und „weniger“, aber sie halten „n weniger als“ und „n mehr als“ für unabhängig voneinander, sehen nicht, dass diese Ausdrücke eine identische Situation beschreiben können, wenn sich Kinder also dessen nicht bewußt sind, ist es für sei kein Grund, zu addieren, wenn „mehr“ , und zu substrahieren, wenn „weniger“ im Text vorkommt.(kein Hinweis darauf, dass Schlüsselwortstrategien für häufigere Lösungen bei Aufgaben mit unbekannter Vergleichsmenge im Gegensatz zu unbekannter Refernzmenge verantwortlich sind)

41 Erklärung der anderen kognitiven Entwicklungstheorien
nach der Informationsverarbeitungstheorie erfordern Vergleichsaufgaben mehr Speicherkapazität und sind somit schwieriger zu lösen der Transfer-Strategie-Ansatz besagt, dass die Schwierigkeit in der Übertragung von Wissen auf neue Aufgaben liegt, Textaufgaben kommen seltener vor als numerische Beispiele und sind daher schwieriger zu lösen

42 Ableitung der Fragestellung
je nach Entwicklungstheorie werden eben unterschiedliche Bereiche als zentral für das Vertändnis mathematischer Textaufgaben gesehen diese Dimensionen müßten aus mindestens zwei Ausprägungen bestehen, komplett variiert und permutiert werden  aufwendige Problemkonstruktion und Daten-Analyse  mit Hilfe der Wissensraumtheorie können Hypothesen geprüft werden, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit bestimmte Probleme gelöst werden können auch bei komplexen Aufgabenstrukturen, in denen mehrere Dimensionen variiert werden

43 Ansatz von Held nach diesem Ansatz werden Aufgaben systematisch konstruiert, indem zuerst Komponenten definiert werden, die aus mehreren Eigenschaften bestehen, für die dann bestimmt wird, welche kognitiven Anforderungen sie an eine Person stellen Aufgaben, für die mehr Anforderungen nötig sind, sind schwieriger anhand dieser Informationen werden die Wissensstrukturen erstellt je nach kognitiven Entwicklungstheorien, die jeweils andere Bereiche (Komponenten) als zentral sehen, werden sich unterschiedliche Strukturen ergeben

44 Fragestellung Ist es möglich, im Rahmen der Wissensraumtheorie eine auf einer kognitiven Entwicklungstheorie beruhende Wissensstruktur zu erstellen, die die Schwierigkeitsunterschiede im Lösen von Textaufgaben beschreiben kann? Können Textaufgaben in Anforderungen zerlegt werden, die eine Bildung von Relationen ihrer Voraussetzung ermöglichen? surmise-relation: Prinzip: wenn eine Person eine Aufgabe A löst, wird vermutet, dass sie auch eine Aufgabe B lösen kann, wenn –und nur wenn- alle Attribute der Aufgabe A mindestens so schwer sind wie die Attribute einer Aufgabe B.